[미적분학 시리즈 3편] 2주차: 삼각함수 미분과 체인 룰

미적분학 2주차에서는 삼각함수의 미분법과 합성함수의 미분법(체인 룰)을 배웁니다. 이는 더 복잡한 함수를 다루기 위한 필수 도구들입니다.

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1. 1차시: 삼각함수의 미분법

1.1 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$의 기하학적 의미

극한 정의로부터:

$$\frac{d}{dx}\sin x=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$$

덧셈정리 $\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$를 적용하면:

$$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}$$ $$=\sin x\cdot \underset{=0}{\underbrace{\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos h-1}{h}}}+\cos x\cdot \underset{=1}{\underbrace{\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}}}$$ $$=\cos x✓$$

기하학적 해석:

단위원 위에서 $\sin x$는 $y$좌표를 나타냅니다. $x$가 증가할 때(반시계방향으로 회전), $y$좌표의 변화율은 $x$에서의 $x$좌표, 즉 $\cos x$와 같습니다.

매스봉 컴포넌트: 삼각함수 미분 시각화

삼각함수의 미분

단위원에서 삼각함수의 순간변화율

도함수

각도를 조절해면서 $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$의 순간변화율(미분계수)이 어떻게 변하는지 확인해보세요.

삼각함수 도함수 시각화

단위원과 그래프로 이해하는 (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x

정지

상태 0°

각도 0.0°

0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π

▶️ 재생 🔄 초기화

속도:

\\sin x \\cos x \\tan x

도함수 표시

단위원

\\sin x

\\cos x

y = \\sin x

\frac{d}{dx} \sin x = \cos x = 1.00

y = \\cos x

\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x = 0.00

\frac{d}{dx} \sin x = \cos x

x = 0.00일 때 기울기 = 1.000

\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x

x = 0.00일 때 기울기 = 0.000

1.2 기본 삼각함수의 도함수 정리

함수 $f(x)$	도함수 $f^{\prime }(x)$	증명 힌트
$\sin x$	$\cos x$	극한 정의 + 덧셈정리
$\cos x$	$-\sin x$	$\cos x=\sin (x+\frac{\pi }{2})$ 활용
$\tan x$	${\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$	몫의 미분법
$\cot x$	$-{\csc }^{2}x$	$\cot x=\frac{1}{\tan x}$
$\sec x$	$\sec x\tan x$	$\sec x=\frac{1}{\cos x}$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$	$\csc x=\frac{1}{\sin x}$

1.3 $\cos x$ 미분의 직관적 이해

왜 마이너스인가?

단위원에서 $\cos x$는 $x$좌표를 나타냅니다. $x$가 증가할 때:

• 1사분면 ($0<x<\frac{\pi }{2}$): $x$좌표가 감소 → 미분값 음수
• 2사분면 ($\frac{\pi }{2}<x<\pi$): $x$좌표가 감소 계속 → 미분값 음수

따라서 $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$는 부호가 반대인 것이 자연스럽습니다.

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2. 2차시: 몫의 미분법과 체인 룰

2.1 몫의 미분법

정리: 두 함수 $u(x)$와 $v(x)$에 대해

$${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$

예시: $(\tan x{)}^{\prime }$ 증명

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\Rightarrow u=\sin x,v=\cos x$$ $$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$$

2.2 합성함수의 미분법: 체인 룰

정리: 합성함수 $f(g(x))$의 미분

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

직관적 이해:

• 외부 함수의 변화율 $\times$ 남부 함수의 변화율
• “덧셈 정리 없이” 복잡한 함수의 미분 가능

예시들:

함수	외부 $f(u)$	남부 $u=g(x)$	도함수
$\sin (2x)$	$\sin u$	$2x$	$2\cos (2x)$
$e^{3x}$	$e^u$	$3x$	$3e^{3x}$
$(x^2+1{)}^5$	$u^5$	$x^2+1$	$5(x^2+1{)}^4\cdot 2x$
$\ln (x^3)$	$\ln u$	$x^3$	$\frac{3x^2}{x^3}=\frac{3}{x}$

매스봉 컴포넌트: 체인 룰 시뮬레이션

체인 룰 이해하기

합성함수의 미분을 레고블록으로 조립

시뮬레이션

합성함수를 외부 함수와 남부 함수로 분해하고, 각각의 미분을 계산한 뒤 곱하는 과정을 시각적으로 확인해보세요.

연쇄법칙 (Chain Rule) 시각화

합성함수의 미분을 LEGO 블록처럼 조립해 보세요

미적분

학습 목표

연쇄법칙(Chain Rule)을 통해 합성함수 f(g(x))의 미분을 이해합니다. 외부 함수와 낶부 함수를 구분하고, 각각의 도함수를 구한 뒤 곱하는 과정을 시각적으로 확인합니다.

단계 0/4

0%

sin(2x) (x²+1)³ e^(3x)

Step 0 합성함수 살펴 보기

입력값 x x = 1

x

1

→

g(x)

2x

→

f(u)

\sin(u)

→

f(g(x))

\sin(2x)

← 이전 단계 다음 단계 →

핵심 포인트

• 연쇄법칙은 "함수의 함수"를 미분할 때 사용합니다
• 외부 함수를 미분할 때는 낶부 함수를 그대로 유지합니다
• 마지막에 반드시 낶부 함수의 도함수를 곱해줘야 합니다
• 이것이 "연쇄(chain)"라는 이름의 유래입니다

2.3 다층 체인 룰

세 겹 합성: $f(g(h(x)))$

$$\frac{d}{dx}f(g(h(x)))=f^{\prime }(g(h(x)))\cdot g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$$

예시:

$$\frac{d}{dx}\sin (e^{x^2})=\underset{\text{외부}}{\underbrace{\cos (e^{x^2})}}\cdot \underset{\text{중간}}{\underbrace{e^{x^2}}}\cdot \underset{\text{남부}}{\underbrace{2x}}$$

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3. 주간 퀴즈

문제 1

$f(x)=\sin (3x+\frac{\pi }{4})$의 도함수를 구하시오.

문제 1

기본 체인 룰

퀴즈

정답을 선택하세요:

$3\cos (3x+\frac{\pi }{4})$$\cos (3x+\frac{\pi }{4})$$-3\sin (3x+\frac{\pi }{4})$

문제 2

$f(x)=(2x^2+1{)}^4$의 도함수를 구하시오.

정답 보기

정답: $8x(2x^2+1{)}^3$

풀이: 외부 $u^4$ → $4u^3$, 남부 $2x^2+1$ → $4x$, 따라서 $4(2x^2+1{)}^3\cdot 4x=16x(2x^2+1{)}^3$

⚠️ 오타 수정: $4\cdot 4x=16x$

문제 3

$f(x)=\frac{\sin x}{x^2+1}$의 도함수를 구하시오.

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4. 이번 주 핵심 정리

2주차 핵심 공식

꼭 기억해야 할 미분 공식들

정리

삼각함수 미분

• $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
• $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
• $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$

미분 법칙

• 몫의 미분: $(u/v{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$
• 체인 룰: $\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

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5. 다음 주 예고

3주차: 매개변수로 나타낸 함수와 음함수의 미분법, 이계도함수와 초월함수의 그래프

• 매개변수 미분: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$
• 음함수 미분: $F(x,y)=0$ 형태의 미분
• 극대/극소와 변곡점 찾기

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이 포스트는 매스봉(MathBong) 컴포넌트를 활용하여 작성되었습니다. 인터랙티브한 학습 경험을 제공합니다.