[공통수학1 시리즈 4편] 다항식의 곱셈과 분배·교환·결합법칙

이번 글의 목표는 하나입니다.

다항식의 곱셈을 정확히 이해하고, 교환법칙·결합법칙·분배법칙이 왜 성립하는지 한 번에 이해하기.

먼저 분명히 하고 시작합니다.

다항식의 핵심은 항끼리 곱한 뒤, 같은 차수끼리 정리하는 것
배열(합성곱) 관점은 이 과정을 쉽게 보여주는 도구

1. 다항식 곱셈의 기본 정의

두 다항식을 곱할 때는 항상 같은 규칙을 씁니다.

한쪽의 각 항을 다른 쪽의 모든 항과 곱한다.
마지막에 같은 차수끼리 더한다.

예시:

(2 x^{2} + 3 x + 1) (x + 4)

	$x$	$4$
$2 x^{2}$	$2 x^{3}$	$8 x^{2}$
$3 x$	$3 x^{2}$	$12 x$
$1$	$x$	$4$

같은 차수끼리 정리하면

2 x^{3} + 11 x^{2} + 13 x + 4

이 됩니다.

2. 왜 세로셈(3자리×2자리)과 같은가?

수의 곱셈 $231 \times 14$ 를 생각해 보면,

$231 \times 4$ 를 쓰고
$231 \times 10$ 을 자리 맞춰 이동해서 쓰고
같은 자리끼리 더합니다.

다항식도 구조가 같습니다.

$(2 x^{2} + 3 x + 1) \times 4$
$(2 x^{2} + 3 x + 1) \times x$ (차수가 1 올라가므로 한 칸 이동과 같은 효과)
같은 차수끼리 더함

즉,

수의 곱셈: 같은 자리값끼리 합침
다항식 곱셈: 같은 차수끼리 합침

3. 배열로 옮겨 보면 (합성곱)

다항식을 계수 배열로 바꿔 봅시다.

$2 x^{2} + 3 x + 1 \to [2, 3, 1]$
$x + 4 \to [1, 4]$

이제 곱셈 과정을 배열로 쓰면:

$[2, 3, 1] \times 4 = [8, 12, 4]$
$[2, 3, 1] \times x = [2, 3, 1, 0]$ (한 칸 이동)
같은 위치끼리 더하면 $[2, 11, 13, 4]$

여기서 합성곱을 도장 비유로 보면 훨씬 직관적입니다.

원본 도장: $P = [2, 3, 1]$
$Q$ 의 각 계수는 “원본 도장 $P$ 를 몇 배로 만들지”를 정함
$Q$ 의 항 차수는 “도장을 오른쪽으로 몇 칸 이동해 찍을지”를 결정

즉, $Q$ 의 한 항을 볼 때마다

$P$ 의 각 계수에 $Q$ 의 현재 항 계수를 곱해 부분곱 도장을 만들고
그 항의 차수만큼 옆으로 밀어 찍고
이미 찍힌 자국과 겹치는 칸은 더해 누적합니다.

그래서 1변수에서도 합성곱은

“부분곱 도장을 차수만큼 옮겨가며 겹쳐 찍고, 겹친 칸의 값을 더하는 과정”

으로 이해할 수 있습니다. 아래 퀴즈의 Phase 2(부분곱 입력)가 바로 이 과정을 그대로 구현한 단계입니다.

이 방식이 바로 합성곱(컨볼루션)입니다.

중요 포인트:

다항식 개념이 바뀌는 것이 아님
“같은 차수끼리 정리”를 배열에서는 “같은 칸끼리 더하기”로 본 것

아래 “다항식의 곱 시각화”에서 단계별로 확인해 보세요.

다항식의 곱 시각화

도장 겹치기(부분곱)로 누적 합 생성

적용 0 / 2

준비됨

P 계수 입력

Q 계수 입력

P(x) = 2x^2 + 3x + 1 , Q(x) = x + 4

최고차항만 먼저 확인

deg(PQ) = deg(P) + deg(Q) = 2 + 1 = 3

생성된 부분곱 도장들

1·P(x)·x¹

[2, 3, 1]

4·P(x)·x⁰

[8, 12, 4]

Q 배열과 선택 위치 비교

Q[0]

x^1

Q[1]

x^0

Q 배열에서 선택된 성분이 도장 이동의 기준이 됩니다.

누적 합

x 차수: 3, 2, 1, 0

결과: 0, 0, 0, 0

상태

준비됨

4. 결과의 i번째 칸으로 보면 법칙이 보인다

배열

$P = [p_{0}, p_{1}, p_{2}, \dots]$
$Q = [q_{0}, q_{1}, q_{2}, \dots]$

의 합성곱 결과를 $R = P * Q = [r_{0}, r_{1}, r_{2}, \dots]$ 라고 하면:

$r_{0} = p_{0} q_{0}$
$r_{1} = p_{0} q_{1} + p_{1} q_{0}$
$r_{2} = p_{0} q_{2} + p_{1} q_{1} + p_{2} q_{0}$
$r_{3} = p_{0} q_{3} + p_{1} q_{2} + p_{2} q_{1} + p_{3} q_{0}$

즉, $r_{i}$ 는 인덱스 합이 $i$ 인 곱들을 전부 더한 값입니다.

먼저 실제 다항식 예시를 하나 보겠습니다.

P (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1, Q (x) = x + 4

배열로 바꾸면

$P = [2, 3, 1]$
$Q = [1, 4]$

이고 결과는

R = [2, 11, 13, 4]

입니다. 여기서 가운데 값 $11$ 은 $r_{1}$ 이고,

인덱스 합이 1이 되는 쌍만 모아서 계산합니다.

$(0, 1)$ : $p_{0} q_{1} = 2 \cdot 4 = 8$
$(1, 0)$ : $p_{1} q_{0} = 3 \cdot 1 = 3$

왜 이 둘만 쓰는가?

규칙이 “행 인덱스 + 열 인덱스 = 결과 인덱스”이기 때문입니다.
지금은 결과 인덱스가 1이므로 가능한 쌍은 $(0, 1), (1, 0)$ 뿐입니다.

따라서

r_{1} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1

가 되고, $r_{1} = 11$ 입니다.

다항식으로 연결하면,

$p_{0} = 2$ 는 $2 x^{2}$ , $q_{1} = 4$ 는 상수 $4$
$p_{1} = 3$ 는 $3 x$ , $q_{0} = 1$ 는 $x$

이라서 둘 다 $x^{2}$ 항을 만들고,

8 x^{2} + 3 x^{2} = 11 x^{2}

로 정리됩니다.

이제 이 i번째 요소 구성으로 세 법칙을 봅시다.

4-1, 4-2, 4-3 자세히 보기 (교환·결합·분배)

4-1. 교환법칙

P * Q = Q * P

$(P * Q)$ 의 i번째 요소를

r_{i} = p_{0} q_{i} + p_{1} q_{i - 1} + \dots + p_{i} q_{0}

라고 쓰면, $(Q * P)$ 의 i번째 요소는

r_{i}^{'} = q_{0} p_{i} + q_{1} p_{i - 1} + \dots + q_{i} p_{0}

입니다. 각 항은 같은 곱의 순서만 바뀐 것이므로 $r_{i} = r_{i}^{'}$ . 즉, 교환법칙이 성립합니다.

예를 들어 $i = 2$ 이면

r_{2} = p_{0} q_{2} + p_{1} q_{1} + p_{2} q_{0}, r_{2}^{'} = q_{0} p_{2} + q_{1} p_{1} + q_{2} p_{0}

이고, 각 항이 짝을 이루어 완전히 같습니다. 즉, i번째 요소를 하나씩 비교하면 모든 칸이 같아집니다.

4-2. 결합법칙

(P * Q) * T = P * (Q * T)

i번째 요소만 보면,

$((P * Q) * T)_{i}$ 도
$(P * (Q * T))_{i}$ 도

결국 인덱스 합이 i인 $p_{a} q_{b} t_{c}$ 항들을 모두 더한 값입니다.

중간에 먼저 계산하는 괄호만 다르고, 최종적으로 i번째 요소에 모이는 항의 집합이 같으므로 결합법칙이 성립합니다.

직관적으로는,

왼쪽은 먼저 $P, Q$ 를 섞어 부분합을 만든 뒤 $T$ 를 합치고
오른쪽은 먼저 $Q, T$ 를 섞어 부분합을 만든 뒤 $P$ 를 합칩니다.

하지만 i번째 칸 입장에서는 결국 같은 원소 3개를 뽑아 만든 곱들만 모입니다. 그래서 괄호 순서가 달라도 결과가 같습니다.

4-3. 분배법칙

P * (Q + T) = P * Q + P * T

i번째 요소에서 보면

왼쪽: $p_{0} (q_{i} + t_{i}) + p_{1} (q_{i - 1} + t_{i - 1}) + \dots$
항별 분배 후: $(P * Q)$ 의 i번째 요소 + $(P * T)$ 의 i번째 요소

이므로 분배법칙이 성립합니다.

예를 들어 $i = 1$ 이면

(P * (Q + T))_{1} = p_{0} (q_{1} + t_{1}) + p_{1} (q_{0} + t_{0}) = (p_{0} q_{1} + p_{1} q_{0}) + (p_{0} t_{1} + p_{1} t_{0}) = (P * Q)_{1} + (P * T)_{1}

처럼 i번째 요소에서 바로 확인됩니다.

5. 1변수 곱셈 연습 퀴즈

아래 퀴즈는 2장/3장과 같은 방식으로,

문제를 보고
내림차순 계수 배열을 입력하고
부분곱 과정을 확인

할 수 있도록 만든 실습 요소입니다.

1변수 다항식 곱셈 퀴즈

배열화 → 부분곱(합성곱) → 최종답 3단계

1변수 다항식 곱셈 퀴즈

문제

P(x)=0

Q(x)=0

Phase 1. 다항식을 배열로 바꾸기 (내림차순)

6. 2변수 다항식으로 확장

핵심은 1변수와 같습니다.

1변수: 계수 1차원 배열
2변수: 계수 2차원 배열(행렬)
연산 규칙: 계수는 곱하고, 지수(행/열 위치)는 더해서 누적

즉, 2변수도 “배열로 계산”할 수 있습니다.

6-1. 행렬(2차원 배열)로 곱셈 예시

예시: $P (x, y) = x + y$ , $Q (x, y) = x - y$

결과 행렬 $R$ 는 0으로 시작해서, 아래 누적 연산으로 만듭니다.

R [r + u, c + v] + = Q [r, c] \cdot P [u, v]

즉, Q에서 0이 아닌 값이 있는 요소마다 P 도장을 만들고, 위치만큼 이동해 겹쳐 찍으며 더하는 방식입니다.

한 줄로 말하면,

Q의 계수로 P를 곱해 도장을 만든 뒤, 겹쳐 찍듯이 누적해서 더하는 것이 2차원 합성곱입니다.

이 예시의 최종 결과는

(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}

입니다. (겹치는 $x y$ 항은 0으로 상쇄)

아래 시각화에서 직접 식을 입력하면, 도장 생성 -> 겹치기 -> 누적 덧셈이 한 화면에서 순차적으로 진행됩니다.

2변수 다항식 곱(도장 겹치기)

도장 생성 -> 겹치기 -> 누적 덧셈

적용 0 / 2

P(x,y)=x+y

Q(x,y)=x-y

현재 공식: 직접 입력

생성된 도장들 (Q의 각 0이 아닌 요소 × P)

$Q(y^1,x^0)=q_{y=1,x=0}\cdot P$

-1

shift (y:+1, x:+0)

$Q(y^0,x^1)=q_{y=0,x=1}\cdot P$

shift (y:+0, x:+1)

원래 Q 행렬과 선택 위치

y^{1}x^{1}

y^{1}x^{0}

-1

y^{0}x^{1}

y^{0}x^{0}

여기서 사용하는 Q 성분은 0이 아닌 값이 들어 있는 칸(0이 아닌 요소)이며, 그 위치(행=y, 열=x)가 도장 이동 위치를 결정합니다.

x/y

x^{2}

x^{1}

x^{0}

y^{2}

y^{1}

y^{0}

모든 도장 적용 완료 (최종 결과 행렬)

7. 핵심 정리

다항식 곱셈의 본질: 항끼리 곱하고, 같은 차수끼리 더하기
세로셈과 같은 구조를 가지므로 과정이 직관적임
배열(합성곱) 관점은 원리를 쉽게 보이게 하는 설명 도구임
결과의 i번째 칸 관점으로 보면 교환·결합·분배법칙 이유를 한 번에 이해할 수 있음

한 줄 결론:

다항식의 곱셈은 복잡한 새 규칙이 아니라, “분배 + 같은 차수 정리”를 체계적으로 수행하는 과정이다.

1. 다항식 곱셈의 기본 정의

2. 왜 세로셈(3자리×2자리)과 같은가?

3. 배열로 옮겨 보면 (합성곱)

최고차항만 먼저 확인

생성된 부분곱 도장들

Q 배열과 선택 위치 비교

누적 합

상태

4. 결과의 i번째 칸으로 보면 법칙이 보인다

4-1. 교환법칙

4-2. 결합법칙

4-3. 분배법칙

5. 1변수 곱셈 연습 퀴즈

1변수 다항식 곱셈 퀴즈

6. 2변수 다항식으로 확장

6-1. 행렬(2차원 배열)로 곱셈 예시

생성된 도장들 (Q의 각 0이 아닌 요소 × P)

원래 Q 행렬과 선택 위치

7. 핵심 정리

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