[공통수학1 시리즈 5편] 곱셈공식 한 번에 이해하기

이번 장 목표는 간단합니다.

곱셈공식을 “외우는 식”이 아니라, 곱해서 도장을 만들고, 겹쳐 찍으며 누적하는 규칙으로 이해하기.

1. 곱셈공식도 결국 같은 연산

앞 장에서 본 것처럼 곱셈은 항상

항끼리 곱하고
같은 항(같은 지수쌍)이면 더한다

로 끝납니다.

곱셈공식도 예외가 없습니다.

2. 고1 필수 곱셈공식 정리

2-1. 제곱 공식

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

핵심은 가운데 항입니다.

$(a + b)^{2}$ : $ab$ 가 두 번 생겨서 $+ 2 ab$
$(a - b)^{2}$ : $ab$ 가 두 번 생기지만 부호가 음수라 $- 2 ab$

2-2. 합차 공식

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

중간항 $+ ab$ 와 $- ab$ 가 상쇄되어 사라집니다.

2-3. 일반형 공식

(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab

(a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d

계수 관점으로 보면,

$x$ 의 계수는 $a + b$
상수항은 $ab$

입니다.

3. 도장 모델로 보는 공식의 공통 원리

공식마다 모양이 달라 보이지만 원리는 하나입니다.

이 글과 아래 시각화 컴포넌트는 좌표를 행=y, 열=x로 통일합니다.

한 식의 요소로 다른 식 전체를 곱해 도장을 만든다
도장을 위치에 맞춰 겹쳐 찍는다
겹치는 칸은 더한다

그 결과,

어떤 항은 두 번 겹쳐 계수가 2가 되고
어떤 항은 부호가 반대라 0으로 상쇄됩니다.

이게 곱셈공식이 성립하는 이유입니다.

4. 도장 시각화로 직접 확인

아래 컴포넌트에서 프리셋을 선택해 보세요.

예시 1: x+y 와 x+y -> $(x + y)^{2}$
예시 2: x-y 와 x-y -> $(x - y)^{2}$
예시 3: (x+y)^3 프리셋을 고르면 제곱 -> 추가 곱셈의 2단계 전개가 자동으로 이어서 진행

2변수 다항식 곱(도장 겹치기)

도장 생성 -> 겹치기 -> 누적 덧셈

적용 0 / 2

P(x,y)=x+y

Q(x,y)=x-y

현재 공식: 직접 입력

곱셈공식 프리셋

중3 필수

공통수학1

생성된 도장들 (Q의 각 0이 아닌 요소 × P)

$Q(y^1,x^0)=q_{y=1,x=0}\cdot P$

-1

shift (y:+1, x:+0)

$Q(y^0,x^1)=q_{y=0,x=1}\cdot P$

shift (y:+0, x:+1)

원래 Q 행렬과 선택 위치

y^{1}x^{1}

y^{1}x^{0}

-1

y^{0}x^{1}

y^{0}x^{0}

여기서 사용하는 Q 성분은 0이 아닌 값이 들어 있는 칸(0이 아닌 요소)이며, 그 위치(행=y, 열=x)가 도장 이동 위치를 결정합니다.

x/y

x^{2}

x^{1}

x^{0}

y^{2}

y^{1}

y^{0}

모든 도장 적용 완료 (최종 결과 행렬)

5. 실전 체크 포인트

공식을 먼저 외우기보다, 중간항이 왜 생기거나 사라지는지 먼저 본다.
부호 실수는 대부분 중간항 처리에서 나온다.
전개 후 같은 항 정리(동류항 결합)를 마지막에 반드시 확인한다.

6. 핵심 정리

곱셈공식은 별도 마법이 아니라 일반 전개의 반복 결과다.
도장(합성곱) 관점으로 보면 계수 2, 상쇄 0이 왜 생기는지 바로 보인다.
공식을 암기할 때는 “중간항의 생성/상쇄”를 함께 기억하면 실수가 줄어든다.