[선형대수 시리즈 9편] 연립일차방정식과 Ax=b

이번 글에서 다룰 내용

이 글에서는 연립일차방정식(linear system)을 Ax=b 형태로 묶어 읽습니다.

여러 개 식을 하나의 행렬 방정식으로 보는 이유를 설명합니다.
A, x, b가 각각 무엇을 뜻하는지 정리합니다.
식 풀이를 넘어 "가능한 출력"과 "찾아야 할 입력"의 구조로 해석합니다.
이후 가우스 소거법(Gaussian elimination)과 공간 개념으로 넘어가는 다리를 놓습니다.

이번 글에서 새로 나오는 용어

연립방정식 (system of equations): 같은 미지수에 대한 여러 조건을 한꺼번에 만족시키는 문제입니다.
행렬 (matrix): 계수를 구조적으로 묶는 표현입니다.
벡터 (vector): 미지수와 결과를 한 덩어리로 표현하는 대상입니다.

핵심 아이디어

연립일차방정식을 처음 배우면 보통 식을 한 줄씩 풀려고 합니다. 하지만 선형대수에서는 여러 식을 하나의 구조로 묶어 봅니다. 그 대표적인 표현이 Ax=b입니다.

여기서

A는 계수행렬(coefficient matrix)
x는 미지수 벡터(unknown vector)
b는 결과 벡터(result vector)

입니다.

예를 들어

x + 2y = 5
3x + 4y = 11

은 다음처럼 쓸 수 있습니다.

[1 2] [x] = [ 5]
[3 4] [y]   [11]

즉 개별 식 두 개를 푸는 문제가 아니라, 행렬 A가 어떤 입력 x를 받아 결과 b를 만드는가를 묻는 문제로 바뀝니다.

이 관점이 중요한 이유는, 이제 문제를 숫자 조작이 아니라 변환과 공간의 문제로 볼 수 있기 때문입니다.

앞 글의 행렬-벡터 곱을 잠깐 복습하면, Ax는 행렬 A의 열벡터들을 x의 성분만큼 섞은 선형결합입니다. 그래서 Ax=b는 단순 계산 문제이면서 동시에 "열벡터들로 b를 만들 수 있는가"를 묻는 문제이기도 합니다.

`Ax=b`를 어떻게 읽어야 하는가

Ax=b는 "행렬 A가 입력 x를 출력 b로 보낸다"는 뜻입니다. 그래서 질문은 자연스럽게 바뀝니다.

b는 A가 만들 수 있는 출력인가?
가능하다면 어떤 x가 그것을 만드는가?
하나의 x만 가능한가, 여러 개가 가능한가, 아예 불가능한가?

이 질문들은 단순 연립방정식 풀이를 넘어, 열공간(column space), 영공간(null space), 계수(rank)와 직접 연결됩니다.

동차 시스템(homogeneous system) 한 줄 메모

특히 b = 0인 경우의 시스템

Ax = 0

을 동차 시스템(homogeneous system)이라고 합니다. 이 경우에는 항상 x = 0이라는 자명한 해(trivial solution)가 존재합니다. 나중에 영공간(null space)을 배울 때 이 관점이 중요해집니다.

단계별 예시

예시 1) 두 식을 하나의 구조로 보기

다음 식을 보겠습니다.

x + y = 4
2x + 3y = 9

이를 Ax=b로 쓰면

A = [1 1
     2 3]

x = [x
     y]

b = [4
     9]

입니다. 이렇게 쓰면 이제 문제는 "어떤 벡터 x를 넣으면 b가 나오는가"로 읽힙니다.

예시 2) 열벡터(column vector) 관점

행렬 A = [a1 a2]의 열벡터를 a1, a2라고 하면 Ax=b는 사실 다음과 같습니다.

x1 a1 + x2 a2 = b

즉 b를 A의 열벡터 선형결합으로 만들 수 있는가를 묻는 문제입니다. 이 해석을 가지면 왜 어떤 b는 해가 없고, 어떤 b는 여러 해를 가질 수 있는지가 조금씩 보이기 시작합니다.

예시 3) 시스템 모델링

실무에서는 여러 자원의 조합으로 목표 조건을 맞추는 문제를 자주 만납니다. 예를 들어 재료 A, B의 단백질 함량이 각각 2g, 1g이고 탄수화물 함량이 3g, 5g이라고 합시다. 단백질 7g, 탄수화물 19g을 만들고 싶다면

[2 1] [A의 양] = [ 7]
[3 5] [B의 양]   [19]

처럼 쓸 수 있습니다. 이런 식으로 여러 재료를 섞어 원하는 결과를 만드는 문제는 모두 Ax=b 관점으로 볼 수 있습니다.

추천 시스템이나 행렬 분해에서도 일부 관측값에서 미지의 표현 벡터를 추정한다는 점에서 비슷한 사고방식이 등장합니다.

수학 주석

Ax=b는 단순히 식을 줄여 쓴 기호가 아니라, 선형변환 관점과 선형결합(linear combination) 관점을 동시에 담습니다.
Ax=b가 해를 가질 필요충분조건은 b가 A의 열공간(column space)에 있다는 것입니다.
해가 존재한다고 해서 유일한 것은 아니며, 영공간(null space) 구조에 따라 여러 해가 생길 수도 있습니다. 특히 Ax=0이 자명한 해만 가지면 유일해 쪽으로 기울고, 그렇지 않으면 여러 해가 남을 수 있습니다.
해가 존재하는 시스템을 일관적(consistent)이라고 하고, 존재하지 않는 시스템을 비일관적(inconsistent)이라고 합니다.

즉 Ax=b는 "계산 문제"이면서 동시에 "공간 포함 문제"입니다.

자주 하는 오해

식 개수와 미지수 개수만 보면 다 판단할 수 있다고 생각하기

식이 많다고 항상 해가 하나인 것도 아니고, 식이 적다고 항상 해가 많은 것도 아닙니다. 실제로는 식 사이 독립성(independence)과 행렬 구조가 더 중요합니다.

`A`, `x`, `b`를 그냥 기호 치환으로만 보기

A는 시스템 구조, x는 찾고 싶은 입력, b는 관측된 결과로 읽어야 이후 공간 개념이 살아납니다.

`Ax=b`를 계산 알고리즘과 같은 것으로 생각하기

Ax=b는 문제 자체이고, 가우스 소거법(Gaussian elimination)은 그 문제를 푸는 한 방법입니다. 문제와 알고리즘을 구분해서 보는 것이 중요합니다.

연습 또는 확장

아래 식을 Ax=b 형태로 직접 바꿔 보세요.

2x + y = 7, x - y = 1
x + y + z = 3, 2x + z = 5
Ax = 0 형태의 동차 시스템 한 예를 만들어 보기

그리고 다음 질문도 생각해 보세요.

b를 열벡터들의 선형결합으로 본다는 말은 무엇을 뜻하는가?
어떤 경우에 해가 존재하지 않을 수 있는가?
b = 0일 때는 왜 최소한 하나의 해가 항상 존재하는가?

마무리

이번 글에서는 연립방정식 (linear system)을 Ax=b로 읽었습니다.

여러 식을 하나의 행렬 방정식으로 묶을 수 있습니다.
A는 구조, x는 입력, b는 결과로 읽을 수 있습니다.
해를 찾는 문제는 곧 b를 열벡터들의 조합으로 만들 수 있는지 묻는 문제이기도 합니다.
동차 시스템 Ax = 0은 항상 자명한 해를 가집니다.

다음 글에서는 실제로 Ax=b를 푸는 대표 알고리즘인 가우스 소거법(Gaussian elimination)을 다루겠습니다.