[선형대수 시리즈 11편] 해가 하나, 없음, 무한개일 때

이번 글에서 다룰 내용

이 글에서는 연립일차방정식의 해 구조(solution structure)를 세 가지 경우로 나눠 봅니다.

해가 하나인 경우를 설명합니다.
해가 없는 경우를 설명합니다.
해가 무한히 많은 경우를 설명합니다.
피벗(pivot)과 자유변수(free variable)가 이 차이를 어떻게 만들고 보여 주는지 정리합니다.

이번 글에서 새로 나오는 용어

연립방정식 (system of equations): 여러 식을 동시에 만족하는 해를 찾는 문제입니다.
피벗 (pivot): 소거 결과에서 각 비영행(nonzero row)의 맨 앞에 처음 나타나는 0이 아닌 성분입니다.
자유변수 (free variable): 피벗이 없는 열에 대응하는 변수로, 여러 해를 남기는 원인입니다. 이 구조는 영공간과도 연결됩니다.
해집합 (solution set): 주어진 시스템을 만족하는 모든 해의 모음입니다.

핵심 아이디어

Ax=b를 풀 때 많은 사람이 "답을 구했는가"에만 집중합니다. 하지만 선형대수에서는 답 하나를 구하는 것만큼 중요한 질문이 있습니다.

해가 존재하는가?
존재한다면 하나인가, 여러 개인가?
여러 개라면 왜 그런가?

지난 글에서는 가우스 소거법으로 연립방정식을 사다리꼴(row echelon form)에 가깝게 바꾸는 방법을 봤습니다. 이번 글에서는 그 결과를 어떻게 읽어야 하는지, 즉 해가 몇 개인지와 왜 그런지를 해석합니다.

이 질문에 답하려면 소거 결과를 읽어야 합니다. 이때 해가 모순 없이 존재하는 경우를 일관적(consistent)이라고 하고, 모순이 생겨 해가 없는 경우를 불일치(inconsistent)라고 합니다.

예를 들어

[1 2 0 | 3]
[0 0 1 | 4]

처럼 생긴 사다리꼴에서는 1열과 3열에 피벗이 있고, 2열 변수는 자유변수입니다.

경우 1) 해가 하나인 경우

모순되는 식이 없고, 계수행렬의 모든 변수 열에 피벗이 잡히면 해는 하나입니다. 즉 시스템이 일관적이면서 자유변수가 남지 않는 경우입니다.

경우 2) 해가 없는 경우

소거 과정에서 다음과 같은 모순이 나타나면 해가 없습니다.

0x + 0y + 0z = 1

즉 왼쪽은 항상 0인데 오른쪽이 1이라면 어떤 값도 이 식을 만족할 수 없습니다. 이는 시스템이 서로 충돌하는 제약을 가진다는 뜻입니다.

경우 3) 해가 무한히 많은 경우

시스템이 일관적이고, 미지수 중 일부에 피벗이 없으면 자유변수가 생깁니다. 이 자유변수를 여러 값으로 바꿀 수 있으므로 해가 무한히 많아집니다.

즉 제약이 부족하면 해는 한 점이 아니라 직선, 평면, 더 높은 차원의 해공간(solution space) 형태로 나타날 수 있습니다.

단계별 예시

예시 1) 해가 하나인 경우

x + y = 3
x - y = 1

두 식은 서로 다른 직선을 나타내고 한 점에서 만납니다. 그래서 해는 하나입니다.

예시 2) 해가 없는 경우

x + y = 1
x + y = 3

왼쪽 구조는 같은데 오른쪽 결과가 다르므로 두 식은 서로 평행한 직선을 나타냅니다. 소거하면 모순이 드러나고, 해는 없습니다.

예시 3) 해가 무한히 많은 경우

x + y = 2
2x + 2y = 4

두 번째 식은 첫 번째 식의 2배일 뿐이라 새로운 제약을 추가하지 않습니다. 결국 독립적인 식은 하나뿐입니다.

소거하면 다음처럼 볼 수 있습니다.

x + y = 2
0 = 0

여기서 x 열에는 피벗이 있고 y 열에는 피벗이 없으므로 y가 자유변수입니다. y=t로 두면 x=2-t가 되어 해는 (2-t, t) 꼴로 무한히 나옵니다.

수학 주석

해가 하나인지, 없는지, 무한히 많은지는 단순히 식 개수와 미지수 개수만으로 결정되지 않습니다.
실제로 중요한 것은 독립적인 제약의 수, 즉 계수행렬의 계수 (rank)와 일관성(consistency)입니다.
rank([A|b]) > rank(A)이면 해가 없고, rank([A|b]) = rank(A)이면서 변수 수보다 작으면 자유변수가 남아 무한히 많은 해가 생깁니다.
비동차 시스템 Ax=b가 해를 하나라도 가지면, 모든 해는 "특정한 해 하나 + 영공간 (null space)의 벡터" 꼴로 쓸 수 있습니다.

즉 해 구조는 대수적 결과이면서 동시에 기하적 구조입니다.

자주 하는 오해

식 개수와 미지수 개수를 세면 끝난다고 생각하기

예외가 많습니다. 식이 많아도 서로 중복될 수 있고, 식이 적어도 특별한 경우 해가 없을 수 있습니다. 구조를 봐야 합니다.

자유변수를 "계산 편의용 문자" 정도로만 보기

자유변수는 해가 얼마나 많이 남아 있는지, 해공간의 차원이 얼마인지를 보여 주는 핵심 정보입니다.

해가 무한히 많으면 문제 자체가 나쁘다고 생각하기

그렇지 않습니다. 오히려 차원축소, 모델 매개변수화(parameterization), underdetermined system 이해에서는 매우 중요한 구조입니다.

연습 또는 확장

다음 식들이 각각 어느 경우에 속하는지 판단해 보세요.

해가 하나
해가 없음
해가 무한히 많음

그리고 가능한 경우 직접 소거해 이유를 써 보세요.

힌트: 사다리꼴로 만든 뒤 0 = c 꼴 모순이 있는지, 자유변수가 남는지 확인해 보세요.

(1) x + y = 2, x - y = 0
(2) x + y = 1, 2x + 2y = 3
(3) x + y = 2, 2x + 2y = 4

마무리

이번 글에서는 연립일차방정식의 해 구조를 세 가지로 나눠 봤습니다.

시스템이 일관적이고 자유변수가 없으면 해는 하나입니다.
제약이 충돌하면 해가 없습니다.
시스템이 일관적이고 자유변수가 남으면 해가 무한히 많습니다.
이 구조는 이후 영공간 (null space), 기저(basis), 차원(dimension)과 이어집니다.

다음 글에서는 여러 벡터를 섞어 무엇을 만들 수 있는지, 즉 선형결합(linear combination)과 생성 범위(span)를 다루겠습니다.