[공통수학1 시리즈 8편] 다항식의 상등과 영다항식

다항식의 상등이 무엇인지 분명히 하고, 영다항식의 뜻을 이해하여
다음 편에서 다룰 항등식의 바탕을 마련하기.

• 다항식은 차수별 계수로 식이 결정된다.
• 두 다항식이 같다는 것은 같은 차수의 계수가 각각 모두 같다는 뜻이다.
• 모든 계수가 0인 다항식이 영다항식이다.
• 항등식은 이 개념 위에서 이해해야 한다.

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1. 다항식의 상등

1-1. 다항식이 같다는 말의 뜻

다항식

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$

와

$$b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0$$

가 있다고 합시다.

이 두 식이 같은 다항식이라는 것은, 같은 차수의 계수가 각각 모두 같은 것을 뜻합니다.

2편에서 다항식을 **배열(array)**로 생각했던 것을 떠올려 보면 더 직관적입니다.

다항식에서 차수는 배열의 위치(인덱스), 계수는 그 칸에 들어 있는 값이라고 볼 수 있습니다.
그래서 두 다항식이 같다는 말은, 배열의 같은 위치에 있는 값이 전부 같다는 말과 같습니다.

예를 들어

$$3x^2+2x+5$$

는 최고차항부터 계수를 읽으면

$$[3,2,5]$$

처럼 볼 수 있습니다.

따라서

$$3x^2+2x+5 = 3x^2+2x+5$$

가 성립하는 이유는 식의 겉모양 때문이 아니라,

$$[3,2,5]=[3,2,5]$$

처럼 같은 위치의 값이 모두 같기 때문입니다.

반대로

$$3x^2+2x+5 \neq 3x^2+5x+2$$

인 이유는 배열로 보면

$$[3,2,5] \neq [3,5,2]$$

이기 때문입니다. 숫자가 같아 보여도 위치가 바뀌면 다른 다항식입니다.

즉,

$$a_n=b_n,\; a_{n-1}=b_{n-1},\; \cdots,\; a_0=b_0$$

일 때 두 다항식은 같습니다.

이것을 다항식의 상등이라고 합니다.

1-2. 예시

$$2x^2+ax+1=2x^2+3x+b$$

가 두 다항식의 상등이라면,

• $x^2$의 계수는 이미 같다.
• $x$의 계수는 $a=3$
• 상수항은 $1=b$

따라서

$$a=3,\quad b=1$$

입니다.

배열 비유로 보면 더 빠르게 보입니다.

$$2x^2+ax+1 \rightarrow [2,a,1], \quad 2x^2+3x+b \rightarrow [2,3,b]$$

두 다항식이 같으려면 두 배열도 같아야 하므로, 같은 위치끼리 비교해서

• 첫 번째 값: $2=2$
• 두 번째 값: $a=3$
• 세 번째 값: $1=b$

를 얻습니다.

1-3. 왜 중요한가?

앞에서 배운 나머지정리와 인수정리는 다항식의 값과 인수를 연결해 주었습니다.

반면 다항식의 상등은 다항식의 식 자체가 같다는 것이 무엇인지 분명하게 보여 줍니다.

배열 관점으로 보면, 다항식의 상등은 막연히 "모양이 비슷하다"는 뜻이 아니라

• 같은 차수는 같은 자리
• 그 자리의 계수도 같아야 함

이라는 정확한 규칙이라는 점이 분명해집니다.

이 개념은 다음 편에서 항등식을 다룰 때 핵심 역할을 합니다.

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2. 영다항식

2-1. 정의

모든 계수가 0인 다항식

$$0x^n+0x^{n-1}+\cdots+0x+0$$

을 영다항식이라고 합니다.

보통은 간단히

$$0$$

으로 씁니다.

2-2. 예시로 이해하기

다음 식을 봅시다.

$$(a-3)x^2+(b-2)x+(c-5)=0$$

이때 오른쪽의 0을 단순한 숫자 0이 아니라 영다항식으로 보면, 왼쪽 다항식의 모든 계수가 0이어야 합니다.

따라서

$$a-3=0,\quad b-2=0,\quad c-5=0$$

이고,

$$a=3,\quad b=2,\quad c=5$$

입니다.

2-3. 상등과 영다항식의 관계

두 다항식 $A(x), B(x)$가 같다면

$$A(x)-B(x)=0$$

으로 쓸 수 있습니다.

이때 오른쪽의 0은 영다항식이므로, $A(x)-B(x)$의 각 계수는 모두 0이어야 합니다.

즉, 두 다항식의 상등은 차를 영다항식으로 보는 것과 연결됩니다.

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3. 항등식으로 넘어가기 위한 준비

다음 편에서는 항등식을 다룹니다.

항등식은 모든 값에 대해 항상 성립하는 등식인데, 다항식에서는 다음 질문이 중요해집니다.

두 다항식이 모든 값에서 같다면, 왜 두 다항식은 같은 다항식이라고 말할 수 있을까?

이 질문에 답하려면 지금 배운

• 다항식의 상등
• 영다항식
• 이전 편의 나머지정리와 인수정리

가 함께 필요합니다.

즉, 이번 편은 항등식을 위한 개념 준비 편입니다.

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4. 핵심 정리

개념	핵심 내용
다항식의 상등	같은 차수의 계수가 모두 같음
영다항식	모든 계수가 0인 다항식
연결	두 다항식이 같다면 그 차는 영다항식

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5. 연습 문제

문제 1

다음 두 다항식이 같을 때 $a,b$를 구하시오.

$$3x^2+ax+b=3x^2+2x-1$$

정답 보기

같은 차수의 계수를 비교하면

• $a=2$
• $b=-1$

이다.

문제 2

다음 식이 영다항식이 되도록 $a,b$를 구하시오.

$$(a+1)x^2+(b-3)x+5=0$$

정답 보기

영다항식이 되려면 모든 계수가 0이어야 한다. 그런데 상수항이 5이므로 불가능하다.

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6. 다음 편 예고

다음 편에서는:

• 항등식의 뜻
• 항등식과 다항식의 상등의 관계
• 그 위에서 작동하는 계수비교법과 미정계수법

을 다룹니다.

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한 줄 결론:

다항식의 상등과 영다항식은, 다음 편에서 항등식을 이해하는 가장 중요한 바탕이다.