[NCS 수리영역 Chapter 01] 응용수리 대표유형 풀이

응용수리는 문제 수가 많아 보이지만, 실제로는 몇 개의 반복되는 구조로 묶입니다. 그래서 1번부터 68번까지를 한 문제씩 따로 외우기보다, 같은 유형을 먼저 묶고 그 안에서 대표문제를 제대로 풀어 보는 편이 훨씬 효율적입니다.

이 글은 그 기준으로 다시 정리했습니다.

• 먼저 문제를 대표유형으로 묶고
• 각 유형마다 풀이 순서를 고정한 뒤
• 대표문제를 1개씩 끝까지 해설하고
• 같은 구조의 문제 번호를 함께 연결합니다.

CHAPTER 01. 응용수리 전체 구조

대표유형	묶이는 문제	핵심 판단
터널 통과, 마주침, 평균속력	1~9	거리, 속력, 시간을 같은 단위로 놓을 수 있는가
농도 혼합, 증발, 일부 버리기	10~18	퍼센트가 아니라 용질량 보존으로 볼 수 있는가
함께 일하기, 채우기와 빼기	19~21	일의 양을 1로 두고 일률을 더하고 뺄 수 있는가
조합, 경우의 수, 조건부확률	22~32	전체 경우와 조건부 경우를 분리할 수 있는가
연립방정식, 정수조건, 이익률	33~57	문장을 식으로 바꾸고 정수 조건까지 볼 수 있는가
최대, 최소, 비 응용	58~68	식을 만든 뒤 꼭짓점, 비율표, 경우 분기를 할 수 있는가

응용수리에서 먼저 해야 할 일

문제를 읽자마자 계산하지 말고 아래 세 줄을 먼저 적는 습관이 중요합니다.

1. 무엇을 구하는가
2. 보존되는 값이 무엇인가
3. 어떤 식을 세우면 되는가

응용수리 오답의 대부분은 계산 실수보다 식을 잘못 세운 경우에서 나옵니다.

1. 거리, 속도, 시간 유형

이 묶음에는 1~9번이 들어갑니다. 결국 거리·속력·시간 관계 하나만 맞추면 되므로 겉보기는 열차, 출장, 운동장, 단속구간처럼 달라 보여도 핵심 식은 같습니다.

거리 = 속력 x 시간

다만 터널 문제는 평소 거리보다 열차 길이까지 포함한 거리를 이동해야 하고, 마주침 문제는 두 물체의 속력을 더하거나 빼야 합니다. 결국 어떤 양들의 비가 문제를 지배하는지 먼저 보는 습관이 중요합니다. 여기서 속력은 대표적인 단위당 값입니다.

1-1. 대표유형 A: 터널 완전 통과

묶이는 문제는 1, 2, 3번입니다.

대표로 1번을 보겠습니다.

일정한 속력으로 이동하는 기차가 400m 터널을 완전히 통과할 때 13초, 800m 터널을 완전히 통과할 때 23초가 걸린다. 이 기차가 속력을 3배로 높여 960m 터널을 완전히 통과할 때 걸리는 시간은?

여기서 중요한 것은 터널 입구에서 머리칸이 들어가는 순간부터 꼬리칸이 나오는 순간까지라는 점입니다. 따라서 이동거리는 열차 길이 + 터널 길이입니다.

열차 길이를 $L$, 원래 속력을 $v$라고 두면

$$\frac{L+400}{v} = 13, \qquad \frac{L+800}{v} = 23$$

두 식의 차를 빼면

$$\frac{400}{v} = 10$$

이므로

$$v = 40\text{ m/s}$$

이제 첫 번째 식에 대입하면

$$L + 400 = 13 \times 40 = 520$$

따라서

$$L = 120\text{ m}$$

속력을 3배로 높이면 새 속력은 $120\text{ m/s}$입니다. 960m 터널을 완전히 통과할 때 이동거리는

$$120 + 960 = 1080\text{ m}$$

따라서 시간은

$$\frac{1080}{120} = 9\text{초}$$

정답은 9초입니다.

이 유형에서 자주 틀리는 부분

• 터널 길이만 이동거리로 잡는 실수
• 두 식을 각각 풀려고 하다가 계산이 길어지는 실수
• 속력을 3배 했는데 시간도 3배라고 착각하는 실수

1-2. 대표유형 B: 평균속력과 출발시각 변화

묶이는 문제는 4, 5, 7, 8, 9번입니다. 출발시각이 달라도 평균속력 정의만 정확히 쓰면 계산이 깔끔해집니다.

대표로 4번을 보겠습니다.

김 과장은 오후 1시 30분에 출발해 4시에 도착했고 평균속력은 80km/h이다. 이 부장은 15분 늦게 출발해 같은 시각에 도착한다. B 지사부터 C 지사까지 거리는 A 본사부터 C 지사까지 거리의 1.35배이다. 이 부장의 평균 이동속력은?

김 과장의 이동시간은 2시간 30분, 즉 2.5시간입니다. 따라서 이동거리는

$$80 \times 2.5 = 200\text{ km}$$

즉 A 본사에서 C 지사까지 거리는 200km입니다.

그런데 B 지사에서 C 지사까지 거리는 이것의 1.35배이므로

$$200 \times 1.35 = 270\text{ km}$$

이 부장은 15분 늦게 출발했으므로 이동시간은 2시간 15분, 즉 2.25시간입니다.

따라서 평균속력은

$$\frac{270}{2.25} = 120\text{ km/h}$$

정답은 120km/h입니다.

이 유형에서는 식보다 시간을 시간 단위로 바꾸는 습관이 먼저입니다. 15분을 0.25시간으로 바꾸지 않으면 계산이 바로 꼬입니다. 상황에 따라 두 양의 비례식을 먼저 세우면 계산 흐름이 더 안정됩니다.

1-3. 대표유형 C: 원형 트랙의 만남 문제

묶이는 문제는 6번입니다.

둘레 400m인 운동장에서 같은 방향으로 달리면 100초 후 처음 만나고, 반대 방향으로 달리면 50초 후 처음 만난다. 갑이 더 빠를 때 을의 속력은?

같은 방향으로 처음 만난다는 것은 빠른 사람이 느린 사람을 한 바퀴 차이만큼 따라잡았다는 뜻이므로 속력 차는

$$\frac{400}{100} = 4\text{ m/s}$$

반대 방향으로 처음 만난다는 것은 두 사람이 합쳐서 한 바퀴를 채웠다는 뜻이므로 속력 합은

$$\frac{400}{50} = 8\text{ m/s}$$

빠른 사람 속력을 $a$, 느린 사람 속력을 $b$라고 하면

$$a-b=4, \qquad a+b=8$$

두 식을 더하면 $2a=12$이므로 $a=6$, 따라서 $b=2$입니다.

정답은 2m/s입니다.

2. 소금물 농도 유형

이 묶음은 10~18번입니다. 농도 문제는 퍼센트만 보고 달리면 꼬이고, 소금의 양과 물의 양으로 바꾸면 깔끔해집니다.

2-1. 대표유형 A: 일정량씩 사용하고 남은 농도

묶이는 문제는 10, 15번입니다.

대표로 10번을 보겠습니다.

물 300g과 죽염 75g이 있다. 물 122g과 죽염 23g을 섞어 가글한 후, 같은 방식으로 한 번 더 가글했다. 남은 물과 죽염으로 만들 수 있는 소금물의 농도는?

처음 상태는

• 물 300g
• 죽염 75g

한 번 가글할 때마다 물 122g, 죽염 23g을 사용합니다. 두 번 했으므로 사용량은

• 물: $122 \times 2 = 244$g
• 죽염: $23 \times 2 = 46$g

남은 양은

• 물: $300 - 244 = 56$g
• 죽염: $75 - 46 = 29$g

이제 남은 소금물 농도는

$$\frac{29}{56+29} \times 100 = \frac{29}{85} \times 100 \approx 34.1\%$$

정답은 34.1%입니다.

이 문제는 사실 혼합 문제가 아니라 남은 양 계산 문제입니다. 먼저 남은 물과 남은 소금을 따로 계산해야 합니다.

2-2. 대표유형 B: 섞고 일부 버리고 다시 섞기

묶이는 문제는 13번입니다.

8% 소금물 300g과 13% 소금물 200g을 섞은 뒤 300g만 남기고 버렸다. 여기에 20% 소금물 700g을 섞은 후 다시 300g만 남기고 버렸다. 마지막 300g 속 소금의 질량은?

첫 번째 혼합부터 보겠습니다.

• 8% 소금물 300g의 소금: $24$g
• 13% 소금물 200g의 소금: $26$g

따라서 처음 섞은 500g 소금물에는 소금이

$$24+26=50\text{ g}$$

들어 있습니다. 농도는 10%입니다. 여기서 300g만 남겼다는 것은 전체의 $\frac{3}{5}$만 남겼다는 뜻이므로 남은 소금도

$$50 \times \frac{3}{5} = 30\text{ g}$$

입니다.

이 상태에 20% 소금물 700g을 더하면 새로 들어오는 소금은

$$700 \times 0.2 = 140\text{ g}$$

이므로 전체 1000g 속 소금은

$$30+140=170\text{ g}$$

입니다. 이제 다시 300g만 남겼으므로 전체의 $\frac{3}{10}$만 남긴 것입니다. 따라서 마지막 300g 속 소금은

$$170 \times \frac{3}{10} = 51\text{ g}$$

정답은 51.0g입니다.

이 유형의 핵심은 버릴 때도 농도는 그대로라서 소금도 같은 비율로 줄어든다는 점입니다.

2-3. 대표유형 C: 증발로 농도 올리기

묶이는 문제는 11, 12, 16, 17, 18번입니다.

대표 공식을 먼저 정리하면, 증발 전 소금의 양을 $S$라고 할 때 목표 농도가 $p$이면 최종 전체량은

$$\frac{S}{p}$$

입니다. 물이 얼마나 줄어야 하는지는 처음 전체량과 비교해 보면 됩니다.

이 묶음은 계산 과정이 반복되므로, 문제를 풀 때는 항상 아래 순서를 지키면 됩니다.

1. 처음 소금의 양을 구한다.
2. 목표 농도로 만들었을 때 전체량을 구한다.
3. 줄어든 양을 구한다.

3. 일률 유형

이 묶음은 19~21번입니다. 일의 양을 1로 두고 일률만 더하고 빼면 계산이 단순해집니다.

3-1. 대표유형: 함께 일할 때의 전체 일률

대표로 19번을 보겠습니다.

A와 B를 동시에 이용하면 7일, B와 C를 동시에 이용하면 8일, C와 A를 동시에 이용하면 4일 걸린다. A, B, C를 동시에 이용해 하루에 2회씩 운송한다면 최소 며칠이 필요한가?

전체 작업량을 1이라 두면 하루 1회 운송 기준 일률은

$$A+B=\frac{1}{7}, \qquad B+C=\frac{1}{8}, \qquad C+A=\frac{1}{4}$$

세 식을 더하면

$$2(A+B+C) = \frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

오른쪽을 통분하면

$$\frac{8+7+14}{56}=\frac{29}{56}$$

따라서

$$A+B+C = \frac{29}{112}$$

입니다. 그런데 문제에서는 하루에 2회씩 운송하므로 실제 하루 작업량은 두 배인

$$2 \times \frac{29}{112} = \frac{29}{56}$$

입니다. 전체 작업량 1을 끝내는 데 걸리는 시간은

$$\frac{1}{29/56} = \frac{56}{29} \approx 1.93$$

일입니다.

최소 일수는 2일입니다.

같은 방식으로 20번은 채우는 호스는 더하고 빼는 호스는 빼면 되고, 21번은 연립식으로 개인 일률을 복원하면 됩니다.

4. 확률 및 경우의 수 유형

이 묶음은 22~32번입니다. 여기서는 확률 판단과 조합을 분리하고, 그중에서도 조건부확률 두 갈래로 나눠 보는 편이 좋습니다.

4-1. 대표유형 A: 조건 없는 조합 세기

묶이는 문제는 22, 25, 26번입니다.

대표로 22번을 보겠습니다.

반원 위에 있는 9개의 점 중 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수는?

반원 위의 9점 중 아무 3점을 골라도 삼각형이 만들어진다고 보면 됩니다. 따라서 경우의 수는

$$\binom{9}{3}=\frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1}=84$$

정답은 84가지입니다.

이 문제는 단순 조합이지만, 시험장에서는 괜히 예외를 찾다가 시간을 쓰기 쉽습니다. 도형이 보여도 특별한 예외 조건이 없으면 먼저 조합을 떠올리는 것이 좋습니다.

4-2. 대표유형 B: 조건부확률과 베이즈 사고

묶이는 문제는 28, 29, 30, 31, 32번입니다.

대표로 30번을 보겠습니다.

철수는 구슬의 색을 옳게 판단할 확률이 80%이다. 실제 구슬은 빨간색 120개, 노란색 80개이다. 철수가 구슬의 색을 빨간색으로 판단하였다면 실제로 노란색일 확률은?

이 문제는 바로 베이즈 정리 구조입니다. 먼저 실제 비율은

• 빨간색: $120/200 = 0.6$
• 노란색: $80/200 = 0.4$

철수가 맞힐 확률이 80%이므로

• 실제 빨간색일 때 빨간색이라 말할 확률: $0.8$
• 실제 노란색일 때 빨간색이라 말할 확률: $0.2$

이제 철수가 빨간색이라고 말했다는 사건의 확률은

$$0.6 \times 0.8 + 0.4 \times 0.2 = 0.48 + 0.08 = 0.56$$

이 중 실제로 노란색인데 빨간색이라 말한 경우의 확률은

$$0.4 \times 0.2 = 0.08$$

따라서 원하는 조건부확률은

$$\frac{0.08}{0.56} = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}$$

정답은 1/7입니다.

조건부확률 문제는 무조건 분수식부터 쓰기보다, 먼저 표본공간이 바뀌었는지를 확인해야 합니다. 여기서는 빨간색이라고 판단한 경우만 새 표본공간입니다.

5. 방정식의 활용 유형

이 묶음은 33~57번입니다. 이 파트는 한 문장씩 식으로 바꾸는 힘이 핵심입니다.

5-1. 대표유형 A: 가격, 개수, 총액을 이용한 연립방정식

묶이는 문제는 33, 34, 39, 40, 41, 43번입니다.

대표로 33번을 보겠습니다.

연필은 300원, 볼펜은 400원이다. 두 품목을 합쳐 27자루 구매해 9,000원을 지불했다면 볼펜은 몇 자루인가?

볼펜 개수를 $x$라고 두면 연필 개수는 $27-x$입니다. 총액 식은

$$400x + 300(27-x) = 9000$$

전개하면

$$400x + 8100 - 300x = 9000$$

따라서

$$100x = 900$$

이므로

$$x = 9$$

정답은 9자루입니다.

이 유형은 사실상 같은 구조가 반복됩니다. 무엇을 미지수로 둘지만 정하고, 나머지는 총개수와 총액 식으로 정리하면 됩니다.

5-2. 대표유형 B: 정수조건이 붙는 구매 문제

묶이는 문제는 35, 36, 47, 48, 49번입니다.

이 묶음은 식을 세운 뒤 끝나는 것이 아니라, 자연수 조건, 범위 조건, 최솟값 또는 최댓값 조건을 마지막에 한 번 더 점검해야 합니다. 즉 해를 구하는 것이 아니라, 가능한 해 중에서 조건에 맞는 해를 고르는 문제입니다.

대표적으로 35번과 36번은 가격식만 보면 쉬워 보이지만, 실제로는 각각 1개 이상, 총 개수 20개 이상, 45개 이상 같은 조건 때문에 정수해 검토가 핵심입니다.

5-3. 대표유형 C: 평균과 점수 조건을 식으로 바꾸기

묶이는 문제는 42, 43, 46번입니다.

대표로 43번을 보겠습니다.

9번의 시험 점수는 79점 또는 85점뿐이고 평균은 81점이다. 85점을 받은 횟수는?

85점을 받은 횟수를 $x$라고 두면 79점은 $9-x$번 받았습니다. 평균이 81점이므로 총점은

$$81 \times 9 = 729$$

한편 실제 총점은

$$85x + 79(9-x)$$

입니다. 따라서

$$85x + 79(9-x) = 729$$

전개하면

$$85x + 711 - 79x = 729$$

즉

$$6x = 18$$

이므로

$$x=3$$

정답은 3번입니다.

이 문제는 평균 문제를 총점 문제로 바꾸는 기본형입니다. 평균이 나오면 거의 항상 평균 x 개수 = 총합으로 바꾸는 습관을 가져가면 좋습니다.

5-4. 대표유형 D: 할인과 이익률

묶이는 문제는 50~57번입니다.

대표로 56번을 보겠습니다.

A, B 상품의 정가는 모두 원가에 40% 이윤을 붙여 정한다. 세일 기간에 A는 10%, B는 40% 할인했더니 판매가격이 같았다. B 상품 원가가 6만 원일 때 A 상품의 1개당 이익은?

B의 원가가 60,000원이므로 B의 정가는

$$60000 \times 1.4 = 84000$$

40% 할인 판매가격은

$$84000 \times 0.6 = 50400$$

이 값이 A의 할인 판매가격과 같습니다. A의 원가를 $x$라고 하면 A의 정가는 $1.4x$, 10% 할인 판매가격은

$$1.4x \times 0.9 = 1.26x$$

입니다. 따라서

$$1.26x = 50400$$

이므로

$$x = 40000$$

입니다. A의 이익은 판매가격에서 원가를 뺀 값이므로

$$50400 - 40000 = 10400$$

정답은 10,400원입니다.

이익률 문제는 중간 단계를 건너뛰면 거의 틀립니다. 항상 원가 -> 정가 -> 할인 판매가 -> 이익 순서로 적어 두는 것이 안전합니다.

6. 최대, 최소, 비율 응용 유형

이 묶음은 58~68번입니다. 식을 만드는 것까지는 앞 유형과 비슷하지만, 마지막에 최댓값이나 비율 조건 해석이 붙습니다.

6-1. 대표유형 A: 고정 둘레에서 넓이 최대

묶이는 문제는 58, 59번입니다.

대표로 58번을 보겠습니다.

길이가 각각 48m, 36m인 줄로 각각 사각형을 만들 때, 두 사각형 넓이 합의 최댓값은?

고정된 둘레로 만들 수 있는 직사각형 중 넓이가 최대가 되는 것은 정사각형입니다. 따라서

• 둘레 48m인 사각형의 최대 넓이: 한 변 12m인 정사각형이므로 $12^2 = 144$
• 둘레 36m인 사각형의 최대 넓이: 한 변 9m인 정사각형이므로 $9^2 = 81$

따라서 넓이 합의 최댓값은

$$144+81=225$$

정답은 225입니다.

6-2. 대표유형 B: 가격과 수요의 곱이 최대인 매출 문제

묶이는 문제는 60, 61번입니다.

대표로 60번을 보겠습니다.

판매가격이 3,000원일 때 6,000개를 판매한다. 가격이 100원 감소할 때마다 판매개수는 300개 증가한다. 매출액이 최대일 때 판매개수는?

가격을 100원씩 $x$번 내렸다고 하면

• 가격: $3000 - 100x$
• 판매량: $6000 + 300x$

매출액은

$$R(x) = (3000 - 100x)(6000 + 300x)$$

전개하면

$$R(x) = -30000x^2 + 300000x + 18000000$$

아래로 열린 이차함수이므로 최대는 꼭짓점에서 나옵니다. 꼭짓점의 $x$값은

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{300000}{2(-30000)} = 5$$

따라서 최대 매출이 되는 판매량은

$$6000 + 300 \times 5 = 7500$$

정답은 7,500개입니다.

6-3. 대표유형 C: 성비와 합격 비율

묶이는 문제는 65, 66, 67, 68번입니다.

이 묶음은 표를 직접 그리는 것이 가장 빠릅니다. 비율 문제가 길게 나와도, 남자와 여자 또는 선호와 비선호를 각각 칸으로 나누고 실제 인원을 한 번 두면 계산이 쉬워집니다.

특히 65~68번은 바로 식을 세우기보다 아래 순서를 추천합니다.

1. 전체를 공배수 형태로 둔다.
2. 합격자와 불합격자, 혹은 선호와 비선호를 표로 나눈다.
3. 비율을 실제 수식으로 연결한다.

표 기반 문항 처리

37, 38, 42, 44, 45, 46, 50~55번은 표나 추가 자료가 있어야 완전한 해설을 붙일 수 있습니다. 지금 글에서는 구조상 어디에 묶이는지만 반영했고, 원문 표를 확보하면 같은 방식으로 대표문제 해설을 더 붙일 수 있습니다.

이 장을 공부하는 추천 순서

처음부터 68문항을 순서대로 푸는 것보다, 아래 순서가 더 효율적입니다.

1. 1, 4, 6번으로 거리·속도·시간의 기본 식을 익힌다.
2. 10, 13번으로 농도 문제의 보존 개념을 잡는다.
3. 19번으로 일률 문제를 정리한다.
4. 22, 30번으로 조합과 조건부확률의 결을 나눈다.
5. 33, 43, 56번으로 방정식, 평균, 이익률 문제를 묶는다.
6. 58, 60번으로 최대·최소 문제의 전형을 익힌다.

이 순서로 풀면 68문항이 따로따로 보이지 않고, 결국 몇 개의 대표유형이 반복된다는 감각이 생깁니다.

다음 단계는 각 묶음의 나머지 문제들까지 같은 형식으로 확장해, 대표문제 1개가 아니라 유형별 3~4문제 해설 세트로 만드는 것입니다.