[공통수학1 시리즈 7편] 나머지정리와 인수정리

이번 글의 목표는 분명합니다.

다항식을 $(x-c)$로 나눌 때 생기는 나머지를 빠르게 구하고,
그 결과를 바탕으로 인수인지 아닌지까지 판단할 수 있게 되기.

먼저 핵심 흐름부터 잡고 시작합니다.

• $(x-c)$로 나누면 나머지는 상수 하나이다.
• 나눗셈 식 $P(x)=(x-c)Q(x)+r$에 $x=c$를 대입하면 $P(c)=r$가 된다.
• 그래서 $(x-c)$로 나눈 나머지는 $P(c)$이다.
• 특히 $P(c)=0$이면 나머지가 0이므로 $(x-c)$는 $P(x)$의 인수이다.

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나머지정리와 인수정리

이전 편에서 다항식의 나눗셈을 배웠습니다. 이제 중요한 질문이 생깁니다.

$(x-c)$로 나눌 때는 왜 굳이 장제법을 끝까지 하지 않아도 나머지를 알 수 있을까?

이 질문에 답하는 정리가 바로 나머지정리이고, 거기서 한 걸음 더 나아간 것이 인수정리입니다.

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1. $(x-c)$로 나눌 때 무엇이 특별한가?

다항식 $P(x)$를 $(x-c)$로 나누면, 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $r$이라 하여

$$P(x)=(x-c)Q(x)+r$$

로 쓸 수 있습니다.

여기서 중요한 점은 제수 $(x-c)$의 차수가 1이므로, 나머지의 차수는 1보다 작아야 한다는 것입니다. 따라서 나머지 $r$은 더 이상 $x$가 들어간 식이 아니라 상수 하나입니다.

이제 양변에 $x=c$를 대입해 봅시다.

$$P(c)=(c-c)Q(c)+r=0+r=r$$

즉,

$$P(c)=r$$

가 됩니다.

이 한 줄이 바로 나머지정리의 핵심입니다. 외워야 하는 공식이라기보다, 나눗셈 식에 대입한 결과라고 이해하는 것이 중요합니다.

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2. 나머지정리

2-1. 정리

다항식 $P(x)$를 $(x-c)$로 나누면 나머지는 $P(c)$이다.

2-2. 왜 편리할까?

보통 나머지를 구하려면 장제법이나 조립제법을 해야 합니다. 그러나 제수가 $(x-c)$ 꼴이면, 긴 계산을 하지 않고도 그냥 $x=c$를 대입하면 됩니다.

즉,

• $(x-2)$로 나누는 나머지 → $P(2)$
• $(x+1)$로 나누는 나머지 → $P(-1)$
• $(x-3)$로 나누는 나머지 → $P(3)$

입니다.

부호를 특히 조심해야 합니다. $(x+1)$은 $(x-(-1))$이므로 넣는 값은 $-1$입니다.

2-3. 예시 1: 바로 대입하기

다항식

$$P(x)=2x^3-3x+1$$

을 $(x-2)$로 나눈 나머지를 구해 봅시다.

나머지정리에 의해

$$P(2)=2(2^3)-3(2)+1=16-6+1=11$$

따라서 나머지는 $11$입니다.

이 계산은 이전 편에서 장제법으로 구했던 결과와 정확히 같습니다.

2-4. 예시 2: 누락된 항이 있어도 그대로 대입

다항식

$$P(x)=x^4-5x^2+4$$

을 $(x+2)$로 나눈 나머지를 구해 봅시다.

$(x+2)=(x-(-2))$이므로 $x=-2$를 대입합니다.

$$P(-2)=(-2)^4-5(-2)^2+4=16-20+4=0$$

따라서 나머지는 $0$입니다.

여기서 중요한 점은 $x^3$항이나 $x$항이 없어도 괜찮다는 것입니다. 장제법에서는 $0x^3$, $0x$를 채워 넣어야 했지만, 나머지정리에서는 그냥 정확히 대입만 하면 됩니다.

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3. 인수정리

3-1. 정리

다항식 $P(x)$에 대하여 $P(c)=0$이면 $(x-c)$는 $P(x)$의 인수이다.

이것은 나머지정리에서 바로 나옵니다.

• $(x-c)$로 나눈 나머지 = $P(c)$
• 만약 $P(c)=0$이면 나머지가 0
• 나머지가 0이면 나누어떨어짐
• 따라서 $(x-c)$는 인수

즉, 인수정리는 나머지정리의 직접적인 결과입니다.

3-2. 예시 1: 인수인지 판별하기

다항식

$$P(x)=x^3-6x^2+11x-6$$

에서 $(x-1)$이 인수인지 확인해 봅시다.

$$P(1)=1-6+11-6=0$$

따라서 $(x-1)$은 인수입니다.

같은 방식으로

$$P(2)=8-24+22-6=0, \quad P(3)=27-54+33-6=0$$

이므로 $(x-2)$, $(x-3)$도 모두 인수입니다.

결국

$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$$

로 인수분해할 수 있습니다.

3-3. 예시 2: 인수가 아닌 경우

다항식

$$P(x)=x^2+2x+5$$

에서 $(x+1)$이 인수인지 보겠습니다.

$(x+1)=(x-(-1))$이므로 $x=-1$을 대입하면

$$P(-1)=(-1)^2+2(-1)+5=1-2+5=4$$

입니다.

0이 아니므로 $(x+1)$은 인수가 아닙니다. 그리고 동시에 $(x+1)$로 나눈 나머지가 $4$라는 사실도 함께 알 수 있습니다.

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4. 문제에서 어떻게 활용할까?

4-1. 나머지를 빠르게 구하는 문제

다음 나머지를 구해 봅시다.

$$P(x)=3x^3-2x^2+x+7$$

을 $(x-1)$로 나눈 나머지.

장제법 대신 바로

$$P(1)=3-2+1+7=9$$

이므로 나머지는 $9$입니다.

4-2. 인수인지 판단하는 문제

다음 중 $x^3+2x^2-5x-6$의 인수인 것을 찾아 봅시다.

• $(x-2)$인지 확인 → $P(2)=8+8-10-6=0$
• 따라서 $(x-2)$는 인수

이처럼 인수분해를 시작할 때는 후보 값을 넣어 보고 $0$이 되는지를 확인하면 됩니다.

4-3. 미지수 결정 문제

$(x-2)$가

$$P(x)=x^3+ax+2$$

의 인수일 때 $a$를 구해 봅시다.

인수정리에 의해 $P(2)=0$이어야 하므로

$$2^3+2a+2=0$$

즉,

$$8+2a+2=0$$

이므로

$$2a=-10, \quad a=-5$$

입니다.

이 유형은 이후 항등식, 미정계수법, 방정식 단원으로도 자연스럽게 연결됩니다.

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5. 자주 하는 실수

• $(x+3)$에 $3$을 넣는 실수
  → $(x+3)=(x-(-3))$이므로 $-3$을 넣어야 합니다.
• 나머지정리와 인수정리를 따로 외우는 실수
  → 인수정리는 나머지정리에서 나오는 결과입니다.
• $P(c)=0$이면 $c$가 인수라고 말하는 실수
  → 인수는 $c$가 아니라 $(x-c)$입니다.
• 아무 제수에나 대입하는 실수
  → 이 정리는 제수가 반드시 1차식 $(x-c)$ 꼴일 때 바로 쓸 수 있습니다.

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6. 핵심 정리

개념	핵심 내용
나머지정리	$P(x)$를 $(x-c)$로 나누면 나머지는 $P(c)$
인수정리	$P(c)=0$이면 $(x-c)$는 $P(x)$의 인수
연결	인수정리는 나머지정리의 직접적인 결과
주의	$(x+a)$에는 $-a$를 대입

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7. 연습 문제

아래 점검 퀴즈에서 나머지정리와 인수정리의 연결을 바로 확인해 보세요.

문제 1

다항식

$$P(x)=2x^2-3x+4$$

를 $(x-1)$로 나눈 나머지를 구하시오.

정답 보기

나머지정리에 의해 나머지는 $P(1)$이다.

$$P(1)=2-3+4=3$$

따라서 나머지는 $3$이다.

문제 2

다항식

$$P(x)=x^2+x-6$$

에서 $(x-2)$가 인수인지 판별하시오.

정답 보기

$$P(2)=4+2-6=0$$

이므로 $(x-2)$는 인수이다.

문제 3

$(x+1)$이

$$P(x)=x^3+2x^2+ax-4$$

의 인수일 때 $a$를 구하시오.

정답 보기

$(x+1)$이 인수이므로 $P(-1)=0$.

$$(-1)^3+2(-1)^2+a(-1)-4=0$$ $$-1+2-a-4=0$$ $$-3-a=0$$

따라서

$$a=-3$$

이다.

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8. 다음 편 예고

다음 편에서는 다항식의 상등과 영다항식을 다룹니다.

나머지정리와 인수정리는 다항식의 값과 인수를 연결해 주었고, 다음 편에서는 거기서 더 나아가 다항식의 식 자체가 같다는 것이 무엇인지 살펴보게 됩니다.