[공통수학1 시리즈 15편] 이차방정식과 이차함수의 그래프

앞선 글에서는 판별식이 해의 개수와 종류를 어떻게 알려 주는지 정리했습니다. 이제 그 내용을 그래프와 연결해 보면, 왜 판별식이 그렇게 작동하는지가 훨씬 더 눈에 잘 들어옵니다.

이차방정식의 해와 이차함수 그래프가 $x$축과 만나는 점의 관계를 연결하고, 판별식이 그래프 해석으로 어떻게 이어지는지 이해하기.

먼저 오늘의 흐름을 잡고 시작하겠습니다.

• 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$은 $y=ax^2+bx+c$에서 $y=0$인 점을 찾는 일이다.
• $y=0$은 그래프에서 $x$축을 뜻한다.
• 따라서 해의 개수는 그래프가 $x$축과 만나는 점의 개수와 같다.
• 판별식은 이 만남의 개수를 대수적으로 알려 주는 도구다.

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1. 방정식과 함수는 어떻게 연결될까?

이차방정식

$$ax^2+bx+c=0$$

을 푼다는 것은, 식의 값이 0이 되는 $x$를 찾는다는 뜻입니다.

이제 같은 식을 함수로 보면

$$y=ax^2+bx+c$$

가 됩니다.

그러면 방정식

$$ax^2+bx+c=0$$

은 함수식에서는

$$y=0$$

인 경우를 찾는 일과 같습니다.

그런데 $y=0$은 좌표평면에서 바로 $x$축입니다.

따라서 다음 말이 성립합니다.

이차방정식의 해는 이차함수의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표이다.

이 한 줄이 오늘 글의 핵심입니다.

아래 좌표평면에서 처음에는 $D>0$인 그래프를 그리고, 꼭짓점을 위아래로 움직여 보면서 함수식과 판별식이 어떻게 다시 계산되는지 확인해 봅시다.

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2. 판별식에 따라 그래프는 세 가지 모습으로 나타난다

아래에서는 서로 다른 두 실근, 중근, 실근이 없는 경우를 차례로 넘겨 보면서 그래프가 어떻게 달라지는지 한눈에 비교할 수 있습니다.

2-1. 해가 두 개면 그래프는 x축을 두 번 만난다

먼저 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 갖는 경우를 생각해 봅시다.

예를 들어

$$x^2-5x+6=0$$

의 해는 $x=2, 3$입니다.

이 식을 함수로 보면

$$y=x^2-5x+6$$

입니다.

이 그래프는 $x=2$에서 한 번, $x=3$에서 한 번 $x$축을 만납니다. 즉, 그래프가 $x$축과 두 점에서 만난다는 말과, 방정식이 서로 다른 두 실근을 가진다는 말은 같은 내용을 다른 언어로 말한 것입니다.

2-2. 판별식과 함께 보면

이 식에서는

$$D=b^2-4ac=25-24=1>0$$

입니다.

즉,

• $D>0$
• 서로 다른 두 실근
• 그래프가 $x$축과 두 점에서 만남

이 세 가지는 서로 연결되어 있습니다.

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3. 해가 하나면 그래프는 x축에 한 번 스친다

이번에는 중근을 갖는 경우를 보겠습니다.

예를 들어

$$x^2-4x+4=0$$

은

$$(x-2)^2=0$$

이므로 해가 $x=2$ 하나입니다.

함수로 보면

$$y=x^2-4x+4=(x-2)^2$$

입니다.

이 그래프는 $x=2$에서 $x$축을 만나지만, 아래로 뚫고 지나가지 않고 딱 한 번 스치듯 만납니다.

여기서 $y=(x-2)^2$는 완전제곱식 꼴이므로, 그래프의 가장 낮은 점이 $(2,0)$이라는 것을 바로 읽을 수 있습니다.

또 $(x-2)^2$는 항상 0 이상이고, $x=2$일 때만 0이 됩니다. 그래서 그래프는 $x$축 아래로 내려가지 않으면서, 오직 한 점 $(2,0)$에서만 만납니다. 이렇게 한 점에서 만나고 지나가지 않는 것을 여기서는 접한다고 이해하면 충분합니다.

3-1. 판별식과 함께 보면

이 식에서는

$$D=b^2-4ac=16-16=0$$

입니다.

즉,

• $D=0$
• 중근
• 그래프가 $x$축에 한 점에서 접함

이 서로 연결됩니다.

여기서 "접한다"는 말은 그래프가 그 점에서 $x$축과 만나지만, 교차하지는 않는다는 뜻으로 이해하면 충분합니다.

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4. 실근이 없으면 그래프는 x축과 만나지 않는다

마지막으로 실근이 없는 경우입니다.

예를 들어

$$x^2-4x+5=0$$

은 판별식이

$$D=16-20=-4<0$$

이므로 실근이 없습니다.

하지만 함수로 보면

$$y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$$

입니다.

이 식은 항상 1 이상이므로 그래프 전체가 $x$축 위에 있습니다. 이 식은 앞의 글에서처럼 완전제곱식으로 고쳐 쓴 형태입니다.

이 식은 항상 1 이상이므로 그래프 전체가 $x$축 위쪽에만 있습니다. 그래서 그래프는 $x$축과 한 번도 만나지 않습니다.

참고로 앞선 글에서 본 것처럼, 복소수 범위에서는 해가 $2\pm i$로 존재합니다. 즉, 그래프 해석은 실수 좌표평면에서의 만남을 말해 주고, 복소수 해의 존재까지 그림으로 직접 보여 주지는 않습니다.

4-1. 중요한 구분

• 그래프가 $x$축과 만나지 않는다.
• 실근이 없다.

이 두 말은 같은 뜻입니다.

하지만 이것이 곧 해가 아예 없다는 뜻은 아닙니다. 복소수 범위에서는 해가 있을 수 있습니다.

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5. 판별식은 그래프에서 무엇을 알려 줄까?

지금까지의 내용을 한 번에 정리하면 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{c|c|c} \text{판별식 } D & \text{실근의 상태} & \text{그래프와 }x\text{축의 관계} \\ \hline D>0 & \text{서로 다른 두 실근} & \text{두 점에서 만남} \\ D=0 & \text{중근} & \text{한 점에서 접함} \\ D<0 & \text{실근 없음} & \text{만나지 않음} \end{array}$$

즉, 판별식은 단지 계산용 기호가 아니라 그래프의 모습을 미리 알려 주는 신호입니다.

여기서 하나 더 주의할 점은 $a$의 부호는 포물선이 위로 열리는지 아래로 열리는지를 결정하고, 판별식은 $x$축과 몇 번 만나는지를 결정한다는 것입니다. 즉, 방향은 $a$, 교점 개수는 판별식이 맡는다고 생각하면 정리가 쉽습니다.

5-1. 왜 이런 연결이 자연스러울까?

근본 이유는 단순합니다.

방정식의 해를 구한다는 일 자체가, 함수값이 0이 되는 지점을 찾는 일이기 때문이다.

그래서 대수적으로는 근의 공식과 판별식이 나오고, 그래프로는 $x$축과의 만남이라는 그림이 나옵니다. 둘은 다른 내용이 아니라 같은 내용을 두 방식으로 보는 것입니다.

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6. 이 생각은 일차함수와의 교점에도 그대로 이어진다

지금까지는 $y=ax^2+bx+c$와 $x$축의 관계를 봤습니다. 그런데 $x$축은 사실 $y=0$이라는 특별한 일차함수라고 볼 수 있습니다.

즉, 오늘 본 내용은 단지 $x$축과의 만남만 설명하는 것이 아니라,

두 그래프가 만나는 점은 두 식의 값이 같아지는 점이라는 생각

으로 자연스럽게 이어집니다.

예를 들어 이차함수

$$y=ax^2+bx+c$$

와 일차함수

$$y=mx+n$$

의 교점을 구한다고 해 봅시다.

교점에서는 같은 $x$에서 두 함수값이 같아야 하므로

$$ax^2+bx+c=mx+n$$

을 만족해야 합니다.

이것을 한쪽으로 정리하면

$$ax^2+(b-m)x+(c-n)=0$$

이 됩니다.

즉, 이차함수와 일차함수의 교점을 구하는 문제도 결국 이차방정식을 푸는 문제로 바뀝니다. 그래서 앞에서 본 판별식의 생각을 여기에도 그대로 쓸 수 있습니다.

6-1. 두 함수의 차를 이용하면 더 분명해진다

두 함수 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 교점을 구할 때는

$$f(x)=g(x)$$

를 푸는 대신,

$$f(x)-g(x)=0$$

으로 바꾸어 보는 습관이 매우 중요합니다.

이 표현이 좋은 이유는, 교점 문제를 다시 함수값이 0이 되는 점을 찾는 문제로 되돌려 주기 때문입니다.

즉,

• $f(x)=g(x)$는 두 함수값이 같은 점을 찾는 식이고,
• $f(x)-g(x)=0$은 두 함수의 차가 0이 되는 점을 찾는 식입니다.

결국 두 식은 같은 뜻입니다.

여기서 두 함수의 차이를

$$h(x)=f(x)-g(x)$$

라고 놓으면, 교점을 구하는 문제는

$$h(x)=0$$

을 푸는 문제로 바뀝니다.

즉, 앞에서 이차함수와 $x$축의 관계를 해석할 때 썼던 같은 해법을 $h(x)$에 그대로 적용하면 됩니다. $h(x)$가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표가 바로 원래 두 함수의 교점의 $x$좌표입니다.

즉, 두 함수의 교점 문제를 다시 $x$축과의 교점 문제로 바꾸는 것이 핵심입니다.

아래 실험에서 $f(x)$와 $g(x)$의 계수를 직접 바꿔 보세요. 첫 번째 탭은 원래 두 그래프의 교점을 보여 주고, 두 번째 탭은 $h(x)=f(x)-g(x)$를 그려서 같은 $x$값이 $x$축과의 교점으로 다시 나타나는지 보여 줍니다.

6-2. 예제로 보면 $h(x)$에 같은 해법을 적용한다는 뜻이 더 분명해진다

이번에는 조금 더 구조가 잘 드러나는 예를 보겠습니다.

이차함수

$$f(x)=x^2-4x+1$$

와 일차함수

$$g(x)=-x+5$$

의 교점을 구해 봅시다.

교점에서는 두 함수값이 같아야 하므로

$$f(x)=g(x)$$

즉,

$$x^2-4x+1=-x+5$$

입니다.

이제 두 함수의 차이를

$$h(x)=f(x)-g(x)$$

라고 두면,

$$h(x)=(x^2-4x+1)-(-x+5)=x^2-3x-4$$

이므로 교점을 구하는 문제는

$$h(x)=0$$

즉,

$$x^2-3x-4=0$$

을 푸는 문제로 바뀝니다.

여기서부터는 앞에서 했던 것과 완전히 같습니다. 우리는 $h(x)$를 하나의 이차함수로 보고, 이 그래프가 $x$축과 어떻게 만나는지를 해석하면 됩니다.

판별식을 계산하면

$$D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25>0$$

이므로 $h(x)=0$은 서로 다른 두 실근을 가집니다. 따라서 $y=h(x)$의 그래프는 $x$축과 두 점에서 만나고, 원래의 두 함수 $y=f(x)$, $y=g(x)$도 서로 다른 두 점에서 만납니다.

실제로 인수분해하면

$$x^2-3x-4=(x-4)(x+1)=0$$

이므로

$$x=4, \qquad x=-1$$

입니다.

이 값을 원래 함수에 대입하면

$$f(4)=1, \qquad g(4)=1$$ $$f(-1)=6, \qquad g(-1)=6$$

이므로 교점은

$$(4,1), \qquad (-1,6)$$

입니다.

이 예에서 핵심은, 교점을 구할 때 새로운 함수 $h(x)=f(x)-g(x)$를 만들면

• 원래 두 함수의 교점 문제를
• $h(x)$와 $x$축의 교점 문제로 바꿀 수 있고,
• 그래서 해의 개수, 판별식, 그래프 해석이라는 같은 해법을 그대로 적용할 수 있다는 점입니다.

즉, 오늘 글에서 본 $x$축과의 만남은 더 넓게 보면 두 함수의 교점을 해석하는 가장 기본적인 출발점입니다.

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7. 계산할 때 자주 하는 실수

그래프와 연결되면 오히려 말이 섞여 헷갈리는 경우가 있습니다.

7-1. "그래프가 x축과 만나지 않는다"를 "해가 없다"로 말하는 실수

정확한 표현은 실근이 없다입니다. 복소수 해는 존재할 수 있습니다.

7-2. 중근을 "해가 하나뿐"이라고만 기억하는 실수

값은 하나이지만, 대수적으로는 같은 해가 두 번 반복된 경우입니다. 그래프에서는 그래서 한 점에서 스치는 모습으로 나타납니다.

7-3. $a$의 부호만 보고 실근의 개수를 판단하는 실수

그래프가 위로 열리는지 아래로 열리는지는 $a$의 부호가 결정합니다. 하지만 $x$축과 몇 번 만나는지는 판별식도 함께 봐야 합니다.

예를 들어 아래로 열려도 $x$축과 두 번 만날 수 있고, 위로 열려도 전혀 만나지 않을 수 있습니다.

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8. 연습 문제

아래 점검 퀴즈에서 그래프와 해의 관계를 다시 정리해 보세요.

9. 핵심 정리

• 이차방정식의 해는 이차함수 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표이다.
• $D>0$이면 그래프는 $x$축과 두 점에서 만나고, 서로 다른 두 실근을 가진다.
• $D=0$이면 그래프는 $x$축에 한 점에서 접하고, 중근을 가진다.
• $D<0$이면 그래프는 $x$축과 만나지 않고, 실근은 없다.
• 판별식은 대수적인 계산 결과이면서 동시에 그래프의 모양을 읽는 도구이다.
• 이 생각은 $y=0$뿐 아니라 두 함수 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 교점에도 그대로 이어지며, 이때는 $f(x)-g(x)=0$으로 바꾸어 보면 된다.

다음 글에서는 인수분해형, 완전제곱형, 치환형처럼 조금 더 다양한 이차방정식 문제를 어떻게 다루는지 살펴보겠습니다.

한 줄 결론:

이차방정식의 해와 이차함수 그래프는 따로 배우는 내용이 아니라, 같은 현상을 식과 그림으로 각각 보는 두 표현이며, 이 생각은 두 함수의 교점을 이해할 때도 그대로 이어집니다.