[공통수학1 시리즈 16편] 여러 가지 방정식

앞선 글들에서는 이차방정식의 기본형, 근의 공식, 판별식, 그래프와의 연결까지 차례대로 정리했습니다. 이제는 문제의 겉모양이 조금 바뀌어도, 안쪽 구조를 보고 방정식으로 정리하는 연습이 필요합니다.

여기서 말하는 기본형은 이차방정식에서는

$ax^2+bx+c=0 \qquad (a\neq0)$

꼴입니다. 그런데 삼차방정식 $ax^3+bx^2+cx+d=0$이나 사차방정식 $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$도 같은 생각으로 접근할 수 있습니다.

겉모양이 달라도 결국 다항식 방정식으로 귀착되는 여러 형태를 분류하고, 알맞은 전략으로 해를 구하기.

먼저 오늘의 흐름을 잡고 시작하겠습니다.

• 어떤 식은 처음부터 표준 꼴이 아니다.
• 하지만 인수분해하거나, 완전제곱식으로 보거나, 새로운 문자를 치환하면 구조가 드러난다.
• 이차뿐 아니라 삼차·사차 방정식도 같은 전략이 통한다.
• 핵심은 계산을 시작하기 전에 어떤 형태인지 분류하는 것이다.
• 형태를 잘 분류하면 해법도 거의 자동으로 따라온다.

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1. 왜 "여러 가지" 이차방정식을 따로 볼까?

예를 들어

$$x^2-5x+6=0$$

은 표준형이라서 바로 인수분해나 근의 공식을 떠올릴 수 있습니다.

그런데 다음 식들은 어떨까요?

$$(x-2)^2=9$$ $$x^4-5x^2+4=0$$

이 식들은 겉으로 보면 표준적인 이차방정식과 조금 다르게 생겼습니다. 하지만 잘 정리해 보면 결국은 이차방정식의 생각법으로 풀립니다.

즉, 여기서 중요한 것은

식의 겉모양이 아니라, 안에 숨어 있는 이차식의 구조를 보는 것

입니다.

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2. 인수분해형: 곱이 0이면 각 인수를 본다

가장 먼저 볼 형태는 이미 인수분해가 되어 있는 경우입니다.

예를 들어

$$(x-1)(x-3)=0$$

이면 곱이 0이므로

$$x-1=0 \qquad \text{또는} \qquad x-3=0$$

입니다.

따라서 해는

$$x=1, \qquad x=3$$

입니다.

2-1. 왜 이 방법이 통할까?

두 수를 곱해서 0이 되려면 적어도 하나는 0이어야 합니다. 이것을 이용하는 것이 바로 인수분해형 해법입니다.

즉,

$$AB=0 \Rightarrow A=0 \text{ 또는 } B=0$$

를 쓰는 것입니다.

2-2. 예제 하나 더

$$(2x+1)(x-4)=0$$

이면

$$2x+1=0 \qquad \text{또는} \qquad x-4=0$$

이므로

$$x=-\frac{1}{2}, \qquad x=4$$

입니다.

인수분해형은 가장 빠른 형태이므로, 식이 곱의 꼴로 보이면 먼저 이 가능성을 확인하는 습관이 좋습니다. 다만 이것은 인수가 비교적 잘 보일 때의 이야기입니다. 실제 문제에서는 먼저 표준형을 인수분해해야 이 방법을 쓸 수 있는 경우도 많습니다.

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3. 완전제곱형: 제곱을 먼저 고립시킨다

이번에는 완전제곱식이 바로 보이는 경우입니다.

예를 들어

$$(x-2)^2=9$$

을 봅시다.

이 식은 이미 "무언가의 제곱 = 수" 꼴입니다. 이럴 때는 굳이 전개할 필요 없이 제곱을 푸는 것이 더 빠릅니다.

양변에 제곱근을 취하면

$$x-2=\pm 3$$

이고, 따라서

$$x=5, \qquad x=-1$$

입니다.

3-1. 왜 $\pm$를 꼭 써야 할까?

제곱해서 9가 되는 수는 3뿐 아니라 -3도 있기 때문입니다.

즉,

$$y^2=9 \Rightarrow y=\pm 3$$

입니다.

이 $\pm$를 빼먹으면 해를 반만 구하게 됩니다.

3-2. 복소수까지 연결되는 경우

이 글의 기본 초점은 실수 범위에서 여러 형태를 분류하는 데 있습니다. 아래 예시는 앞선 복소수 내용과의 연결을 보여 주는 참고라고 생각하면 됩니다.

만약

$$(x-1)^2=-4$$

라면 실수 범위에서는 불가능하지만, 복소수 범위에서는

$$x-1=\pm 2i$$

이므로

$$x=1\pm 2i$$

를 얻습니다.

즉, 완전제곱형도 앞선 복소수 내용과 자연스럽게 연결됩니다.

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4. 치환형: 새로운 문자로 보면 이차식이 된다

가장 중요한 형태 중 하나가 바로 치환형입니다.

예를 들어

$$x^4-5x^2+4=0$$

은 $x^4$가 있어서 얼핏 보면 이차방정식이 아닌 것처럼 보입니다.

하지만 여기서

$$t=x^2$$

라고 놓으면

$$x^4=(x^2)^2=t^2$$

이므로

$$t^2-5t+4=0$$

이 됩니다.

이제는 익숙한 이차방정식입니다.

인수분해하면

$$(t-1)(t-4)=0$$

이므로

$$t=1 \qquad \text{또는} \qquad t=4$$

입니다.

그런데 $t=x^2$였으므로 원래 식으로 돌아가면

$$x^2=1 \qquad \text{또는} \qquad x^2=4$$

입니다.

따라서

$$x=\pm 1, \qquad x=\pm 2$$

를 얻습니다.

4-1. 치환형의 핵심은 "다시 돌아오기"

많이 하는 실수는 $t$에 대한 해를 구한 뒤 거기서 멈추는 것입니다.

예를 들어 위 문제에서 $t=1, 4$를 구했다고 끝내면 안 됩니다. 반드시 원래 변수 $x$로 돌아와야 합니다.

치환은 문제를 바꾸는 것이 아니라, 잠시 더 보기 쉬운 형태로 옮겨 놓는 것일 뿐입니다.

4-2. 항상 가능한 치환은 아니다

치환형은 식 전체가 한 문자에 대해 이차식처럼 보일 때 쓸 수 있습니다.

즉, 모든 항이 같은 덩어리의 거듭제곱으로 정리되어야 합니다.

예를 들어

$$x^4-5x^2+4$$

은 $x^2$에 대한 이차식이지만,

$$x^4+x+1$$

은 그렇지 않습니다.

왜냐하면 $x^4-5x^2+4$는 $x^2$를 기준으로 보면 $(x^2)^2, x^2, 1$처럼 모두 같은 덩어리로 정리되지만, $x^4+x+1$은 $x$항이 끼어 있어서 $x^2$ 하나만으로는 정리되지 않기 때문입니다.

즉, 치환은 하나의 같은 식을 기준으로 모든 항을 다시 쓸 수 있을 때 사용하는 전략입니다.

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5. 어떤 전략을 먼저 선택해야 할까?

문제를 보면 바로 계산부터 시작하기 쉽지만, 실제로는 먼저 형태를 보는 것이 더 중요합니다.

다음 순서로 점검하면 좋습니다. 다만 이 순서는 절대적인 규칙이라기보다, 처음 문제를 볼 때 떠올려 볼 점검표에 가깝습니다.

1. 이미 곱의 꼴인가? 그러면 인수분해형이다.
2. $(x-p)^2=q$ 같은 제곱의 꼴이 보이는가? 그러면 완전제곱형이다.
3. 모든 항을 $x^2$처럼 하나의 같은 식의 거듭제곱으로 다시 쓸 수 있는가? 그러면 치환형이다.

핵심은 공식 외우기가 아니라 구조 인식입니다.

5-1. 예제 빠르게 분류해 보기

• $(x+3)(x-2)=0$ → 인수분해형
• $(x-4)^2=16$ → 완전제곱형
• $x^4-10x^2+9=0$ → 치환형

이렇게 첫 판단만 잘해도 계산 방향이 훨씬 또렷해집니다.

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6. 계산할 때 자주 하는 실수

형태를 알아봐도 마지막 계산에서 실수하면 답을 놓치기 쉽습니다.

6-1. 인수분해형에서 한 인수만 0으로 두는 실수

$$(x-1)(x-3)=0$$

이면 두 경우를 모두 봐야 합니다. 하나만 보면 해를 빠뜨립니다.

6-2. 완전제곱형에서 $\pm$를 빼먹는 실수

$$(x-2)^2=9$$

이면 $x-2=3$만이 아니라 $x-2=-3$도 봐야 합니다.

예를 들어 $x-2=3$만 보면 $x=5$만 얻지만, 실제로는 $x=-1$도 원래 식을 만족합니다.

6-3. 치환형에서 원래 변수로 돌아오지 않는 실수

$t=x^2$로 두었다면 $t$에 대한 답을 구한 뒤 다시 $x$를 구해야 합니다. 특히 $x^2=4$에서 $x=2$만 쓰고 $x=-2$를 빼먹는 일이 자주 생깁니다.

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7. 삼차·사차 방정식도 같은 전략이 통한다

지금까지 이차방정식의 여러 형태를 봤습니다. 이제 삼차·사차 방정식으로 시야를 넓혀 보면, 같은 생각이 그대로 이어진다는 것이 중요합니다.

7-1. 삼차방정식의 인수분해형

삼차방정식

$(x-1)(x-2)(x-3)=0$

은 곱이 0이므로

$x-1=0 \quad \text{또는} \quad x-2=0 \quad \text{또는} \quad x-3=0$

입니다. 따라서 해는

$x=1, \quad x=2, \quad x=3$

입니다. 이차방정식의 인수분해형과 완전히 같은 원리입니다. 다만 인수가 하나 더 늘었을 뿐입니다.

7-2. 사차방정식의 치환형

사차방정식

$x^4-5x^2+4=0$

은 앞에서 본 것처럼 $t=x^2$로 치환하면

$t^2-5t+4=0$

이 되어 이차방정식으로 풀립니다. 이것은 사차방정식이지만, 치환을 통해 이차방정식의 구조로 환원됩니다.

7-3. 조립제법으로 인수를 찾는다

삼차방정식

$x^3-6x^2+11x-6=0$

을 봅시다. 이 식은 인수분해가 되어 있지 않으므로, 인수를 찾아야 합니다.

상수항의 약수인 $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$을 후보로 두고, 조립제법으로 시험해 보면 $x=1$에서 값이 0임을 알 수 있습니다.

따라서 $(x-1)$이 인수이고, 조립제법으로 나머지를 구하면

$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6)$

입니다. 여기서 $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$이므로

$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)=0$

이 되어 해는 $x=1, 2, 3$입니다.

삼차·사차 방정식도 인수분해, 치환, 조립제법이라는 같은 도구로 풀립니다. 차수가 높아졌다고 해서 새로운 방법이 필요한 것은 아닙니다.

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8. 연습 문제

아래 점검 퀴즈에서 형태를 보고 전략을 고르는 연습을 해보세요.

9. 핵심 정리

• 여러 가지 방정식은 겉모양은 달라도 결국 같은 다항식 구조를 가진다.
• 인수분해형은 곱이 0이라는 사실을 이용해 푼다.
• 완전제곱형은 제곱을 고립시킨 뒤 제곱근과 $\pm$를 이용해 푼다.
• 치환형은 새로운 문자를 두어 낮은 차수로 바꾼 뒤, 반드시 원래 변수로 돌아온다.
• 삼차·사차 방정식도 인수분해와 조립제법으로 접근할 수 있다.
• 핵심은 계산 기술보다 먼저 형태를 분류하는 눈이다.

다음 글에서는 삼차·사차 방정식을 더 깊이 다루고, 근과 계수 사이의 일반적인 관계를 살펴보겠습니다.

한 줄 결론:

여러 가지 방정식은 서로 다른 문제가 아니라, 같은 다항식 구조가 다른 겉모양으로 나타난 경우들입니다.