[공통수학1 시리즈 17편] 삼차·사차 방정식과 근과 계수의 관계

앞선 글에서는 여러 가지 방정식을 형태별로 분류하고, 인수분해와 치환으로 푸는 전략을 정리했습니다. 이제 삼차·사차 방정식을 체계적으로 다루고, 근과 계수 사이의 일반적인 관계를 살펴보겠습니다.

유리근정리와 조립제법으로 삼차·사차 방정식을 풀고, n차방정식의 근과 계수 사이의 관계를 n픽합으로 이해하기.

먼저 오늘의 흐름을 잡고 시작하겠습니다.

• 삼차방정식은 유리근정리로 후보를 찾고, 조립제법으로 한 차수 낮춘 뒤 이차식으로 푼다.
• 사차방정식은 이차식으로 치환하거나, 쌍곡선형 구조를 이용해 푼다.
• 근과 계수의 관계는 차수에 관계없이 같은 패턴으로 확장된다.
• n픽합은 이 패턴을 깔끔하게 정리하는 언어다.

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1. 삼차방정식의 기본 전략: 한 번 인수분해하면 이차식으로 내려간다

삼차방정식의 표준형은

$$ax^3+bx^2+cx+d=0 \qquad (a \neq 0)$$

입니다. 근의 공식이 존재하지만 계산이 복잡해서, 고등학교 수준에서는 인수분해로 접근하는 것이 일반적입니다.

핵심 아이디어는 단순합니다.

삼차식을 한 차수 낮춘 이차식과 일차식의 곱으로 쪼개면, 각각의 해를 따로 구할 수 있다.

예를 들어 $x^3-6x^2+11x-6=0$을 푼다고 해 봅시다.

1-1. 유리근정리로 후보를 찾는다

유리근정리는 상수항 $d$의 약수를 최고차항 계수 $a$의 약수로 나눈 값들이 유리근의 후보가 된다는 정리입니다.

$x^3-6x^2+11x-6=0$에서

• 상수항 $-6$의 약수: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$
• 최고차항 계수 $1$의 약수: $\pm 1$

따라서 유리근 후보는 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$입니다.

1-2. 후보를 직접 대입해 본다

$x=1$을 대입하면

$$1-6+11-6=0$$

이므로 $x=1$은 해입니다. 따라서 $(x-1)$이 인수입니다.

1-3. 조립제법으로 나머지를 구한다

$x^3-6x^2+11x-6$을 $(x-1)$로 나누면

$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6)$$

입니다. 여기서 $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$이므로

$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)=0$$

따라서 해는 $x=1, 2, 3$입니다.

이 과정에서 삼차방정식을 푸는 전략이 드러납니다.

유리근정리로 후보를 좁히고, 하나의 근을 찾으면 조립제법으로 이차식으로 낮춘다. 그리고 익숙한 이차방정식으로 푼다.

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2. 사차방정식의 기본 전략: 이차식으로 치환하거나 인수분해한다

사차방정식의 표준형은

$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \qquad (a \neq 0)$$

입니다. 모든 사차방정식에 통하는 단순한 공식은 없으므로, 구조를 보고 접근 방식을 정하는 것이 중요합니다.

2-1. 이차식으로 치환하는 경우

$x^4$와 $x^2$만 있고 홀수 차수 항이 없는 경우, $t=x^2$로 치환하면 이차방정식이 됩니다.

예를 들어

$$x^4-5x^2+4=0$$

은 $t=x^2$로 두면

$$t^2-5t+4=0$$

이 되어

$$(t-1)(t-4)=0$$

따라서 $t=1$ 또는 $t=4$입니다.

원래 변수로 돌아오면

$$x^2=1 \quad \text{또는} \quad x^2=4$$

이므로 $x=\pm 1, \pm 2$입니다.

이처럼 $x^4, x^2, 1$의 꼴만 있는 사차방정식을 쌍곡선형 사차방정식이라고 부릅니다. $x^2$에 대한 이차식처럼 보이기 때문입니다.

2-2. 인수분해로 접근하는 경우

사차식이 두 개의 이차식으로 인수분해되는 경우도 있습니다.

예를 들어

$$x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$$

입니다. 이렇게 인수분해가 되면 각 인수를 0으로 두고 해를 구하면 됩니다.

2-3. 삼차·사차 방정식에서 항상 기억할 점

• 근이 반드시 존재한다는 보장은 없습니다. 실근이 없을 수도 있습니다.
• 복소수 범위에서는 n차방정식이 항상 n개의 근을 가집니다. 이것을 대수학의 기본정리라고 합니다.
• 고등학교 수준에서는 주로 실근을 찾는 문제가 나옵니다.

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3. 근과 계수의 관계: 차수가 달라도 패턴은 같다

방정식의 근과 계수 사이에는 항상 아름다운 관계가 있습니다. 이것을 비에타의 공식이라고 합니다.

3-1. 이차방정식부터 다시 보기

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 두 근을 $r_1, r_2$라고 합시다.

근의 공식으로

$$r_1+r_2=-\frac{b}{a}, \qquad r_1r_2=\frac{c}{a}$$

입니다. 이것은 두 근의 합과 곱을 계수로 표현한 것입니다.

예를 들어 $x^2-5x+6=0$의 근이 $2, 3$이면

$$2+3=5=-\frac{-5}{1}, \qquad 2 \cdot 3=6=\frac{6}{1}$$

이 성립합니다.

3-2. 삼차방정식으로 확장하기

삼차방정식 $ax^3+bx^2+cx+d=0$의 세 근을 $r_1, r_2, r_3$라고 합시다.

인수정리에 의해

$$ax^3+bx^2+cx+d=a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$$

입니다. 오른쪽을 전개하면

$$a\left[x^3-(r_1+r_2+r_3)x^2+(r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1)x-r_1r_2r_3\right]$$

이 됩니다.

좌변 $ax^3+bx^2+cx+d$와 계수를 비교하면

$$\begin{aligned} r_1+r_2+r_3 &= -\frac{b}{a} \\ r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1 &= \frac{c}{a} \\ r_1r_2r_3 &= -\frac{d}{a} \end{aligned}$$

입니다. 이차와 비교하면 패턴이 보입니다.

• 두 근의 합 → 세 근의 합
• 두 근의 곱 → 세 쌍의 곱의 합
• (새로) 세 근의 곱

부호는 교대로 $-, +, -$로 나타납니다.

3-3. 사차방정식으로 확장하기

사차방정식 $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$의 네 근을 $r_1, r_2, r_3, r_4$라고 하면

$$\begin{aligned} r_1+r_2+r_3+r_4 &= -\frac{b}{a} \\ r_1r_2+r_1r_3+r_1r_4+r_2r_3+r_2r_4+r_3r_4 &= \frac{c}{a} \\ r_1r_2r_3+r_1r_2r_4+r_1r_3r_4+r_2r_3r_4 &= -\frac{d}{a} \\ r_1r_2r_3r_4 &= \frac{e}{a} \end{aligned}$$

입니다. 패턴이 계속됩니다.

• 1개씩 뽑아 더한 것 (합)
• 2개씩 뽑아 곱해 더한 것
• 3개씩 뽑아 곱해 더한 것
• 4개씩 뽑아 곱해 더한 것 (모든 근의 곱)

부호 역시 교대로 $-, +, -, +$입니다.

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4. n픽합: 근과 계수 관계를 하나의 언어로 정리하다

지금까지 본 근과 계수의 관계는 차수가 높아질수록 식이 길어집니다. 이 패턴을 깔끔하게 정리하는 개념이 n픽합입니다.

4-1. n픽합이란?

n차방정식의 n개의 근 $r_1, r_2, \ldots, r_n$이 있을 때, 근들 중 k개를 뽑아 곱해 더하는 것을 k픽합이라고 합니다.

n픽합은 수학에서는 기본대칭식(elementary symmetric polynomial)이라는 정규 용어로 불립니다. 이 글에서는 직관적인 이해를 돕기 위해 n픽합이라는 표현을 사용합니다.

• 1픽합: 근 하나씩을 뽑아 더한 것

  $$r_1+r_2+\cdots+r_n$$

• 2픽합: 근 두 개씩을 뽑아 곱해 더한 것

  $$r_1r_2+r_1r_3+\cdots+r_{n-1}r_n$$

  이것을 교차합이라고 부르기도 합니다. 예를 들어 $ab+bc+ca$는 세 근 중 두 개씩 곱한 것의 합이므로 2픽합입니다.

• 3픽합: 근 세 개씩을 뽑아 곱해 더한 것

  $$r_1r_2r_3+r_1r_2r_4+\cdots$$

• k픽합: 근 k개씩을 뽑아 곱해 더한 것

• n픽합: 모든 근을 다 뽑아 곱한 것

  $$r_1r_2\cdots r_n$$

4-2. n픽합과 계수의 관계

n차방정식 $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$의 근을 $r_1, r_2, \ldots, r_n$이라고 하면

$$\begin{aligned} \text{1픽합} &= -\frac{a_{n-1}}{a_n} \\ \text{2픽합} &= \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ \text{3픽합} &= -\frac{a_{n-3}}{a_n} \\ &\vdots \\ \text{k픽합} &= (-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n} \end{aligned}$$

입니다. 부호가 $(-1)^k$로 교대하는 것을 확인할 수 있습니다.

4-3. 예제로 확인해 보기

방정식 $x^3-6x^2+11x-6=0$의 근이 $1, 2, 3$입니다.

• 1픽합: $1+2+3=6=-\frac{-6}{1}$
• 2픽합: $1\cdot2+2\cdot3+3\cdot1=2+6+3=11=\frac{11}{1}$
• 3픽합: $1\cdot2\cdot3=6=-\frac{-6}{1}$

모두 성립합니다.

4-4. 왜 n픽합이라는 이름을 쓸까?

n픽합이라는 표현은 n개 중에서 몇 개를 뽑아(pick) 곱해 더한다는 직관에서 온 것입니다. 근을 $k$개씩 뽑아 곱하고, 가능한 모든 조합을 더하는 것이 k픽합입니다.

이 언어를 쓰면 근과 계수의 관계를 차수와 상관없이 통일된 형태로 기억할 수 있습니다.

k픽합은 $(-1)^k$를 곱한 뒤, $x^{n-k}$의 계수를 $x^n$의 계수로 나눈 값이다.

아래 프로토타입은 $(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$가 나열되어 있을 때, 각 인수에서 $x$를 고를지 $-r_i$를 고를지 하이라이트합니다. $k$개의 인수에서 $-r_i$를 고르고 나머지에서 $x$를 고르면 $x^{n-k}$ 항 하나가 만들어지며, 이 과정을 1픽합, 2픽합, 3픽합은 천천히, 중간 픽합은 빠르게, 마지막 $n-1$픽합과 $n$픽합은 다시 천천히 보여줍니다.

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5. 계산할 때 자주 하는 실수

삼차·사차 방정식과 근과 계수의 관계를 다룰 때 흔히 하는 실수를 정리합니다.

5-1. 유리근정리에서 약수를 빠뜨리는 실수

상수항의 약수를 전부 나열해야 합니다. 특히 음의 약수를 빠뜨리면 해를 놓칠 수 있습니다.

5-2. 조립제법에서 부호를 틀리는 실수

조립제법으로 $(x-1)$로 나눌 때는 $1$을 쓰고, $(x+2)$로 나눌 때는 $-2$를 써야 합니다. 인수가 $(x+2)$면 근이 $-2$이므로 조립제법에 $-2$를 넣습니다.

5-3. 사차방정식 치환 후 원래 변수로 돌아오지 않는 실수

$t=x^2$로 치환해서 $t$에 대한 해를 구한 뒤, $x^2=t$에서 $x$를 구해야 합니다. 특히 $x^2=4$에서 $x=\pm 2$ 모두를 챙겨야 합니다.

5-4. 근과 계수의 관계에서 부호를 틀리는 실수

1픽합은 $-\frac{b}{a}$, 2픽합은 $+\frac{c}{a}$, 3픽합은 $-\frac{d}{a}$처럼 부호가 교대합니다. 전부 같은 부호로 기억하면 틀립니다.

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6. 연습 문제

아래 점검 퀴즈에서 삼차·사차 방정식과 근과 계수의 관계를 다시 정리해 보세요.

7. 핵심 정리

• 삼차방정식은 유리근정리로 후보를 찾고, 조립제법으로 이차식으로 환원해 푼다.
• 사차방정식은 이차식으로 치환하거나 인수분해하는 전략을 쓴다.
• 근과 계수의 관계는 차수와 상관없이 k픽합 = $(-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$의 패턴으로 확장된다.
• 1픽합은 근들의 합, 2픽합은 두 개씩 곱한 것의 합(교차합), n픽합은 모든 근의 곱이다.
• 삼차·사차 방정식도 결국 이차방정식의 해법을 조합해서 푸는 문제이다.

다음 글에서는 이차부등식의 해석과 풀이를 살펴보겠습니다.

한 줄 결론:

삼차·사차 방정식은 인수분해와 치환으로 이차로 낮추어 풀고, 근과 계수의 관계는 n픽합이라는 통일된 언어로 모든 차수를 한눈에 정리할 수 있습니다.