[공통수학1 시리즈 14편] 판별식과 해의 개수

앞선 글에서 근의 공식을 만들었고, 그 안에서 $b^2-4ac$가 눈에 띄는 핵심 부분이라는 것도 확인했습니다. 이번에는 바로 그 값을 중심으로, 해의 개수와 종류를 한눈에 읽는 방법을 정리하겠습니다.

판별식 $b^2-4ac$가 이차방정식의 해의 개수와 종류를 어떻게 결정하는지 이해하고, 근의 공식과 연결해 빠르게 판단하기.

오늘의 흐름은 단순합니다.

• 근의 공식에는 $\sqrt{b^2-4ac}$가 들어 있다.
• 따라서 $b^2-4ac$의 부호가 해의 모양을 결정한다.
• 이 값 $b^2-4ac$를 판별식이라고 한다.
• 판별식만 계산해도 이차방정식의 해를 빠르게 예측할 수 있다.

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1. 판별식은 어디서 나올까?

이차방정식

$$ax^2+bx+c=0 \qquad (a\neq0)$$

의 근의 공식은

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

였습니다.

여기서 해의 모습을 바꾸는 부분은 분모 $2a$보다

$$\sqrt{b^2-4ac}$$

입니다.

왜냐하면 제곱근 안의 값이

• 양수이면 실수 제곱근이 존재하고
• 0이면 제곱근이 0이 되고
• 음수이면 실수 제곱근은 없고 복소수 제곱근이 등장하기 때문입니다.

그래서

$$D=b^2-4ac$$

를 판별식이라고 합니다.

보통 $D$로 놓고 설명합니다. 즉, 이 글에서는 $D=b^2-4ac$라고 두고 계속 읽으면 됩니다.

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2. 판별식이 양수일 때: 서로 다른 두 실근

먼저 $D>0$인 경우를 봅시다.

판별식이 양수이면 $\sqrt{D}$는 0이 아닌 실수입니다. 그러면 근의 공식에서

$$x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}, \qquad x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$$

의 두 값이 서로 달라집니다.

따라서 서로 다른 두 실근을 가집니다.

2-1. 예제

$$x^2-5x+6=0$$

에서

$$a=1, \qquad b=-5, \qquad c=6$$

이므로

$$D=b^2-4ac=25-24=1$$

입니다.

즉, $D>0$이므로 이 방정식은 서로 다른 두 실근을 가집니다. 실제로 해를 구하면 $x=2, 3$입니다.

중요한 점은, 해를 끝까지 계산하지 않아도 해가 두 개의 서로 다른 실수라는 사실을 이미 알 수 있다는 것입니다.

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3. 판별식이 0일 때: 중근

이제 $D=0$인 경우를 봅시다.

이때는 $\sqrt{D}=0$이므로 근의 공식이

$$x=\frac{-b\pm0}{2a}=\frac{-b}{2a}$$

가 됩니다.

즉, 겉보기에는 $\pm$가 있지만 실제로는 같은 값 하나만 나옵니다. 이런 해를 중근이라고 합니다. 조금 더 엄밀하게 말하면, 중복도 2를 갖는 하나의 근입니다.

3-1. 예제

$$x^2-4x+4=0$$

에서

$$a=1, \qquad b=-4, \qquad c=4$$

이므로

$$D=b^2-4ac=16-16=0$$

입니다.

따라서 이 방정식은 중근을 가집니다. 실제로 인수분해하면

$$(x-2)^2=0$$

이므로 해는 $x=2$ 하나입니다.

다만 $(x-2)(x-2)=0$처럼 같은 인수가 두 번 나온다는 뜻에서, 같은 값 $x=2$가 두 번 반복된 경우라고 이해하면 좋습니다.

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4. 판별식이 음수일 때: 서로 켤레인 두 허근

마지막으로 $D<0$인 경우입니다.

판별식이 음수이면 $\sqrt{D}$는 실수 범위에서는 정의되지 않지만, 복소수 범위에서는 해를 계속 구할 수 있습니다.

즉, 실수 범위에서는 실근이 없지만, 복소수 범위로 넓히면 해를 찾을 수 있습니다.

이때 근의 공식은

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$

형태를 유지한 채, $\sqrt{D}$ 부분이 허수를 포함하게 됩니다.

그래서 결과는 서로 켤레인 두 허근이 됩니다.

4-1. 예제

$$x^2-4x+5=0$$

에서

$$a=1, \qquad b=-4, \qquad c=5$$

이므로

$$D=b^2-4ac=16-20=-4$$

입니다.

즉, $D<0$이므로 실근은 없고 두 허근을 가집니다.

여기서

$$\sqrt{-4}=\sqrt{4\cdot(-1)}=2\sqrt{-1}=2i$$

이므로

$$x=\frac{4\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{4\pm2i}{2}=2\pm i$$

이므로 두 해는 $2+i$, $2-i$입니다.

근의 공식의 $\pm$ 때문에 실수부는 같고 허수부의 부호만 반대가 되므로, 두 해는 자동으로 서로 켤레복소수 관계가 됩니다.

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5. 판별식으로 무엇을 바로 알 수 있을까?

판별식의 가장 큰 장점은 계산을 끝까지 하지 않아도 해의 개수와 종류를 먼저 판단할 수 있다는 점입니다.

특히 여기서는 근의 공식을 바로 끝까지 밀어붙이는 것보다, 판별식을 먼저 보는 편이 훨씬 간편합니다.

• 근의 공식을 바로 쓰면 $-b\pm\sqrt{D}$를 각각 계산해야 한다.
• 하지만 해의 정확한 값이 아니라 해의 상태만 알고 싶다면 $D$ 하나만 구하면 된다.
• 즉, 판별식은 "답을 전부 구하기 전에 구조를 먼저 읽는 방법"이라고 생각하면 된다.

예를 들어 $x^2-5x+6=0$에서는 $D=1$만 보고도 이미 "서로 다른 두 실근"이라는 사실을 알 수 있습니다. 이 단계에서는 굳이 근의 공식을 끝까지 계산하지 않아도 됩니다.

정리하면 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{c|c} \text{판별식 } D & \text{해의 종류} \\ \hline D>0 & \text{서로 다른 두 실근} \\ D=0 & \text{중근} \\ D<0 & \text{서로 켤레인 두 허근} \end{array}$$

이 표는 단순 암기용이 아니라, 근의 공식의 구조를 압축한 결과입니다.

5-1. 계수의 부호만 보고 먼저 떠올릴 수 있는 팁

모든 이차방정식을 계수의 부호만으로 끝까지 판정할 수 있는 것은 아닙니다. 그래도 몇몇 경우는 계산 전에 바로 볼 수 있습니다.

• $a$와 $c$의 부호가 반대이면 $ac<0$이므로 $D=b^2-4ac$는 반드시 양수입니다. 따라서 서로 다른 두 실근을 가집니다.
• $b=0$이고 $a$와 $c$의 부호가 같으면 $D=-4ac<0$이므로 실근이 없습니다.
• $b=0$이고 $a$와 $c$의 부호가 반대이면 $D=-4ac>0$이므로 서로 다른 두 실근을 가집니다.

이런 팁은 판별식을 대체하는 규칙이 아니라, 판별식을 더 빨리 떠올리게 해 주는 관찰이라고 보면 좋습니다.

5-2. 외우면 바로 보이는 완전제곱 기준

특히 문제에 자주 나오는 $x^2-2px+q=0$ 꼴은 완전제곱 기준을 하나 떠올리면 훨씬 빨리 읽힙니다.

$$x^2-2px+q=(x-p)^2+(q-p^2)$$

즉, 먼저 $x^2-2px+p^2=(x-p)^2$ 꼴을 떠올리고, 마지막 수만 비교하면 됩니다.

• $q<p^2$이면 $(x-p)^2$에서 양수를 빼는 꼴이므로 서로 다른 두 실근
• $q=p^2$이면 완전제곱꼴이므로 중근
• $q>p^2$이면 $(x-p)^2$에 양수를 더한 꼴이므로 실근이 없고 두 허근

예를 들어 이런 기준은 외워 두면 좋습니다.

• $(x-1)^2=x^2-2x+1$
• $(x-2)^2=x^2-4x+4$
• $(x-3)^2=x^2-6x+9$
• $(x-4)^2=x^2-8x+16$
• $(x-5)^2=x^2-10x+25$

예를 들면

• $x^2-2x+3=0$은 $x^2-2x+1$보다 상수항이 크므로 실근이 없고 두 허근
• $x^2-2x+1=0$은 $(x-1)^2=0$이므로 중근
• $x^2-2x=0$은 $x^2-2x+1$보다 상수항이 작으므로 서로 다른 두 실근

마찬가지로

• $x^2-4x+3=0$, $x^2-4x+4=0$, $x^2-4x+5=0$
• $x^2-6x+8=0$, $x^2-6x+9=0$, $x^2-6x+10=0$

처럼 보면 각각 $4$, $9$를 기준으로 두 실근 / 중근 / 두 허근을 바로 가를 수 있습니다.

또 부호가 바뀌는 전개형도 함께 익혀 두면 좋습니다.

• $x^2\pm2x+1=(x\pm1)^2$
• $x^2\pm4x+4=(x\pm2)^2$

5-3. 이 분류는 $a,b,c$가 실수일 때 가장 깔끔하다

지금까지 본

• $D>0$이면 두 실근
• $D=0$이면 중근
• $D<0$이면 두 허근

이라는 정리는 보통 $a,b,c$가 실수일 때 쓰는 기준입니다.

이 경우에는

• $D<0$이면 허근이 항상 서로 켤레로 나오고
• $D=0$이면 중근도 항상 실수입니다.

하지만 계수에 허수가 섞이면 이야기가 조금 달라집니다. 이때는 판별식의 부호를 따지는 방식이 더 이상 그대로 통하지 않습니다.

예를 들어

$$(x-i)^2=0$$

을 전개하면

$$x^2-2ix-1=0$$

이고, 판별식은

$$D=(-2i)^2-4\cdot1\cdot(-1)=0$$

입니다.

즉, 중근이긴 한데 그 중근이 실근이 아니라 $x=i$라는 허근 중근입니다.

그래서 학교 과정에서는 보통 $a,b,c$를 실수로 두고 판별식을 읽는다고 이해하면 가장 안전합니다.

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6. 계산할 때 자주 하는 실수

판별식은 짧아서 오히려 방심하기 쉽습니다.

6-1. $b^2$를 $-b^2$처럼 계산하는 실수

$b=-3$이면

$$b^2=(-3)^2=9$$

입니다. $-9$가 아닙니다.

6-2. $4ac$ 전체를 빼지 않는 실수

$b^2-4ac$에서 빼는 것은 $4ac$ 전체입니다.

예를 들어 $a=2, c=5$이면

$$4ac=4\cdot2\cdot5=40$$

이지, $8+5$처럼 계산하면 안 됩니다.

6-3. $D<0$이면 "해가 없다"고 끝내는 실수

정확한 말은 실근이 없다입니다. 복소수 범위에서는 허근이 있을 수 있습니다.

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7. 연습 문제

아래 점검 퀴즈에서 판별식으로 해의 종류를 읽는 연습을 해보세요.

8. 핵심 정리

• 판별식은 $D=b^2-4ac$이다.
• $D>0$이면 서로 다른 두 실근을 가진다.
• $D=0$이면 중근을 가진다.
• $D<0$이면 실근은 없고, 서로 켤레인 두 허근을 가진다.
• 판별식은 해를 직접 구하기보다, 해의 개수와 종류를 먼저 판정하는 도구이다.

다음 글에서는 이차방정식의 해와 이차함수의 그래프가 어떻게 연결되는지, 특히 그래프가 $x$축과 몇 번 만나는지가 판별식과 어떻게 이어지는지 살펴보겠습니다.

한 줄 결론:

판별식은 계산을 줄이는 요령이 아니라, 근의 공식 속에서 해의 개수와 종류를 먼저 읽게 해 주는 핵심 신호입니다.