[공통수학1 시리즈 11편] 복소수와 이차방정식의 시작

앞 글에서는 인수분해가 방정식의 해를 읽는 핵심 도구라는 점을 보았습니다. 그런데 어떤 이차방정식은 실수 범위에서 더 이상 인수분해가 되지 않습니다. 이번 글에서는 바로 그 막힘이 왜 생기는지 보고, 이를 넘어가기 위한 수의 확장인 복소수를 도입합니다.

실수에서 해를 찾을 수 없는 이차방정식을 통해 복소수가 왜 필요한지 이해하고, 복소수의 기본 형태와 간단한 계산을 익히기.

먼저 오늘의 흐름을 짚고 가겠습니다.

• 실수에서 풀리던 이차방정식과 막히는 이차방정식을 비교한다.
• 그 막힘을 넘기기 위해 허수단위 $i$와 복소수를 도입한다.
• 복소수의 기본 계산을 익히고, 이차방정식의 해가 어떻게 넓어지는지 본다.
• 그리고 마지막에, 왜 복소수가 다항방정식의 근을 다룰 때 더 이상 새로운 수 체계를 계속 덧붙이지 않아도 되는 완결된 무대인지 연결한다.

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1. 실수만으로는 막히는 순간

먼저 다음 방정식은 쉽게 풀립니다.

$$x^2-1=0$$

인수분해하면

$$(x-1)(x+1)=0$$

이므로 해는 $x=1,-1$입니다.

그런데 다음 식은 어떨까요?

$$x^2+1=0$$

정리하면

$$x^2=-1$$

입니다.

문제는 실수의 제곱은 항상 0 이상이라는 점입니다.

• $2^2=4$
• $(-3)^2=9$
• $0^2=0$

아무 실수를 제곱해도 $-1$은 나오지 않습니다. 그래서 이 방정식은 실수 범위에서는 해가 없습니다.

여기서 중요한 말은 "수학이 틀렸다"가 아니라, 우리가 쓰는 수의 범위가 아직 좁다는 것입니다.

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2. 허수단위 $i$와 복소수

실수로는 $x^2=-1$을 만족하는 수를 만들 수 없으니, 새로운 기호를 하나 도입합니다.

$$i^2=-1$$

을 만족하는 수 $i$를 허수단위라고 합니다.

즉, 출발점은 $\sqrt{-1}$ 표기가 아니라

$i^2=-1$이 되도록 하는 새로운 수 $i$를 정의한다

는 데 있습니다.

이 정의를 받아들이면 $i$를 $-1$의 제곱근 중 하나로 볼 수 있습니다.

이 허수단위를 포함해

$$a+bi \qquad (a,b\text{는 실수})$$

꼴로 나타내는 수를 복소수라고 합니다.

2-1. 복소수의 모양

• $3+2i$는 복소수입니다.
• $-4+i$도 복소수입니다.
• $5$도 $5+0i$로 볼 수 있으므로 복소수입니다.
• $-2i$도 $0-2i$이므로 복소수입니다.

즉, 실수는 복소수 안에 포함됩니다. 복소수는 실수를 버리는 개념이 아니라, 실수를 더 넓게 감싸는 수 체계입니다.

2-2. 왜 꼭 필요할까?

방금 본

$$x^2+1=0$$

은 복소수 범위에서는

$$x^2=-1=i^2$$

이므로

$$x=\pm i$$

라는 해를 가집니다.

실수에서는 막히던 문제가, 복소수로 범위를 넓히자 다시 풀리기 시작한 것입니다.

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3. 복소수도 수의 확장 흐름 위에 있다

사실 이런 흐름은 복소수에서 갑자기 시작된 것이 아닙니다.

• $x+3=1$은 자연수만으로는 풀 수 없어서 정수 $-2$가 필요합니다.
• $2x=1$은 정수만으로는 풀 수 없어서 유리수 $\frac{1}{2}$가 필요합니다.
• $x^2=2$는 유리수만으로는 정확히 나타낼 수 없어서 실수 $\sqrt{2}$가 필요합니다.

이처럼 기존 수의 범위로는 해를 담을 수 없을 때마다 수의 세계가 확장되어 왔습니다. 복소수도 바로 그 흐름 위에 놓여 있습니다.

복소수도 이 흐름 위에 있습니다. 지금 단계에서는 먼저, 복소수가 "실수에서 멈추는 방정식을 다시 풀리게 하는 확장"이라는 점을 확실히 잡는 것이 중요합니다. 왜 이 확장이 특별한 완결성을 가지는지는, 실제로 복소수 해를 몇 번 보고 난 뒤에 다시 정리해 보겠습니다.

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4. 복소수는 어떻게 계산할까?

복소수 계산의 핵심은 복잡한 규칙을 외우는 것이 아니라, 마지막에 $i^2=-1$만 적용하는 것입니다.

4-1. 덧셈과 뺄셈

실수 부분끼리, $i$가 붙은 부분끼리 계산합니다.

$$(2+3i)+(1-5i)=3-2i$$ $$(4-i)-(2+3i)=2-4i$$

입니다.

4-2. 곱셈

다항식의 곱셈처럼 전개한 뒤 $i^2=-1$을 씁니다.

$$(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i^2$$

먼저 같은 항을 묶으면

$$3+5i-2i^2$$

이고, 이때 $i^2=-1$이므로

$$3+5i-2(-1)=3+5i+2=5+5i$$

가 됩니다.

즉,

$$(1+2i)(3-i)=5+5i$$

입니다.

4-3. $i$의 거듭제곱은 주기를 이룬다

복소수 계산을 하다 보면 $i$의 높은 거듭제곱이 자주 나옵니다. 이때는 주기를 알면 계산이 훨씬 빨라집니다.

$$i^0=1, \qquad i^1=i, \qquad i^2=-1, \qquad i^3=-i, \qquad i^4=1$$

왜냐하면

$$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$$

이기 때문입니다. 그래서 $i^5=i^4 \cdot i=i$가 되어 다시 처음 패턴으로 돌아갑니다. 이후에는 다시 같은 패턴이 반복됩니다. 그래서 높은 거듭제곱도 차분히 줄이면 됩니다.

예를 들어

$$i^6=i^4 \cdot i^2=1 \cdot (-1)=-1$$

입니다.

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5. 이차방정식의 해가 넓어진다

공통수학1에서 복소수의 가장 직접적인 의미는, 이차방정식의 해를 더 끝까지 볼 수 있게 해 준다는 데 있습니다.

5-1. 가장 단순한 예

$$x^2+1=0$$

에서

$$x^2=-1$$

이므로 해는

$$x=\pm i$$

입니다.

실수 범위에서는 "해 없음"이었지만, 복소수 범위에서는 서로 다른 두 해가 생깁니다.

5-2. 조금 더 일반적인 예

다음 방정식을 봅시다.

$$x^2-4x+5=0$$

$(x-2)^2$ 꼴을 만들고 싶으므로, 먼저

$$(x-2)^2=x^2-4x+4$$

를 떠올립니다. 그래서 $x^2-4x+5$를 $x^2-4x+4+1$로 나누어 보면 완전제곱식이 드러납니다.

완전제곱식으로 고치면

$$x^2-4x+4+1=0$$

즉,

$$(x-2)^2+1=0$$

이므로

$$(x-2)^2=-1$$

입니다. 따라서

$$x-2=\pm i$$

이고,

$$x=2\pm i$$

를 얻습니다.

여기서 보듯이 복소수는 특별한 한 문제에만 쓰는 임시 도구가 아닙니다. 실수에서 음수가 되어 멈추던 제곱근 계산을 계속 진행하게 해 주는 확장된 해의 언어입니다.

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6. "실근이 없다"와 "해가 없다"는 다르다

이 부분은 처음 배울 때 가장 많이 헷갈립니다.

• 실근이 없다: 실수 범위에서는 해가 없다는 뜻입니다.
• 해가 없다: 지금 정한 수의 범위 안에서도 해를 찾지 못한다는 뜻으로 들리기 쉽습니다.

공통수학1에서 복소수를 배우는 이유는 바로 이 차이를 분명하게 보기 위해서입니다.

예를 들어

$$x^2+1=0$$

은

• 실수 범위에서는 해가 없고
• 복소수 범위에서는 $x=\pm i$를 해로 가집니다.

따라서 앞으로 방정식을 볼 때는 항상

"어느 수의 범위에서 해를 구하는가?"

를 함께 확인해야 합니다.

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7. 복소수는 왜 다항방정식에 대해 완결된 체계일까?

지금까지는 복소수가 왜 필요한지를 보았습니다. 이제 한 걸음 더 나아가, 왜 복소수가 다항방정식의 근을 다룰 때 완결된 무대라고 말할 수 있는지도 짚어 보겠습니다.

이를 보여 주는 대표적인 결과가 대수학의 기본정리입니다.

복소수 계수를 갖는 $n$차 다항식 $(n\ge 1)$은 복소수 범위에서 적어도 하나의 근을 가지며, 더 나아가 중근을 포함하여 정확히 $n$개의 근을 가집니다.

즉, 복소수 계수 다항식은 복소수 범위에서 언제나 1차식들의 곱으로 완전히 인수분해됩니다.

이 사실이 중요한 이유는 분명합니다.

• 다항식의 계수를 복소수까지 허용하면, 그 근도 복소수 안에서 모두 받아들일 수 있습니다.
• 다시 말해, 다항방정식의 근을 담기 위해 복소수보다 더 큰 새로운 수 체계를 또 도입할 필요가 없습니다.
• 그래서 복소수는 다항식의 계수와 근을 함께 바라볼 때, 수의 확장이 도달한 하나의 완결판이라고 볼 수 있습니다.

공통수학1에서 이 정리를 엄밀히 증명하지는 않더라도, 복소수를 배우는 이유를 설명하는 관점으로는 매우 중요합니다. 복소수는 단지 $x^2+1=0$ 하나를 풀기 위한 임시 장치가 아니라, 다항방정식의 근을 더 이상 바깥으로 밀어내지 않아도 되는 수 체계이기 때문입니다.

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8. 연습 문제

아래 점검 퀴즈에서 복소수의 도입과 해의 확장을 다시 확인해 보세요.

9. 핵심 정리

• 실수 범위에서는 $x^2=-1$을 만족하는 수가 없다.
• 이 막히는 지점에서 $i^2=-1$인 허수단위 $i$를 도입한다.
• $a+bi$ 꼴의 수를 복소수라고 하며, 실수는 그 안에 포함된다.
• 복소수를 도입하면 실수에서 풀리지 않던 이차방정식도 끝까지 다룰 수 있다.
• 복소수는 다항식의 계수와 근을 함께 바라볼 때, 더 이상 새로운 수 체계를 덧붙일 필요가 없는 완결된 무대라는 의미를 가진다.

다음 글에서는 복소수의 연산을 조금 더 체계적으로 정리하고, 켤레복소수와 같은 중요한 도구도 함께 살펴보겠습니다.

한 줄 결론:

복소수는 실수에서 막히는 이차방정식을 끝까지 풀기 위해 등장한 수의 확장이며, 다항식의 계수와 근을 함께 담는 특별한 수 체계입니다.