미적분학 2주차에서는 삼각함수의 미분법 과 **합성함수의 미분법(체인 룰 )**을 다룹니다. 앞에서 본 극한과 덧셈정리 가 실제 도함수 공식으로 이어지는 지점을 확인하는 주차입니다. 이번 주의 핵심은 공식을 나열하는 데 있지 않고, 극한 정의에서 출발한 계산이 어떻게 ( sin x ) ′ (\sin x)' ( sin x ) ′ ( cos x ) ′ (\cos x)' ( cos x ) ′ ( tan x ) ′ (\tan x)' ( tan x ) ′
1. 삼각함수의 미분법
1.1 ( sin x ) ′ = cos x (\sin x)' = \cos x ( sin x ) ′ = cos x
삼각함수 미분은 극한 정의 에서 시작합니다. 이미 1주차에서 본 [[small-angle-limit|lim h → 0 sin h h = 1 \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}=1 h → 0 lim h sin h = 1 단위원 의 넓이 비교와 끼워넣기 정리 로 증명했고, 함께 얻은 lim h → 0 1 − cos h h = 0 \lim_{h \to 0}\frac{1-\cos h}{h}=0 lim h → 0 h 1 − c o s h = 0
d d x sin x = lim h → 0 sin ( x + h ) − sin x h \frac{d}{dx} \sin x = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} d x d sin x = h → 0 lim h sin ( x + h ) − sin x 여기에 덧셈정리와
lim h → 0 sin h h = 1 , lim h → 0 cos h − 1 h = 0 \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1, \qquad \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0 h → 0 lim h sin h = 1 , h → 0 lim h cos h − 1 = 0 를 적용하면 결국
d d x sin x = cos x \frac{d}{dx} \sin x = \cos x d x d sin x = cos x 가 됩니다. 단위원에서 보면 sin x \sin x sin x cos x \cos x cos x
이 계산의 핵심은 sin ( x + h ) \sin(x+h) sin ( x + h )
sin ( x + h ) − sin x h = sin x ⋅ cos h − 1 h + cos x ⋅ sin h h \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}
= \sin x \cdot \frac{\cos h -1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} h sin ( x + h ) − sin x = sin x ⋅ h cos h − 1 + cos x ⋅ h sin h 처럼 두 항으로 나누는 데 있습니다. 그 다음 극한을 취하면 첫 번째 항은 0 0 0 cos x \cos x cos x
1.2 ( cos x ) ′ = − sin x (\cos x)' = -\sin x ( cos x ) ′ = − sin x
코사인도 같은 방식으로 유도됩니다. 특히 여기서는 lim h → 0 cos h − 1 h = 0 \lim_{h \to 0}\frac{\cos h -1}{h}=0 lim h → 0 h c o s h − 1 = 0
d d x cos x = lim h → 0 cos ( x + h ) − cos x h \frac{d}{dx} \cos x = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} d x d cos x = h → 0 lim h cos ( x + h ) − cos x 덧셈정리를 이용하면
cos ( x + h ) = cos x cos h − sin x sin h \cos(x+h)=\cos x \cos h - \sin x \sin h cos ( x + h ) = cos x cos h − sin x sin h 이므로
cos ( x + h ) − cos x h = cos x ⋅ cos h − 1 h − sin x ⋅ sin h h \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}
= \cos x \cdot \frac{\cos h -1}{h} - \sin x \cdot \frac{\sin h}{h} h cos ( x + h ) − cos x = cos x ⋅ h cos h − 1 − sin x ⋅ h sin h 가 되고, 극한을 취하면
d d x cos x = − sin x \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x d x d cos x = − sin x 를 얻습니다. 사인과 코사인이 서로 연결된 회전 좌표라는 점을 생각하면, 하나의 변화율이 다른 하나로 넘어가되 부호가 바뀌는 이유도 자연스럽게 받아들일 수 있습니다.
1.3 기본 공식 정리
다음 공식들은 이후의 미분 문제를 풀 때 기준점이 됩니다. 특히 tan x \tan x tan x sec x \sec x sec x csc x \csc x csc x
함수 f ( x ) f(x) f ( x )
도함수 f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x )
sin x \sin x sin x cos x \cos x cos x
cos x \cos x cos x − sin x -\sin x − sin x
tan x \tan x tan x sec 2 x \sec^2 x sec 2 x
cot x \cot x cot x − csc 2 x -\csc^2 x − csc 2 x
sec x \sec x sec x sec x tan x \sec x \tan x sec x tan x
csc x \csc x csc x − csc x cot x -\csc x \cot x − csc x cot x
이 표를 외울 때는 다음처럼 묶어서 기억하면 훨씬 덜 헷갈립니다.
sin x ↔ cos x \sin x \leftrightarrow \cos x sin x ↔ cos x 코사인을 미분하면 부호가 마이너스로 바뀐다.
탄젠트와 시컨트는 sec 2 x \sec^2 x sec 2 x sec x tan x \sec x\tan x sec x tan x
코탄젠트와 코시컨트는 대체로 음수가 붙는 구조를 가진다.
2. 몫의 미분법과 체인 룰
두 함수 u ( x ) u(x) u ( x ) v ( x ) v(x) v ( x )
( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ( v u ) ′ = v 2 u ′ v − u v ′ 가 성립합니다. 예를 들어
tan x = sin x cos x \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} tan x = cos x sin x 에 적용하면
( tan x ) ′ = ( cos x ) ( cos x ) − ( sin x ) ( − sin x ) cos 2 x = sec 2 x (\tan x)' = \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} = \sec^2 x ( tan x ) ′ = cos 2 x ( cos x ) ( cos x ) − ( sin x ) ( − sin x ) = sec 2 x 를 얻습니다.
몫의 미분법에서 가장 자주 나오는 실수는 분모를 먼저 제곱하지 않거나, u ′ v − u v ′ u'v-uv' u ′ v − u v ′
또 다른 예도 보겠습니다.
f ( x ) = cos x x f(x)=\frac{\cos x}{x} f ( x ) = x cos x 이면
f ′ ( x ) = ( − sin x ) ⋅ x − ( cos x ) ⋅ 1 x 2 = − x sin x − cos x x 2 f'(x)=\frac{(-\sin x)\cdot x - (\cos x)\cdot 1}{x^2}
=\frac{-x\sin x - \cos x}{x^2} f ′ ( x ) = x 2 ( − sin x ) ⋅ x − ( cos x ) ⋅ 1 = x 2 − x sin x − cos x 입니다. 이렇게 단순한 예제를 몇 번 계산해 두면 삼각함수와 대수함수가 함께 있는 식도 덜 부담스럽게 느껴집니다.
2.2 체인 룰
합성함수 f ( g ( x ) ) f(g(x)) f ( g ( x ))
d d x f ( g ( x ) ) = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) d x d f ( g ( x )) = f ′ ( g ( x )) ⋅ g ′ ( x ) 즉, 바깥 함수의 변화율과 안쪽 함수의 변화율을 차례대로 연결해 주는 체인 룰 입니다. sin ( 2 x ) \sin(2x) sin ( 2 x ) e 3 x e^{3x} e 3 x ( x 2 + 1 ) 5 (x^2+1)^5 ( x 2 + 1 ) 5
체인 룰은 단순히 공식 하나를 추가하는 것이 아니라, "함수를 층으로 보는 눈"을 만드는 규칙입니다. 예를 들어
sin ( 3 x ) \sin(3x) sin ( 3 x ) sin u \sin u sin u u = 3 x u=3x u = 3 x ( 2 x 2 + 1 ) 4 (2x^2+1)^4 ( 2 x 2 + 1 ) 4 u 4 u^4 u 4 u = 2 x 2 + 1 u=2x^2+1 u = 2 x 2 + 1 e sin x e^{\sin x} e s i n x e u e^u e u u = sin x u=\sin x u = sin x
처럼 층을 나눠 볼 수 있어야 합니다.
대표 예제를 세 개만 바로 적어 보면
d d x sin ( 2 x ) = 2 cos ( 2 x ) \frac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x) d x d sin ( 2 x ) = 2 cos ( 2 x ) d d x ( x 2 + 1 ) 5 = 10 x ( x 2 + 1 ) 4 \frac{d}{dx}(x^2+1)^5 = 10x(x^2+1)^4 d x d ( x 2 + 1 ) 5 = 10 x ( x 2 + 1 ) 4 d d x e sin x = e sin x cos x \frac{d}{dx}e^{\sin x}=e^{\sin x}\cos x d x d e s i n x = e s i n x cos x 입니다. 셋 다 겉모양은 다르지만, 실제로는 바깥 미분 후 안쪽 미분을 곱한다는 한 가지 구조로 통일됩니다.
2.3 체인 룰과 삼각함수의 결합
삼각함수 단원에서 체인 룰이 특히 중요한 이유는 각도 자리에 단순히 x x x
sin ( 5 x − 1 ) \sin(5x-1) sin ( 5 x − 1 ) cos ( x 2 ) \cos(x^2) cos ( x 2 ) tan ( x ) \tan(\sqrt{x}) tan ( x )
처럼 안쪽 함수가 함께 들어간 경우가 훨씬 많습니다.
예를 들어
d d x cos ( x 2 ) = − sin ( x 2 ) ⋅ 2 x \frac{d}{dx}\cos(x^2) = -\sin(x^2)\cdot 2x d x d cos ( x 2 ) = − sin ( x 2 ) ⋅ 2 x 가 되는데, 여기서 − sin ( x 2 ) -\sin(x^2) − sin ( x 2 )
3. 짧은 점검
점검 문제 1
f ( x ) = sin ( 3 x + π 4 ) f(x) = \sin(3x + \frac{\pi}{4}) f ( x ) = sin ( 3 x + 4 π )
정답 보기 f ′ ( x ) = 3 cos ( 3 x + π 4 ) f'(x) = 3\cos\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) f ′ ( x ) = 3 cos ( 3 x + 4 π ) 점검 문제 2
f ( x ) = ( 2 x 2 + 1 ) 4 f(x) = (2x^2 + 1)^4 f ( x ) = ( 2 x 2 + 1 ) 4
정답 보기 체인 룰을 적용하면
f ′ ( x ) = 4 ( 2 x 2 + 1 ) 3 ⋅ 4 x = 16 x ( 2 x 2 + 1 ) 3 f'(x) = 4(2x^2 + 1)^3 \cdot 4x = 16x(2x^2 + 1)^3 f ′ ( x ) = 4 ( 2 x 2 + 1 ) 3 ⋅ 4 x = 16 x ( 2 x 2 + 1 ) 3 점검 문제 3
f ( x ) = sin x x 2 + 1 f(x) = \frac{\sin x}{x^2 + 1} f ( x ) = x 2 + 1 s i n x
풀이 방향 보기 몫의 미분법을 적용하면 됩니다. 분자는 u = sin x u = \sin x u = sin x v = x 2 + 1 v = x^2 + 1 v = x 2 + 1
점검 문제 4
f ( x ) = e sin x f(x)=e^{\sin x} f ( x ) = e s i n x
정답 보기 바깥 함수는 e u e^u e u u = sin x u=\sin x u = sin x
f ′ ( x ) = e sin x cos x f'(x)=e^{\sin x}\cos x f ′ ( x ) = e s i n x cos x 입니다.
점검 문제 5
f ( x ) = cos ( x 2 + 1 ) f(x)=\cos(x^2+1) f ( x ) = cos ( x 2 + 1 )
정답 보기 체인 룰을 적용하면
f ′ ( x ) = − sin ( x 2 + 1 ) ⋅ 2 x = − 2 x sin ( x 2 + 1 ) f'(x)=-\sin(x^2+1)\cdot 2x = -2x\sin(x^2+1) f ′ ( x ) = − sin ( x 2 + 1 ) ⋅ 2 x = − 2 x sin ( x 2 + 1 ) 입니다.
4. 자주 틀리는 지점
( cos x ) ′ = − sin x (\cos x)'=-\sin x ( cos x ) ′ = − sin x ( tan x ) ′ = sec 2 x (\tan x)'=\sec^2 x ( tan x ) ′ = sec 2 x sec x \sec x sec x 몫의 미분법에서 u ′ v − u v ′ u'v-uv' u ′ v − u v ′
체인 룰 문제에서 바깥 미분만 하고 안쪽 미분을 곱하지 않는 경우
sin ( 3 x ) \sin(3x) sin ( 3 x ) 3 cos x 3\cos x 3 cos x
5. 핵심 정리
이번 주에는 삼각함수의 기본 도함수와 체인 룰을 연결해서 보았습니다. 중요한 것은 공식을 따로 외우는 것이 아니라, 어떤 문제에서 덧셈정리, 극한, 몫의 미분법, 체인 룰이 각각 어디서 쓰이는지를 구분해 보는 것입니다.
한 줄로 요약하면 이렇습니다.
1주차의 극한이 2주차의 삼각함수 미분 공식을 만들고
사인·코사인 미분을 바탕으로 탄젠트 미분까지 확장되며
체인 룰이 들어오면서 실제 시험형 문제를 처리할 수 있게 됩니다.
즉, 이번 주는 "공식 암기"보다 공식이 생겨나는 구조와 적용 순서를 익히는 주차 라고 생각하면 좋습니다.
💬 댓글
이 글에 대한 의견을 남겨주세요