[미적분학 시리즈 2편] 1주차: 지수·로그·삼각함수의 극한

미적분학의 첫 주차에서는 초월함수의 세계로 들어갑니다. 다항식만으로는 다 담기지 않는 지수함수, 로그함수, 삼각함수가 여기서부터 본격적으로 등장합니다. 이번 주의 핵심은 공식을 여러 개 따로 외우는 것이 아니라, 왜 $e$가 특별한지, 왜 로그함수 미분이 $1/x$가 되는지, 왜 sin x/x 극한이 삼각함수 미분 전체를 여는지 하나의 흐름으로 이해하는 데 있습니다.

1. 1차시: 지수함수와 로그함수의 극한과 미분

1.1 왜 자연상수 e인가?

미적분학에서 가장 중요한 상수 중 하나는 자연상수 e입니다. 핵심 질문은 단순합니다. 어떤 밑 $a$를 가진 지수함수 $a^x$가 자기 자신의 도함수가 될 수 있을까 하는 것입니다.

여기서 중요한 것은, 지수함수의 도함수는 항상 자기 자신에 어떤 상수를 곱한 꼴로 나온다는 점입니다. 그 상수가 밑마다 달라지는데, 이 극한값이 정확히 $1$이 되도록 만드는 특별한 밑이 바로 $e$입니다. 그래서

가 됩니다. 즉 $e^x$는 "변화율이 자기 자신과 같은 함수"라는 점에서 미적분학 전체에 반복해서 등장합니다.

예를 들어 인구 성장, 복리 이자, 방사성 붕괴, 미분방정식의 해처럼 "현재 크기에 비례해서 변화하는 현상"은 결국 $e^x$ 또는 그 스케일 변형으로 정리됩니다. 그래서 $e$는 단순히 계산 편의를 위한 상수가 아니라, 연속적인 성장과 변화의 기본 단위처럼 작동합니다.

1.2 e의 정의와 로그 미분

자연상수 $e$는 여러 방식으로 정의할 수 있지만, 수업에서는 보통 다음 두 관점을 함께 봅니다.

첫 번째 관점은 복리의 극한입니다. 1년에 한 번 이자를 붙이는 대신, 반기마다, 분기마다, 월마다, 결국 무한히 자주 붙인다면 얼마가 될까를 생각하면 위 극한이 자연스럽게 등장합니다.

또 하나의 관점은 미분방정식 $y' = y$와 초기조건 $y(0)=1$을 만족하는 함수의 밑이라는 것입니다. 이 관점은 지수함수 미분과 로그함수 미분을 연결해 줍니다.

여기서 $\ln x$가 특별한 이유는 $e^x$의 역함수이기 때문입니다. 역함수 관계를 생각하면, $e^x$가 가장 자연스러운 지수함수인 만큼 $\ln x$도 가장 자연스러운 로그함수가 됩니다. 밑이 $10$인 상용로그나 밑이 $2$인 로그도 물론 중요하지만, 미분 계산에서는 $\ln x$가 중심 역할을 맡습니다.

정리하면 다음과 같은 대응을 기억하면 좋습니다.

• 지수함수는 곱셈적 변화를 더하기 구조로 바꾸고
• 로그함수는 곱셈 관계를 합 관계로 바꾸며
• 미분에서는 mathhl[$e^x$]와 $\ln x$가 가장 단순한 공식으로 나타납니다.

1.3 빠르게 보는 계산 예시

공식이 실제로 어떻게 쓰이는지도 바로 확인해야 합니다.

첫 번째 식에서는 지수함수 미분과 체인 룰이 함께 쓰이고, 두 번째 식에서는 로그 미분과 체인 룰이 동시에 들어갑니다. 세 번째 식은 밑이 바뀌면 반드시 $\ln a$가 분모에 붙는다는 점을 확인하는 예입니다.

n_values = np.array([1, 10, 100, 1000, 10000, 100000])
e_approx = (1 + 1 / n_values) ** n_values

print("n\t(1+1/n)^n")
print("-" * 25)
for n, e_val in zip(n_values, e_approx):
    print(f"{n}\t{e_val:.10f}")

print(f"\n실제 e 값: {np.e:.10f}")

1.4 삼각함수의 덧셈정리와 중요한 극한

삼각함수의 덧셈정리는 이후의 미분 공식을 여는 핵심 도구입니다.

각의 합을 단위원 위의 회전으로 보면, 이 공식이 단순한 암기 대상이 아니라 좌표의 변화라는 사실을 더 분명하게 이해할 수 있습니다. 특히 $x+h$에서의 함수값을 $x$와 $h$로 분해할 수 있어야 나중에 극한 정의에 대입해 미분 공식을 만들 수 있습니다.

이 덧셈정리를 바탕으로 가장 중요한 극한 하나가 나옵니다.

이 결과는 삼각함수 미분의 출발점이 됩니다. $x$가 0에 가까워질 때 $\sin x / x$가 실제로 어떻게 1에 가까워지는지 눈으로 확인하는 것이 큰 도움이 됩니다.

1.5 중요한 극한식의 증명

여기서 가장 중요한 부분은 단순히 결과를 외우는 것이 아니라, 왜

이 되는지를 이해하는 것입니다. 이 극한이 있어야 삼각함수의 미분 공식을 극한 정의에서 출발해 정당하게 만들 수 있습니다.

증명은 보통 단위원과 끼워넣기 정리를 이용합니다. $0<x<\frac{\pi}{2}$인 경우를 생각하면, 같은 중심각 $x$에 대해 다음 넓이 비교가 성립합니다.

• 삼각형의 넓이 $\frac{1}{2}\sin x$
• 부채꼴의 넓이 $\frac{1}{2}x$
• 접선을 이용한 큰 삼각형의 넓이 $\frac{1}{2}\tan x$

따라서

이고, 양변에 $2$를 곱하면

를 얻습니다. 이제 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$를 이용하면

이고, $0<x<\frac{\pi}{2}$에서는 $\sin x>0$이므로 모두 $\sin x$로 나눌 수 있습니다.

역수를 취하면 부등호 방향이 바뀌어

이 됩니다. 이제 $x \to 0$이면 $\cos x \to 1$이므로 끼워넣기 정리에 의해

입니다.

이 증명은 $x>0$에서 했지만, $\sin(-x)=-\sin x$를 이용하면 음수 쪽에서도 같은 결론이 나오므로 양쪽 극한이 모두 $1$이 됩니다.

이제 이 결과를 이용하면 자주 함께 쓰이는 극한도 바로 얻을 수 있습니다.

또한

이므로

이고, $x \to 0$이면 첫 번째 항은 $1$, 두 번째 항은 $0$으로 가서

을 얻습니다. 이 두 극한은 다음 주차의 $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$ 유도에 직접 들어갑니다.

이때 반드시 기억할 점이 하나 있습니다. 이 극한은 라디안 기준으로만 $1$이 됩니다. 각도를 도 단위로 두고 계산하면 값이 달라집니다. 미적분학에서 삼각함수 미분 공식이 깔끔하게 나오는 이유가 바로 라디안이 원의 호길이와 각도를 직접 연결해 주기 때문입니다.

또한 다음 극한도 함께 정리해 두면 좋습니다.

두 번째 극한은

로 바꾸면 바로 이해할 수 있습니다. 첫 번째 극한은 코사인 미분을 유도할 때 보조적으로 자주 등장합니다.

2. 이번 주를 한 흐름으로 묶기

이번 주의 개념은 따로 떨어져 있지 않습니다.

1. 지수함수 미분을 생각하다가 특별한 밑 $e$를 만나고
2. 그 역함수인 $\ln x$의 미분 공식을 얻고
3. 삼각함수에서는 덧셈정리와 기본 극한을 이용해 미분 공식을 준비합니다.

즉, 이번 주는 "새로운 함수들을 소개하는 주차"가 아니라, 앞으로의 미분 공식을 만들기 위한 재료를 갖추는 주차라고 보는 편이 훨씬 정확합니다.

3. 주간 점검

이번 주에는 자연상수 $e$, 지수·로그함수의 미분, 삼각함수의 덧셈정리, 그리고 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$라는 중요한 극한을 함께 묶어서 이해하는 것이 중요합니다.

점검 문제 1

$f(x) = e^{2x} \ln x$의 도함수 $f'(x)$를 구해 보세요.

점검 문제 2

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$의 값을 구해 보세요.

점검 문제 3

$\sin 75^\circ$의 값을 덧셈정리를 이용해 구해 보세요.

점검 문제 4

$f(x) = e^x + \ln x - \cos x$의 도함수를 구해 보세요.

점검 문제 5

왜 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$이 삼각함수 미분의 출발점인지 자신의 말로 설명해 보세요.

4. 자주 틀리는 지점

• $\frac{d}{dx} a^x = a^x$라고 착각하고 $\ln a$를 빠뜨리는 경우
• $\log_a x$를 미분하면서 분모의 $\ln a$를 빼먹는 경우
• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$을 도 단위에도 그대로 적용하는 경우
• $\ln x$의 정의역이 $x>0$라는 점을 놓치고 모든 실수에서 미분 가능한 것처럼 다루는 경우

5. 다음 주 예고

다음 주에는 삼각함수의 미분법과 체인 룰을 조금 더 체계적으로 다룹니다. 덧셈정리와 극한에서 출발해 실제 도함수 공식으로 넘어가는 흐름을 연결해서 보게 됩니다.