[정수론 입문 시리즈 2편] 약수와 배수는 무엇을 보여 주는가?

정수론에서 가장 먼저 익혀야 하는 관계는 어떤 수가 다른 수로 나누어떨어짐인지 보는 것입니다. 이 관계를 읽을 수 있어야 약수와 배수를 구분할 수 있고, 나중에 최대공약수와 나눗셈 알고리즘으로도 자연스럽게 이어집니다.

이번 글에서는 약수와 배수가 서로 어떤 방향의 표현인지, 그리고 몫과 나머지를 함께 보아야 왜 정수론의 언어가 안정적으로 서는지 정리해 보겠습니다. 이 글에서는 특별한 언급이 없으면 양의 약수를 기준으로 설명하겠습니다.

What this post covers

• 나누어떨어짐이 약수와 배수의 관계를 어떻게 정리하는지 봅니다.
• 약수와 배수를 같은 관계의 다른 방향으로 읽는 법을 익힙니다.
• 몫과 나머지가 왜 함께 중요해지는지 확인합니다.
• 다음 글의 나눗셈 알고리즘과 최대공약수로 어떻게 이어지는지 연결합니다.

이번 글에서 새로 나오는 용어

• 나누어떨어짐 (Divisibility): 한 정수가 다른 정수의 배수인지 보는 가장 기본적인 관계입니다.
• 약수 (Divisor): 어떤 수를 나누었을 때 나머지 없이 나누어떨어지게 만드는 수입니다.
• 배수 (Multiple): 어떤 수에 정수를 곱해 얻는 수입니다.
• 몫 (Quotient): 나눗셈에서 몇 번 들어가는지를 나타내는 값입니다.
• 나머지 (Remainder): 나누고 남는 부분입니다.

왜 약수와 배수부터 시작할까?

정수론은 정수 사이의 관계를 읽는 학문입니다. 그중에서도 가장 기초적인 질문은 이것입니다.

어떤 수가 다른 수로 딱 나누어떨어지는가?

예를 들어 12는 3으로 나누어떨어집니다. 12를 3으로 나누면 몫이 4이고 나머지가 0이기 때문입니다.

$$12 = 3 \times 4$$

이 한 줄 안에는 이미 세 가지 정보가 들어 있습니다.

• 3은 12의 약수입니다.
• 12는 3의 배수입니다.
• 12는 3으로 나누어떨어집니다.

즉, 약수와 배수는 따로 떨어진 개념이 아니라 같은 관계를 서로 반대 방향에서 읽은 표현입니다.

약수와 배수는 같은 관계를 다른 방향에서 본다

이 관계를 기호로는

$$a \mid b$$

라고 씁니다. 이는 "a가 b를 나눈다"(a divides b), 또는 "b가 a로 나누어떨어진다"는 뜻입니다.

정수 $a$와 $b$에 대해, $b = aq$를 만족하는 정수 $q$가 있으면

• $a \mid b$라고 쓰고
• $a$는 $b$의 약수
• $b$는 $a$의 배수

라고 말합니다.

기호 $a \mid b$는 나눗셈 관계를 나타내고, $b/a$는 실제 나눗셈 계산 결과를 나타낸다는 점도 함께 구분해 두면 좋습니다.

예시 1. 4와 20의 관계

$$20 = 4 \times 5 + 0$$

이므로

• 4는 20의 약수
• 20은 4의 배수
• 4는 20을 나눈다

라고 모두 말할 수 있습니다.

예시 2. 6과 20의 관계

20은 6으로 나누면 나머지가 2 남습니다.

$$20 = 6 \times 3 + 2$$

따라서 6은 20의 약수가 아니고, 20은 6의 배수도 아닙니다.

여기서 중요한 점은, 약수/배수 여부는 단순히 수가 "작다" 또는 "크다"로 결정되지 않는다는 것입니다. 오직 나머지가 0인지 아닌지가 기준입니다.

몫과 나머지를 함께 보아야 관계가 분명해진다

초반에는 약수와 배수를 곱셈으로만 외우기 쉽습니다. 하지만 실제로는 몫과 나머지를 함께 보는 편이 훨씬 안전합니다.

예를 들어 18을 4로 나누면

$$18 = 4 \times 4 + 2$$

입니다. 몫은 4이고 나머지는 2입니다. 이때 나머지가 0이 아니므로 4는 18의 약수가 아닙니다.

반대로 18을 3으로 나누면

$$18 = 3 \times 6 + 0$$

이므로 3은 18의 약수입니다.

즉,

• 나머지가 0이면 나누어떨어짐
• 나머지가 0이 아니면 나누어떨어지지 않음

으로 바로 판단할 수 있습니다.

이 관점이 다음 글의 나눗셈 알고리즘으로 이어집니다.

한 번에 보는 예시: 12의 약수와 3의 배수

숫자 하나를 기준으로 보면 약수와 배수가 어떻게 다른지 더 분명해집니다.

12의 약수

수	12를 나누었을 때	약수 여부
1	$12 = 1 \times 12 + 0$	O
2	$12 = 2 \times 6 + 0$	O
3	$12 = 3 \times 4 + 0$	O
4	$12 = 4 \times 3 + 0$	O
5	$12 = 5 \times 2 + 2$	X
6	$12 = 6 \times 2 + 0$	O

따라서 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다.

3의 배수

3의 배수는 3에 정수를 곱해서 만든 수입니다.

$$\dots, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, \dots$$

약수는 어떤 수를 나누는 쪽에서 보고, 배수는 어떤 수를 곱해서 만들어지는 쪽에서 봅니다.

예를 들어 $3 \mid 12$라면

• 3은 12를 나누는 수이므로 약수이고
• 12는 3을 몇 배 해서 만든 수이므로 배수입니다.

같은 관계를 어느 쪽에서 보느냐에 따라 이름이 달라진다고 이해하면 됩니다.

왜 이 관계가 다음 개념들로 이어질까?

약수와 배수가 정리되면 다음 질문들이 자연스럽게 생깁니다.

1. 두 수가 공통으로 가지는 약수는 무엇인가?

이 질문이 최대공약수로 이어집니다.

2. 나누었을 때 몫과 나머지는 항상 어떻게 쓸 수 있는가?

이 질문이 나눗셈 알고리즘으로 이어집니다.

3. 왜 어떤 수는 특정 수의 배수인지 아닌지를 빠르게 판단할 수 있는가?

이 질문은 먼저 나눗셈 알고리즘으로 이어집니다. 나머지가 0인지 아닌지를 표준 형태로 읽기 시작하면, 이후에는 합동과 소인수분해, 알고리즘적 사고로도 자연스럽게 확장됩니다.

즉, 약수와 배수는 정수론에서 작은 단원이 아니라, 이후 모든 내용을 읽는 기본 문법입니다.

Common mistakes

1. 약수와 배수를 거꾸로 읽는 실수

"3은 12의 배수"라고 말하면 방향이 뒤집힌 것입니다. 정확한 표현은

• 3은 12의 약수
• 12는 3의 배수

입니다.

2. 수가 더 작으면 항상 약수라고 생각하는 실수

4는 18보다 작지만 18의 약수가 아닙니다. 크기가 아니라 나머지가 0인지를 봐야 합니다.

3. 나머지를 확인하지 않는 실수

곱셈표 감각만으로 판단하다 보면 실수가 생깁니다. 확실하지 않으면 직접 나누어 몫과 나머지를 확인하는 습관이 필요합니다.

Wrap-up

이번 글에서는 나누어떨어짐의 관점에서 약수와 배수가 같은 관계의 다른 표현이라는 점을 정리했습니다. 또 몫과 나머지를 함께 보아야 약수 여부를 안전하게 판단할 수 있다는 점도 확인했습니다.

다음 글에서는 이 생각을 한 단계 더 밀어붙여, 어떤 정수도 항상

$$a = bq + r$$

형태로 쓸 수 있다는 나눗셈 알고리즘을 배워 보겠습니다.