지금까지는 나누어떨어짐, 최대공약수, 베주 항등식처럼 정수들 사이의 관계를 살펴봤습니다. 이제 정수 그 자체를 더 깊이 들여다볼 차례입니다. 이 글에서는 특히 1보다 큰 자연수를 중심으로 보겠습니다. 어떤 수는 더 이상 쪼갤 수 없는 기본 블록처럼 행동하는데, 그 수가 바로 소수입니다.
What this post covers
- 소수와 합성수의 차이를 설명합니다.
- 왜 소수가 정수론의 기본 블록처럼 보이는지 이해합니다.
- 간단한 예시로 소수 판별 감각을 익힙니다.
- 다음 글의 소인수분해로 자연스럽게 이어집니다.
이번 글에서 새로 나오는 용어
- 소수 (Prime Number): 1보다 큰 자연수 가운데 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수입니다.
- 합성수 (Composite Number): 1보다 크고, 1과 자기 자신 이외의 약수를 가지는 수입니다.
- 소인수분해 (Prime Factorization): 정수를 소수들의 곱으로 나타내는 것입니다.
- 약수 (Divisor): 어떤 정수를 나누어떨어지게 하는 수입니다.
소수와 합성수
자연수 에 대해, 약수가 1과 자기 자신뿐이면 소수입니다.
예를 들면
- 2, 3, 5, 7, 11은 소수이고
- 4, 6, 8, 9, 10, 12는 합성수입니다.
합성수는 중간에 다른 약수가 있으므로 더 작은 정수들의 곱으로 분해할 수 있습니다.
왜 소수가 특별할까?
소수는 정수를 만드는 기본 재료처럼 행동합니다.
예를 들어
- 6은
- 12는
- 18은
처럼 쓸 수 있습니다.
즉, 합성수는 결국 소수들을 곱해서 만들어집니다. 그래서 소수를 “정수론의 원자”라고 비유하기도 합니다.
1은 왜 소수가 아닐까?
처음 배우면 자주 나오는 질문입니다. 1은 약수가 하나뿐이니 오히려 더 특별해 보이기 때문입니다.
하지만 1을 소수로 넣어 버리면 정수를 소수의 곱으로 나타내는 방식이 뒤엉킵니다. 예를 들어 6을
처럼 끝없이 다르게 쓸 수 있기 때문입니다.
정수론은 소인수분해의 유일성을 중요하게 보므로, 1은 소수에서 제외합니다.
가장 작은 소수는 왜 2일까?
2는 유일한 짝수 소수입니다. 4 이상인 모든 짝수는 2로 나누어지므로 자기 자신과 1 외에도 약수 2를 가집니다. 따라서 짝수 가운데 소수는 2 하나뿐입니다.
이 사실은 소수 판별을 할 때도 자주 쓰입니다. 짝수인지 먼저 보고, 그다음 홀수 약수만 검사하면 되기 때문입니다.
간단한 판별 감각 익히기
15는 소수일까?
15는 3으로도 나누어지고 5로도 나누어집니다.
이므로 소수가 아니라 합성수입니다.
17은 소수일까?
17은 2, 3, 4로 나누어떨어지지 않습니다. 또 은 4와 5 사이에 있으므로, 그보다 큰 수를 굳이 더 검사하지 않아도 됩니다. 따라서 17은 소수입니다.
21은 소수일까?
21은 3과 7의 곱이므로 합성수입니다.
소수는 왜 계속 중요하게 등장할까?
소수는 단지 정의만 예쁜 수가 아닙니다.
즉, 소수는 정수론의 초반, 중반, 후반에 모두 등장하는 중심 축입니다.
Common mistakes
1. 1을 소수로 넣는 실수
소수는 1보다 큰 자연수입니다. 1은 소수가 아닙니다.
2. 홀수면 소수라고 생각하는 실수
9, 15, 21, 25처럼 홀수이지만 합성수인 수는 많습니다.
3. 소수 판별에서 너무 많은 수를 검사하는 실수
입문 단계에서는 모든 약수를 다 볼 필요가 없다는 감각만 잡아도 충분합니다. 작은 약수에서 이미 판별이 나는 경우가 많습니다.
Wrap-up
이번 글에서는 소수가 무엇인지, 왜 합성수와 구별되는지, 그리고 왜 정수론에서 기본 블록처럼 취급되는지를 정리했습니다.
다음 글에서는 이 흐름을 이어서, 모든 정수를 소수들의 곱으로 나타내는 소인수분해와 그 유일성 아이디어를 살펴보겠습니다.
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