[미적분학 - 적분편 2] 리만합의 생각: 잘게 나누고 더하면 무엇이 보이는가

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 함수값이 계속 변할 때 전체 누적량을 어떻게 계산할지 설명합니다. 구간을 잘게 나누고 각 조각을 직사각형으로 근사해 더하는 방식, 즉 리만합의 생각을 통해 정적분의 바로 직전 단계까지 갑니다.

핵심 아이디어

지난 글에서 본 것처럼, 함수값이 계속 변하면 하나의 곱셈으로 전체를 계산할 수 없습니다. 그래서 우리는 구간을 잘게 나누고, 각 짧은 조각에서는 함수값이 거의 일정하다고 보고 작은 넓이들을 더합니다.

이때 중요한 것은 완벽한 계산이 아니라 점점 더 좋아지는 근사입니다.

• 구간을 대충 나누면 거친 근사
• 더 잘게 나누면 더 좋은 근사
• 아주 잘게 나누는 극한을 생각하면 실제 값에 가까워짐

이 흐름이 리만합의 핵심입니다.

직사각형으로 근사한다는 뜻

함수 $y=f(x)$가 구간 $[a,b]$에 주어졌다고 합시다. 이 구간을 여러 조각으로 나누면 각 조각의 너비는 아주 짧아집니다.

각 조각마다 함수값 하나를 골라 높이로 삼으면, 그 조각의 넓이는 대략

$$\text{높이} \times \text{너비}$$

가 됩니다.

이 작은 넓이들을 전부 더한 것이 리만합입니다.

리만합을 식으로 읽기

구간 $[a,b]$를 $n$개의 같은 길이 조각으로 나눈다고 해 봅시다. 그러면 각 조각의 너비는 전체 길이 $b-a$를 조각 수 $n$으로 나눈 값이므로

$$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$

입니다.

각 조각에서 대표점 $x_i^*$를 하나 골라 높이를 $f(x_i^*)$로 잡으면, 전체 합은

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$$

처럼 쓸 수 있습니다.

이 기호가 낯설어 보여도 뜻은 단순합니다.

• $f(x_i^*)$ - 각 조각의 높이
• $\Delta x$ - 각 조각의 너비
• $\sum$ - 모든 조각을 다 더한다는 뜻

즉, 리만합은 "작은 직사각형 넓이의 총합"입니다.

지금은 왜 같은 너비만 쓰는가

엄밀하게 말하면 모든 조각의 너비가 꼭 같을 필요는 없습니다. 일반적으로는 각 조각의 너비를 $\Delta x_i$처럼 다르게 둘 수도 있습니다.

하지만 처음 개념을 익힐 때는 같은 너비로 나누는 균등분할이 가장 직관적입니다. 그래서 이 글에서는 이해를 돕기 위해 우선 $\Delta x=(b-a)/n$인 경우만 다룹니다.

대표점을 어디서 잡아도 되는가

각 조각의 높이를 정할 때 왼쪽 끝점을 쓸 수도 있고, 오른쪽 끝점을 쓸 수도 있고, 가운데 점을 쓸 수도 있습니다.

처음에는 이 선택에 따라 값이 조금씩 달라집니다. 하지만 함수가 연속이어서 적분이 잘 정의되는 상황에서는 조각을 충분히 잘게 나누면 이런 차이가 점점 작아집니다.

엄밀하게는 단순히 조각 수 $n$만 커진다는 말보다, 조각들의 최대 너비가 0에 가까워진다고 이해하는 편이 더 정확합니다. 지금은 균등분할을 쓰고 있으므로 $\Delta x=(b-a)/n$가 작아지는 상황으로 생각하면 충분합니다.

이 사실이 중요합니다. 적분은 처음부터 완벽한 직사각형을 찾는 기술이 아니라, 잘게 나눌수록 서로 다른 근사들이 하나의 값으로 모여 가는지를 보는 개념이기 때문입니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 증가하는 함수의 넓이 근사

함수 $f(x)=x+1$를 구간 $[0,2]$에서 생각해 봅시다. 이 구간을 두 조각으로 나누면 각 너비는 1입니다.

왼쪽 끝점을 높이로 쓰면 직사각형 높이는

$$f(0)=1, \qquad f(1)=2$$

이므로 합은

$$1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 3$$

입니다.

오른쪽 끝점을 높이로 쓰면

$$f(1)=2, \qquad f(2)=3$$

이므로 합은

$$2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5$$

입니다.

즉, 실제 넓이는 3과 5 사이 어딘가에 있을 것이라고 짐작할 수 있습니다.

예제 2. 더 잘게 나누면 어떻게 되나

같은 함수를 네 조각으로 나누면 각 너비는

$$\Delta x = \frac{2-0}{4} = 0.5$$

가 됩니다.

왼쪽 끝점을 쓰면 높이는

$$f(0)=1, \quad f(0.5)=1.5, \quad f(1)=2, \quad f(1.5)=2.5$$

이므로 왼쪽 합은

$$(1+1.5+2+2.5)\cdot 0.5 = 7 \cdot 0.5 = 3.5$$

입니다.

오른쪽 끝점을 쓰면 높이는

$$f(0.5)=1.5, \quad f(1)=2, \quad f(1.5)=2.5, \quad f(2)=3$$

이므로 오른쪽 합은

$$(1.5+2+2.5+3)\cdot 0.5 = 9 \cdot 0.5 = 4.5$$

입니다.

두 조각일 때는 3과 5 사이였는데, 네 조각일 때는 3.5와 4.5 사이로 더 좁혀졌습니다. 이것이 리만합이 점점 실제 값에 가까워진다는 감각입니다.

실제로 이 함수의 정확한 정적분 값은

$$\int_0^2 (x+1)\,dx = 4$$

이므로, 왼쪽합과 오른쪽합이 4를 향해 좁혀진다고 볼 수 있습니다.

왜 합의 극한으로 가야 하나

리만합만으로는 아직 근사입니다. 하지만 조각의 개수를 계속 늘리고 너비를 계속 줄이면, 이 근사들이 어떤 하나의 값으로 모일 수 있습니다.

그때 우리는 그 값을 정적분이라고 부르게 됩니다.

즉,

• 리만합은 계산 아이디어
• 정적분은 그 아이디어가 극한에서 도달하는 값

입니다.

그래서 정적분을 이해하려면 먼저 리만합의 생각을 충분히 납득해야 합니다.

자주 하는 실수

• 리만합을 새로운 공식으로만 보는 경우 - 핵심은 작은 조각들의 합이라는 뜻입니다.
• 대표점을 꼭 하나의 방식으로만 잡아야 한다고 생각하는 경우 - 함수가 연속인 상황에서는 조각을 잘게 나눌수록 값이 모이는 방향을 봐야 합니다.
• 직사각형 근사가 실제 넓이와 처음부터 같아야 한다고 생각하는 경우 - 처음에는 근사이고, 나중에 극한으로 정확해집니다.
• 시그마 기호를 복잡한 계산 기호로만 보는 경우 - 결국 "모두 더한다"는 뜻입니다.

마무리

리만합은 적분의 계산법이라기보다 적분의 생각법입니다. 전체를 한 번에 볼 수 없을 때, 작은 조각으로 나누고 더해서 전체에 다가가는 방식이 바로 적분의 핵심 직관입니다.

다음 글에서는 이 리만합이 극한에서 어떤 값으로 모일 때 정적분이라고 부르는지, 그 정의를 본격적으로 정리합니다.