[미적분학 - 적분편 7] 치환적분: 연쇄율을 거꾸로 읽는 적분

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 치환적분을 다룹니다. 복잡해 보이는 적분이 왜 변수 하나를 바꾸면 단순해지는지, 그리고 그 생각이 연쇄율과 어떻게 연결되는지를 설명합니다.

핵심 아이디어

치환적분은 적분에서 가장 먼저 배우는 계산 기법이지만, 본질은 공식 하나를 더 외우는 것이 아닙니다. 핵심은 "겹겹이 들어간 구조를 풀어내는 방법"입니다.

미분에서 연쇄율은

$$\frac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))g'(x)$$

처럼 나타납니다. 즉, 바깥 함수의 변화율에 안쪽 함수의 변화율이 곱해집니다.

그러면 적분에서는 반대로

$$F'(g(x))g'(x)$$

같은 꼴을 보면, 이것이 원래 $F(g(x))$를 미분한 결과였다고 거꾸로 읽을 수 있습니다. 이 역방향 읽기가 바로 치환적분입니다.

왜 변수를 바꾸는가

적분이 어려워지는 대표적인 이유는 식이 한 번에 읽히지 않기 때문입니다. 예를 들어

$$(2x)(x^2+1)^3$$

같은 식은 겉으로 보면 곱셈이지만, 구조를 보면

• 안쪽 $x^2+1$
• 바깥 $u^3$

의 합성 구조가 숨어 있습니다.

여기서 $2x$가 바로 안쪽 함수 $x^2+1$의 도함수이므로, 변수를

$$u = x^2+1$$

로 바꾸면 식 전체가 훨씬 단순해집니다.

즉, 치환적분은 새로운 문제를 만드는 것이 아니라 원래 숨어 있던 구조를 더 잘 보이게 바꾸는 과정입니다.

치환적분의 기본 흐름

치환적분을 할 때는 다음 순서를 떠올리면 좋습니다.

1. 식 안에 반복되는 덩어리나 안쪽 구조를 찾는다.
2. 그 덩어리를 새 변수 $u$로 둔다.
3. $du$가 원래 식의 어떤 부분과 연결되는지 본다.
4. 적분을 $u$에 대한 더 단순한 형태로 바꾼다.
5. 계산한 뒤 다시 원래 변수로 돌아온다.

정적분이라면 마지막 단계에서 경계값도 함께 바꾸는 방식까지 생각해야 합니다.

어떤 식에서 먼저 의심할까

치환적분은 보통 다음 꼴에서 먼저 떠올리면 좋습니다.

• $F(g(x))g'(x)$처럼 안쪽 함수와 그 도함수가 함께 보이는 경우
• $(x^2+1)^n$, $\sin(3x)$, $e^{x^2}$처럼 겹겹이 들어간 구조가 있는 경우
• 미분편에서 연쇄율을 적용했던 형태가 거꾸로 보이는 경우

즉, 식을 보자마자 계산하지 말고 먼저 "겉함수-안쪽함수"를 읽는 습관이 중요합니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 가장 기본적인 치환적분

$$\int 2x(x^2+1)^3\,dx$$

에서

$$u=x^2+1$$

로 두면

$$du=2x\,dx$$

입니다. 따라서 적분은

$$\int u^3\,du$$

가 되고,

$$\int u^3\,du = \frac{u^4}{4}+C$$

이므로 다시 돌아오면

$$\int 2x(x^2+1)^3\,dx = \frac{(x^2+1)^4}{4}+C$$

입니다.

여기서는 안쪽 함수의 도함수가 그대로 보였기 때문에 치환이 아주 자연스럽게 작동합니다.

예제 2. 삼각함수 안쪽이 선형인 경우

$$\int \cos(3x)\,dx$$

에서

$$u=3x$$

로 두면

$$du=3\,dx, \qquad dx=\frac{1}{3}du$$

입니다. 따라서

$$\int \cos(3x)\,dx =\frac{1}{3}\int \cos u\,du =\frac{1}{3}\sin u + C =\frac{1}{3}\sin(3x)+C$$

입니다.

이 예제는 안쪽 도함수가 정확히 보이지 않아도 상수배를 꺼내어 맞출 수 있음을 보여 줍니다.

예제 3. 정적분에서의 치환

$$\int_0^1 2x(x^2+1)^2\,dx$$

를 계산해 봅시다. 다시

$$u=x^2+1$$

로 두면

$$du=2x\,dx$$

입니다. 이때 경계값도 바꾸면

• $x=0$일 때 $u=1$
• $x=1$일 때 $u=2$

이므로

$$\int_0^1 2x(x^2+1)^2\,dx = \int_1^2 u^2\,du$$

가 됩니다. 따라서

$$\int_1^2 u^2\,du = \left[\frac{u^3}{3}\right]_1^2 = \frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}$$

입니다.

정적분에서는 이렇게 경계값까지 함께 바꾸면 마지막에 다시 $x$로 돌아오지 않아도 됩니다.

언제 치환을 떠올려야 하나

치환적분은 모든 적분에 쓰는 만능 기술은 아니지만, 다음 같은 신호가 보이면 먼저 의심해 볼 만합니다.

• 거듭제곱 안에 또 식이 들어 있는 경우
• 삼각함수, 지수함수, 로그함수 안에 다른 식이 들어 있는 경우
• 어떤 덩어리의 도함수와 비슷한 항이 곁에 붙어 있는 경우

즉, 식을 볼 때 "안쪽 함수와 그 도함수"의 짝을 찾는 습관이 중요합니다.

연쇄율과 어떻게 연결되나

치환적분은 사실 연쇄율을 반대로 읽는 것입니다.

미분에서는

• 안쪽을 미분하고
• 바깥을 미분하며
• 둘을 곱합니다.

적분에서는 반대로

• 곱으로 나타난 결과를 보고
• 안쪽 구조를 하나의 새 변수로 묶은 뒤
• 원래의 합성함수 형태를 복원합니다.

그래서 치환적분을 이해하려면 연쇄율을 잘 이해하고 있는 것이 큰 도움이 됩니다.

자주 하는 실수

• 아무 덩어리나 $u$로 놓는 경우 - 도함수와 함께 보이는 구조인지 확인해야 합니다.
• $du$를 바꾸지 않고 원래 식 일부를 그대로 남기는 경우 - 변수 전체가 일관되게 바뀌어야 합니다.
• 정적분에서 치환 후 경계값을 그대로 두는 경우 - $x$의 경계를 $u$의 경계로 바꿔야 합니다.
• 치환 후 계산은 했는데 다시 원래 변수로 돌아오지 않는 경우 - 부정적분에서는 마지막 복원이 필요합니다.

마무리

치환적분은 복잡한 적분을 억지로 계산하는 기술이 아니라, 식 안의 합성 구조를 더 잘 보이게 다시 쓰는 방법입니다. 연쇄율을 거꾸로 읽는 감각이 생기면 많은 적분이 훨씬 자연스럽게 정리됩니다.

다음 글에서는 곱의 미분법을 거꾸로 읽는 방식, 즉 부분적분으로 넘어갑니다.