[미적분학 - 적분편 8] 부분적분: 곱의 미분을 거꾸로 읽는 방법

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 부분적분을 다룹니다. 두 함수의 곱으로 이루어진 적분에서 무엇을 미분하고 무엇을 적분할지 판단하는 법, 그리고 왜 이 방법이 곱의 미분법과 연결되는지 설명합니다.

핵심 아이디어

치환적분이 연쇄율을 거꾸로 읽는 방법이었다면, 부분적분은 곱의 미분법을 거꾸로 읽는 방법입니다.

함수 $f$, $g$가 미분가능하고 $f'g$, $fg'$가 적분 가능하다고 합시다. 곱의 미분법은

$$(fg)' = f'g + fg'$$

입니다.

양변을 적분하면

$$\int (fg)'\,dx = \int f'g\,dx + \int fg'\,dx$$

이고, 왼쪽은 $fg + C$이므로 정리하면

$$\int f'g\,dx = fg - \int fg'\,dx + C$$

가 됩니다.

보통 기호를 바꾸어

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

로 씁니다. 부정적분에서는 이 식도 상수 차이까지 포함한 관계라고 이해하면 됩니다.

핵심은 곱 전체를 한 번에 적분하려 하지 않고, 한쪽은 미분하고 다른 한쪽은 적분해서 더 쉬운 적분으로 바꾸는 데 있습니다.

왜 이런 방법이 필요한가

어떤 적분은 치환적분으로 잘 풀리지만, 어떤 적분은 안쪽 함수와 그 도함수의 짝이 보이지 않습니다.

예를 들어

$$\int x e^x\,dx$$

에서는

• $e^x$는 적분이 쉽고
• $x$는 미분하면 단순해집니다.

이럴 때는 한쪽을 더 단순하게 만들고, 다른 한쪽은 그대로 유지하는 전략이 효과적입니다. 부분적분은 바로 이런 상황을 위한 도구입니다.

부분적분의 기본 흐름

부분적분을 할 때는 보통 이렇게 생각합니다.

1. 식을 두 부분으로 나눈다.
2. 한쪽은 $u$로 두어 미분한다.
3. 다른 한쪽은 $dv$로 두어 적분한다.
4. 공식

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

를 적용한다. 5. 새로 생긴 적분이 원래보다 쉬워졌는지 확인한다.

즉, 부분적분은 공식 대입보다 "더 쉬운 적분으로 바뀌는가"를 판단하는 것이 핵심입니다.

무엇을 u로 둘까

언제나 정답이 하나로 정해져 있는 것은 아니지만, 보통은 미분하면 더 단순해지는 쪽을 $u$로 두는 편이 좋습니다.

간단한 판단 기준은 다음과 같습니다.

• 로그함수 - 미분하면 단순해지므로 $u$ 후보
• 다항식 - 미분할수록 차수가 내려가므로 $u$ 후보
• 지수함수, 삼각함수 - 적분해도 구조가 크게 무너지지 않아 $dv$ 후보

즉, "미분해서 단순해질 것"과 "적분해서 유지될 것"을 가르는 감각이 중요합니다.

더 짧게 기억하면, 보통은 "미분하면 빨리 단순해지는 것"을 $u$로 두는 편이 유리합니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 가장 대표적인 형태

$$\int x e^x\,dx$$

에서

$$u = x, \qquad dv = e^x\,dx$$

로 두면

$$du = dx, \qquad v = e^x$$

입니다. 따라서

$$\int x e^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C$$

입니다.

즉,

$$\int x e^x\,dx = e^x(x-1)+C$$

입니다. 원래 적분보다 훨씬 단순한 적분으로 바뀌었기 때문에 부분적분이 잘 작동한 예입니다.

예제 2. 로그함수의 적분

로그함수의 적분은 $x>0$에서 생각하겠습니다.

$$\int \ln x\,dx$$

는 곱처럼 보이지 않지만

$$\ln x = (\ln x)\cdot 1$$

로 생각할 수 있습니다. 여기서

$$u = \ln x, \qquad dv = dx$$

로 두면

$$du = \frac{1}{x}dx, \qquad v = x$$

입니다. 따라서

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot \frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C$$

입니다.

이 예제는 보이지 않는 곱을 만드는 시선이 중요하다는 점을 보여 줍니다.

예제 3. 반복이 필요한 경우

$$\int x^2 e^x\,dx$$

를 생각해 봅시다. 먼저

$$u = x^2, \qquad dv = e^x\,dx$$

로 두면

$$du = 2x\,dx, \qquad v = e^x$$

이므로

$$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - \int 2x e^x\,dx$$

입니다.

그런데 아직 $\int 2x e^x\,dx$가 남아 있습니다. 이 적분도 다시 부분적분을 적용하면

$$u = 2x, \qquad dv = e^x\,dx$$

이므로

$$du = 2\,dx, \qquad v = e^x$$

이고,

$$\int 2x e^x\,dx = 2xe^x - 2e^x + C$$

이므로

$$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - (2xe^x - 2e^x) + C$$

즉,

$$\int x^2 e^x\,dx = e^x(x^2-2x+2)+C$$

입니다.

부분적분은 한 번만 쓰는 기술이 아니라, 적분이 쉬워질 때까지 반복해서 쓸 수 있다는 점도 중요합니다.

예제 4. 정적분에서도 그대로 적용된다

$$\int_0^1 x\cos x\,dx$$

에서

$$u=x, \qquad dv=\cos x\,dx$$

로 두면

$$du=dx, \qquad v=\sin x$$

입니다. 따라서

$$\int_0^1 x\cos x\,dx = \left[x\sin x\right]_0^1 - \int_0^1 \sin x\,dx$$

입니다.

정적분에서는 $uv$ 항과 $\int v\,du$ 항에 같은 적분구간 $[0,1]$을 유지해야 합니다. 이어서 계산하면

$$= \sin 1 - \left[-\cos x\right]_0^1 = \sin 1 + \cos 1 - 1$$

입니다.

치환적분과는 어떻게 다른가

치환적분은 안쪽 함수와 그 도함수가 보일 때 강하고, 부분적분은 곱 구조에서 한쪽을 단순화할 수 있을 때 강합니다.

즉,

• 치환적분 - 합성 구조를 푼다.
• 부분적분 - 곱 구조를 분해한다.

문제를 볼 때 어떤 구조가 숨어 있는지 먼저 읽는 습관이 중요합니다.

만약 곱 안에 합성 구조까지 숨어 있다면 부분적분과 치환적분이 한 문제 안에서 함께 등장할 수도 있습니다.

연습해 보기

1. $\int x\sin x\,dx$를 계산해 보세요.
2. $\int x^2\cos x\,dx$에서 부분적분을 두 번 적용해 보세요.
3. $\int_1^2 x\ln x\,dx$에서 $u$와 $dv$를 어떻게 잡을지 먼저 정해 보세요.

간단한 검산 방향은 다음과 같습니다.

• 1번은 $u=x$, $dv=\sin x\,dx$로 두면 됩니다.
• 2번은 다항식 차수가 내려가도록 $u=x^2$에서 시작하면 됩니다.
• 3번은 로그함수가 미분하면 단순해지므로 $u=\ln x$를 먼저 떠올리면 좋습니다.

자주 하는 실수

• $u$와 $dv$를 아무 기준 없이 정하는 경우 - 새 적분이 더 쉬워져야 합니다.
• 공식의 부호를 틀리는 경우 - $uv - \int v\,du$에서 마이너스를 놓치기 쉽습니다.
• $dv$를 정한 뒤 $v$를 잘못 적분하는 경우 - 먼저 $v$를 정확히 구해야 합니다.
• 정적분에서 경계값 평가를 빼먹거나 구간을 섞는 경우 - $uv$와 $\int v\,du$ 모두 같은 구간을 유지해야 합니다.

마무리

부분적분은 곱의 미분법을 거꾸로 읽어, 어려운 적분을 더 쉬운 적분으로 바꾸는 방법입니다. 중요한 것은 공식을 외우는 것이 아니라 어떤 부분을 미분하면 단순해지고, 어떤 부분은 적분해도 괜찮은지 구조를 보는 눈입니다.

다음 글에서는 이제 적분을 실제 문제에 적용해 넓이, 부피, 거리 같은 양을 어떻게 읽는지 정리합니다.