[미적분학 - 적분편 6] 부정적분과 원시함수: 적분 계산의 문을 여는 개념

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 부정적분과 원시함수를 다룹니다. 어떤 함수의 도함수가 되는 함수를 찾는다는 말이 무슨 뜻인지, 왜 적분상수 $C$가 꼭 필요한지, 그리고 이 개념이 정적분 계산과 어떻게 연결되는지 설명합니다.

기본정리에서 왜 바로 이 주제로 오는가

앞 글에서 미적분의 기본정리를 통해 정적분이 원시함수의 값 차이로 계산된다는 사실을 보았습니다.

특히 학교 수준에서는 함수가 적당히 연속이면 이 연결을 안전하게 사용할 수 있다고 생각하면 됩니다.

즉,

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$

라는 계산을 하려면 먼저 $F'(x)=f(x)$를 만족하는 함수 $F$를 알아야 합니다.

그래서 자연스럽게 다음 질문이 생깁니다.

"주어진 함수의 원시함수를 어떻게 찾을까?"

이 질문에 답하는 것이 부정적분입니다.

핵심 아이디어

부정적분은 어떤 함수 $f(x)$에 대해

$$F'(x)=f(x)$$

를 만족하는 함수 $F(x)$들을 찾는 과정입니다.

즉, 부정적분은 새로운 종류의 숫자를 구하는 작업이 아니라, 원래 함수를 미분했을 때 주어진 함수가 나오게 하는 함수족을 찾는 작업입니다.

원시함수란 무엇인가

함수 $F(x)$를 미분했더니 $f(x)$가 된다면, $F(x)$를 $f(x)$의 원시함수라고 합니다.

예를 들어

$$\frac{d}{dx}(x^2)=2x$$

이므로 $x^2$는 $2x$의 원시함수입니다.

마찬가지로

$$\frac{d}{dx}(x^2+5)=2x, \qquad \frac{d}{dx}(x^2-3)=2x$$

이므로 $x^2+5$와 $x^2-3$도 모두 $2x$의 원시함수입니다.

즉, 원시함수는 하나만 있는 것이 아니라 여러 개가 가능합니다.

원시함수의 가족과 부정적분 기호

여기서 구분을 한 번 분명히 해 두는 것이 좋습니다.

• 원시함수의 가족 - $F(x)+C$처럼 상수 차이만큼 달라지는 모든 함수들
• 부정적분 기호 - 그 원시함수의 가족을 한꺼번에 나타내는 표기

그래서

$$\int f(x)\,dx = F(x)+C$$

라는 식은, 왼쪽의 부정적분 기호가 오른쪽의 원시함수 가족 전체를 나타낸다는 약속입니다.

즉, "부정적분"과 "원시함수"는 서로 다른 개념이 아니라, 같은 대상을 보는 두 표현입니다.

왜 적분상수 C가 필요한가

방금 본 것처럼 상수항은 미분하면 0이 됩니다. 그래서 어떤 함수의 원시함수를 하나 찾았더라도, 거기에 상수를 더한 모든 함수가 다시 원시함수가 됩니다.

그래서 부정적분은 보통

$$\int f(x)\,dx = F(x)+C$$

처럼 씁니다.

여기서 $C$는 임의의 상수입니다.

이 상수는 장식이 아니라, 미분할 때 사라지는 모든 상수항의 가능성을 한꺼번에 표시한 것입니다.

부정적분은 정적분과 어떻게 다른가

초심자가 가장 자주 헷갈리는 부분은 부정적분과 정적분을 같은 것으로 보는 것입니다. 하지만 둘은 역할이 다릅니다.

• 부정적분 - 원시함수의 가족을 찾는다.
• 정적분 - 특정 구간에서의 누적량을 구한다.

표기부터 다릅니다.

$$\int f(x)\,dx$$

는 부정적분이고,

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

는 정적분입니다.

부정적분에는 구간 끝점이 없고, 대신 적분상수 $C$가 붙습니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 가장 기본적인 부정적분

$$\int 2x\,dx$$

는 $2x$의 원시함수를 찾는 문제입니다. $x^2$를 미분하면 $2x$가 되므로

$$\int 2x\,dx = x^2 + C$$

검산해 보면

$$\frac{d}{dx}(x^2+C)=2x$$

이므로 결과가 맞음을 바로 확인할 수 있습니다.

입니다.

예제 2. 상수함수의 부정적분

$$\int 3\,dx$$

는 미분하면 3이 되는 함수를 찾는 것입니다. $3x$를 미분하면 3이므로

$$\int 3\,dx = 3x + C$$

이 역시

$$\frac{d}{dx}(3x+C)=3$$

으로 검산할 수 있습니다.

입니다.

예제 3. 정적분과의 연결

앞 글에서 본

$$\int_1^3 2x\,dx$$

를 다시 생각해 보면, 먼저 부정적분으로 원시함수

$$\int 2x\,dx = x^2 + C$$

를 찾고, 그다음 기본정리를 사용해

$$\int_1^3 2x\,dx = x^2\big|_1^3 = 3^2-1^2 = 9-1 = 8$$

처럼 계산합니다.

여기서 정적분 계산에는 $C$가 보이지 않습니다. 위끝값과 아래끝값을 뺄 때 상수는 서로 지워지기 때문입니다.

예제 4. 조건이 주어지면 C를 정할 수 있다

부정적분에서는 보통 $C$를 남겨 두지만, 추가 조건이 주어지면 그 값을 정할 수 있습니다.

예를 들어

$$F'(x)=2x, \qquad F(1)=5$$

라고 합시다. 먼저 부정적분으로

$$F(x)=x^2+C$$

를 얻고, 조건 $F(1)=5$를 대입하면

$$1+C=5$$

이므로 $C=4$입니다. 따라서

$$F(x)=x^2+4$$

입니다.

이 예제는 부정적분이 함수족을 주고, 추가 조건이 그중 하나를 골라 준다는 사실을 보여 줍니다.

계산 전에 꼭 구분할 것

부정적분 문제를 볼 때는 먼저 이것이 무엇을 묻는지 분명히 해야 합니다.

1. 함수의 원시함수 전체를 찾는가
2. 특정 구간의 누적량을 구하는가

첫 번째라면 부정적분이고, 두 번째라면 정적분입니다.

이 구분이 잡혀야 계산 과정에서 $C$를 언제 써야 하는지도 자연스럽게 따라옵니다.

원시함수는 왜 중요한가

원시함수는 단지 계산 편의를 위한 도구가 아닙니다. 기본정리 덕분에 원시함수를 안다는 것은 정적분을 빠르게 계산할 수 있다는 뜻이기도 합니다.

즉,

• 원시함수를 찾는 기술이 쌓일수록
• 정적분 계산도 훨씬 쉬워지고
• 적분의 응용 문제도 풀 수 있게 됩니다.

그래서 부정적분은 적분 계산의 입구 역할을 합니다.

자주 하는 실수

• 부정적분과 정적분을 같은 것으로 생각하는 경우 - 하나는 함수족, 다른 하나는 구간 누적량입니다.
• 적분상수 $C$를 빼먹는 경우 - 부정적분이라면 마지막 줄에 반드시 $+C$를 붙입니다.
• 정적분 계산에서도 $C$를 끝까지 붙여 두는 경우 - 위끝값과 아래끝값을 빼면 상수는 사라진다는 것을 직접 써 보아야 합니다.
• 원시함수 하나만 찾고 그것이 유일하다고 생각하는 경우 - 상수 차이만큼 무한히 많습니다.
• 조건이 주어진 문제에서 $C$를 끝까지 미정으로 두는 경우 - 초기조건이나 경계조건을 바로 대입해 하나의 함수를 정해야 합니다.

마무리

부정적분은 어떤 함수의 도함수가 되는 함수들을 찾는 과정입니다. 그래서 적분상수 $C$가 함께 붙고, 정적분 계산의 바탕이 되는 원시함수를 제공하게 됩니다.

다음 글에서는 이제 이 원시함수 계산을 조금 더 효율적으로 하기 위한 첫 번째 기법, 치환적분으로 넘어갑니다.