[미적분학 - 적분편 5] 미적분의 기본정리: 적분과 미분은 어떻게 이어지는가

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 미적분의 기본정리를 다룹니다. 지금까지 따로 보였던 미분과 적분이 실제로는 어떻게 하나의 흐름으로 이어지는지, 누적함수와 변화율의 관계를 통해 설명합니다.

핵심 아이디어

미분편에서 우리는 도함수를 통해 순간변화율을 읽었습니다. 적분편에서는 정적분을 통해 전체 누적량을 읽고 있습니다.

이제 중요한 질문이 생깁니다.

• 변화율을 알고 있으면 누적량을 되찾을 수 있는가
• 누적량으로 만든 함수를 다시 미분하면 원래 변화율이 나오는가

미적분의 기본정리는 바로 이 두 질문에 답하는 정리입니다.

즉, 미분과 적분은 서로 완전히 별개인 기술이 아니라, 변화와 누적이라는 한 쌍의 언어입니다.

누적함수를 먼저 생각해 보자

함수 $f(x)$가 주어졌을 때, 어떤 기준점 $a$에서부터 $x$까지의 누적량을

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$

처럼 정의해 봅시다.

이 함수 $F(x)$는 $x$가 변할수록 누적 구간의 끝점도 함께 움직입니다. 즉, $x$가 조금 커지면 누적량도 조금 더 늘어납니다.

이제 $x$를 아주 조금 $h$만큼 늘려 봅시다. 그러면 누적량의 차이는

$$F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h} f(t)\,dt$$

가 됩니다.

오른쪽은 길이 $h$인 아주 짧은 구간에서 새로 덧붙은 양입니다. 이 짧은 구간에서는 함수값이 거의 $f(x)$와 비슷하므로

$$F(x+h)-F(x) \approx f(x)\,h$$

라고 볼 수 있습니다. 따라서 차분비는

$$\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \approx f(x)$$

가 되고, $h \to 0$으로 보내면 누적함수의 순간변화율이 원래 함수값 $f(x)$가 된다는 직관을 얻습니다.

기본정리의 첫 번째 의미

함수 $f$가 구간 $[a,b]$에서 연속이라고 합시다. 그때 누적함수

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$

는 $(a,b)$에서 미분가능하고

$$F'(x)=f(x)$$

가 됩니다.

이 말은 아주 중요합니다. 적분으로 만든 누적함수를 다시 미분하면, 원래 쌓고 있던 함수가 다시 나타난다는 뜻입니다.

즉, 적분은 누적을 만들고, 미분은 그 누적이 얼마나 빠르게 늘어나는지 읽습니다. 그래서 둘은 정반대 방향에서 같은 구조를 보고 있는 셈입니다.

기본정리의 두 번째 의미

이제 반대로 생각해 봅시다. 함수 $f$가 구간 $[a,b]$에서 연속이고, 함수 $F$가 그 구간에서 $f$의 원시함수라서

$$F'(x)=f(x)$$

라고 합시다.

그러면 정적분은

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$

로 계산할 수 있습니다.

이것이 기본정리의 두 번째 의미입니다. 즉, 리만합의 극한으로 정의된 정적분을 실제 계산할 때는 원시함수의 함수값 차이로 바꿀 수 있습니다.

이 사실 덕분에 적분은 매번 직사각형을 무한히 잘게 나누지 않아도 계산할 수 있게 됩니다.

왜 이렇게 강력한가

지금까지의 흐름을 정리하면 이렇습니다.

• 정적분은 원래 합의 극한으로 정의된다.
• 누적함수를 미분하면 원래 함수가 나온다.
• 그래서 정적분은 원시함수의 값 차이로 계산할 수 있다.

즉, 정의는 리만합에 있지만 계산은 원시함수로 할 수 있게 되는 것입니다.

이 연결이 바로 미적분학 전체에서 가장 중요한 다리입니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 두 의미를 한 번에 보기

함수

$$A(x)=\int_0^x 2t\,dt$$

를 생각해 봅시다.

기본정리의 첫 번째 의미에 따르면

$$A'(x)=2x$$

입니다. 즉, 누적함수 $A(x)$의 변화율은 원래 쌓고 있던 함수 $2x$와 같습니다.

이제 같은 함수를 구간 $[1,3]$에서 적분하면

$$\int_1^3 2x\,dx = A(3)-A(1)$$

입니다. 그런데 $2x$의 원시함수 하나는 $x^2$이므로

$$A(3)-A(1)=3^2-1^2=8$$

입니다.

이 한 예제 안에서

• 누적함수를 미분하면 원래 함수가 나오고
• 정적분은 원시함수의 값 차이로 계산된다는 사실

을 함께 볼 수 있습니다.

예제 2. 속도와 위치 변화량

속도 함수 $v(t)$가 있을 때

$$\int_a^b v(t)\,dt$$

는 구간 $[a,b]$에서의 전체 위치 변화량으로 읽을 수 있습니다. 그리고 위치 함수 $s(t)$가 $s'(t)=v(t)$를 만족하면

$$\int_a^b v(t)\,dt=s(b)-s(a)$$

가 됩니다.

이 예제는 기본정리가 단순 계산 공식이 아니라, 물리적 변화량을 설명하는 핵심 원리라는 점을 보여 줍니다.

정리를 어떻게 읽어야 하나

미적분의 기본정리는 두 줄 공식으로 외우기 쉽지만, 그 뜻을 함께 읽는 것이 중요합니다.

1. 적분으로 만든 누적함수를 미분하면 원래 함수가 나온다.
2. 원시함수를 알면 정적분을 함수값 차이로 계산할 수 있다.

즉, 적분과 미분은 서로 반대 방향의 작업이면서 동시에 정확히 이어집니다.

자주 하는 실수

• 기본정리를 단순 계산 공식으로만 외우는 경우 - 핵심은 변화율과 누적량의 연결입니다.
• 누적함수 $\int_a^x f(t)\,dt$에서 끝점 $x$가 움직인다는 점을 놓치는 경우 - 이 움직임이 도함수와 연결됩니다.
• 정적분의 정의와 계산법을 혼동하는 경우 - 정의는 합의 극한, 계산은 원시함수의 값 차이입니다.
• 원시함수 차이를 쓸 때 위끝값에서 아래끝값을 빼는 순서를 거꾸로 쓰는 경우 - $F(b)-F(a)$ 순서를 반드시 지켜야 합니다.

마무리

미적분의 기본정리는 적분과 미분이 서로를 되돌릴 수 있다는 사실을 보여 주는 정리입니다. 그래서 미적분학은 변화와 누적을 따로 배우는 학문이 아니라, 둘의 연결을 배우는 학문이 됩니다.

다음 글에서는 이 연결을 계산 쪽으로 옮겨, 부정적분과 원시함수를 어떻게 이해해야 하는지 정리합니다.