[미적분학 - 적분편 4] 정적분의 성질: 구간과 합을 어떻게 다룰 수 있는가

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 정적분의 기본 성질을 정리합니다. 상수배와 합에 대한 성질, 구간을 나누는 성질, 적분 구간의 방향, 함수값의 대소관계가 정적분에 어떻게 반영되는지를 중심으로 봅니다.

핵심 아이디어

정적분은 합의 극한으로 정의되었기 때문에, 합이 가지는 기본 성질들을 상당 부분 그대로 이어받습니다.

그래서 정적분은 단지 하나의 값이 아니라, 계산과 해석을 안정적으로 할 수 있게 해 주는 규칙들을 함께 갖습니다.

이 성질들을 미리 분명히 해 두어야 나중에 미적분의 기본정리나 실제 적분 계산을 배울 때 단순 공식 암기로 무너지지 않습니다.

성질 1. 구간 길이가 0이면 적분도 0이다

같은 점에서 시작해서 같은 점에서 끝나면 누적할 구간이 없습니다. 따라서

$$\int_a^a f(x)\,dx = 0$$

입니다.

이 성질은 아주 단순해 보이지만, 적분 구간을 다룰 때 기준점 역할을 합니다.

성질 2. 구간의 방향을 바꾸면 부호가 바뀐다

적분은 단순한 넓이 계산이 아니라 방향을 가진 누적량입니다. 그래서 시작점과 끝점을 바꾸면 부호가 바뀝니다.

$$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$$

이 성질은 정적분이 왜 부호를 가진 양인지 다시 보여 줍니다.

성질 3. 구간을 나누어 적분할 수 있다

구간 $[a,b]$의 중간에 점 $c$가 있으면, 전체 누적량은 앞부분과 뒷부분의 누적량을 더한 것과 같습니다.

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$$

이 성질은 정적분을 "구간 전체의 총합"으로 이해하면 매우 자연스럽습니다. 전체를 둘로 나눠 세든, 한 번에 세든 결과는 같아야 하기 때문입니다.

성질 4. 상수배는 밖으로 나올 수 있다

함수값 전체가 일정한 배수로 커지면, 누적량 전체도 같은 배수로 커집니다.

$$\int_a^b c f(x)\,dx = c \int_a^b f(x)\,dx$$

여기서 $c$는 상수입니다. 이 성질은 정적분의 선형성 가운데 하나입니다.

성질 5. 합의 적분은 적분의 합이다

두 함수를 더한 뒤 적분하는 것은, 각각 적분해서 더하는 것과 같습니다.

$$\int_a^b (f(x)+g(x))\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$$

마찬가지로 차의 적분도 적분의 차로 쓸 수 있습니다.

이 성질 역시 리만합의 단계에서 이미 자연스럽습니다. 작은 조각마다 더한 것을 먼저 합쳐도 되고, 먼저 나누어 더해도 결국 같은 총합이 되기 때문입니다.

앞의 상수배 성질과 지금의 합 성질을 묶어서 정적분의 선형성이라고 부릅니다.

성질 6. 함수의 대소관계는 적분에도 반영된다

어떤 구간에서 항상

$$f(x) \le g(x)$$

이면, 그 구간의 정적분도

$$\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx$$

가 됩니다.

이 성질은 그래프를 떠올리면 직관적입니다. 늘 더 높은 함수는, 같은 구간에서 더 많은 양을 누적하게 됩니다.

특히 $f(x) \ge 0$이면

$$\int_a^b f(x)\,dx \ge 0$$

입니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 구간 가법성

어떤 함수에 대해

$$\int_0^2 f(x)\,dx = 3, \qquad \int_2^5 f(x)\,dx = 7$$

이라면

$$\int_0^5 f(x)\,dx = 10$$

입니다.

이는 전체 구간의 누적량이 부분 구간 누적량의 합이라는 뜻입니다.

예제 2. 상수배와 합의 성질

만약

$$\int_1^3 f(x)\,dx = 4, \qquad \int_1^3 g(x)\,dx = -1$$

이라면

$$\int_1^3 (2f(x)-3g(x))\,dx$$

는

$$2\int_1^3 f(x)\,dx - 3\int_1^3 g(x)\,dx = 2\cdot 4 - 3\cdot(-1) = 11$$

입니다.

이 예제는 정적분의 선형성이 실제 계산을 얼마나 단순하게 만드는지 보여 줍니다.

예제 3. 방향을 바꾸면 부호가 바뀜

$$\int_2^6 f(x)\,dx = 5$$

이면

$$\int_6^2 f(x)\,dx = -5$$

입니다.

적분 구간의 순서는 단순 표기 문제가 아니라 값의 부호와 연결됩니다.

성질을 왜 미리 배우나

정적분의 정의만 알고 있으면 매번 리만합으로 돌아가야 할 것처럼 느껴질 수 있습니다. 하지만 기본 성질을 알면, 정적분은 하나의 구조를 가진 연산으로 보이기 시작합니다.

즉,

• 구간을 쪼개어 생각할 수 있고
• 함수의 합과 상수배를 자연스럽게 다룰 수 있고
• 부호와 대소관계를 해석할 수 있습니다.

이 성질들이 쌓여야 이후의 계산법도 의미를 갖습니다.

자주 하는 실수

• 적분 구간 순서를 바꿔도 값이 같다고 생각하는 경우 - 부호가 바뀝니다.
• $\int (f+g)$를 $(\int f)(\int g)$처럼 잘못 다루는 경우 - 합의 적분은 적분의 합입니다.
• 함수가 항상 더 큰데도 적분값 비교를 망설이는 경우 - 같은 구간에서는 대소관계가 적분에도 반영됩니다.
• 부분 구간 적분을 더하는 성질을 잊고 매번 전체를 다시 계산하려는 경우 - 구간 가법성을 적극적으로 써야 합니다.

마무리

정적분의 기본 성질은 이후 적분 계산과 해석의 문법 역할을 합니다. 구간을 나누고, 상수를 밖으로 빼고, 함수의 합을 나누어 적분할 수 있다는 사실은 정적분을 훨씬 다루기 쉬운 대상으로 만들어 줍니다.

다음 글에서는 이제 미분편과 적분편을 본격적으로 연결하는 미적분의 기본정리로 넘어갑니다. 누적량과 변화율이 어떻게 하나로 이어지는지가 적분편의 큰 전환점이 됩니다.