[공통수학1 시리즈 12편] 복소수의 연산과 켤레복소수

앞선 글에서는 복소수가 왜 필요한지부터 출발했습니다. 이번에는 그 복소수를 계산의 규칙으로 정리할 차례입니다.

복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 체계적으로 정리하고, 켤레복소수가 왜 중요한지 이해하기.

먼저 오늘의 흐름을 짚고 가겠습니다.

• 복소수는 $a+bi$ 꼴로 나타낸다.
• 계산 자체는 다항식처럼 하되, 마지막에 $i^2=-1$을 적용한다.
• 그런데 나눗셈에서는 분모에 $i$가 남아 불편하다.
• 그 불편함을 정리해 주는 핵심 도구가 켤레복소수다.

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1. 복소수를 계산하기 전에 먼저 볼 것

복소수는 보통

$$a+bi \qquad (a, b\text{는 실수})$$

꼴로 씁니다.

여기서

• $a$를 실수부
• $b$를 허수부의 계수

라고 합니다.

정확히 말하면 허수 항은 $bi$이고, $b$는 그 앞의 계수입니다. 다만 공통수학에서는 편의상 $b$를 허수부라고 함께 부르는 경우도 많습니다.

예를 들어

• $3+2i$의 실수부는 $3$, 허수부의 계수는 $2$
• $-1-4i$의 실수부는 $-1$, 허수부의 계수는 $-4$

입니다.

이 표현이 중요한 이유는 복소수의 계산 결과도 다시 $a+bi$ 꼴로 정리해야 하기 때문입니다.

1-1. 두 복소수가 같다는 뜻

복소수

$$a+bi, \qquad c+di$$

가 서로 같으려면

$$a=c, \qquad b=d$$

가 모두 성립해야 합니다.

즉, 실수부끼리 같고 허수부의 계수끼리도 같아야 합니다.

예를 들어

$$x+2i=5+2i$$

라면 실수부와 허수부의 계수를 비교해서

$$x=5$$

를 바로 얻습니다.

반대로

$$x+2i=5-3i$$

라면 실수부와 허수부를 비교해서

$$x=5, \qquad 2=-3$$

가 되어야 하는데, 두 번째 식이 성립하지 않습니다. 따라서 이 방정식을 만족하는 실수 $x$는 없습니다.

이런 관점은 뒤에서 방정식을 정리할 때도 자주 쓰입니다.

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2. 복소수의 덧셈과 뺄셈

덧셈과 뺄셈은 가장 간단합니다. 실수부끼리, 허수부끼리 계산하면 됩니다.

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

예를 들어

$$(3+4i)+(2-5i)=5-i$$ $$(1-2i)-(-3+i)=4-3i$$

입니다.

계산 규칙 자체는 실수부와 허수부의 계수를 따로 모아 정리하는 수준으로 단순합니다. 복소수의 핵심 어려움은 보통 덧셈보다 곱셈과 나눗셈에서 나타납니다.

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3. 복소수의 곱셈은 다항식처럼 한다

곱셈은 특별한 새 규칙을 외우기보다, 평소처럼 전개한 뒤 $i^2=-1$을 쓰면 됩니다.

$$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd i^2$$

이제 $i^2=-1$을 적용하면

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

가 됩니다.

3-1. 예제로 보면 더 분명하다

$$(2+3i)(1-4i)$$

를 계산해 봅시다.

먼저 전개하면

$$2-8i+3i-12i^2$$

입니다.

같은 항을 묶으면

$$2-5i-12i^2$$

이고, $i^2=-1$이므로

$$2-5i+12=14-5i$$

를 얻습니다.

따라서

$$(2+3i)(1-4i)=14-5i$$

입니다.

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4. 켤레복소수는 무엇일까?

복소수 $a+bi$에 대해

$$a-bi$$

를 켤레복소수라고 합니다.

즉, 실수부는 그대로 두고 허수부의 부호만 바꾼 복소수입니다.

예를 들어

• $3+2i$의 켤레복소수는 $3-2i$
• $-1-5i$의 켤레복소수는 $-1+5i$

입니다.

참고로 어떤 복소수를 $z$라고 쓸 때, 그 켤레복소수는 보통 $\overline{z}$처럼 나타내기도 합니다.

처음 보면 그냥 부호를 바꾼 짝처럼 보이지만, 이 개념은 복소수 나눗셈에서 결정적인 역할을 합니다.

4-1. 켤레복소수를 곱하면 왜 좋을까?

다음 곱을 봅시다.

$$(a+bi)(a-bi)$$

전개하면

$$a^2-abi+abi-b^2i^2$$

입니다.

가운데 두 항은 서로 없어지고, $i^2=-1$이므로

$$a^2+b^2$$

만 남습니다.

즉,

$$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$$

가 됩니다.

중요한 점은 결과가 허수 없이 실수가 된다는 것입니다. 분모가 복소수일 때 그 켤레복소수를 곱하면 분모를 실수로 바꿀 수 있으므로, 바로 이 성질 때문에 켤레복소수가 나눗셈에 쓰입니다.

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5. 복소수의 나눗셈은 켤레복소수로 정리한다

복소수의 나눗셈도 가능하지만, 결과는 보통 다시 $a+bi$ 꼴로 써야 보기 좋습니다.

예를 들어

$$\frac{1+2i}{3+i}$$

를 그대로 두면 분모에 $i$가 남아 있습니다. 이 상태보다는 분모를 실수로 바꾸는 편이 훨씬 정리하기 쉽습니다.

이때 분모 $3+i$의 켤레복소수인 $3-i$를 위아래에 함께 곱합니다.

$$\frac{1+2i}{3+i} \cdot \frac{3-i}{3-i}$$

그러면 분모는

$$(3+i)(3-i)=3^2+1^2=10$$

이 되고, 분자는

$$(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i^2$$

입니다.

같은 항을 묶으면

$$3+5i-2i^2$$

이고, $i^2=-1$을 적용하면

$$3+5i-2(-1)=3+5i+2=5+5i$$

입니다.

따라서

$$\frac{1+2i}{3+i}=\frac{5+5i}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

가 됩니다.

5-1. 왜 위아래에 같은 수를 곱해도 될까?

분수에서 $\frac{3-i}{3-i}=1$이므로 값은 바뀌지 않습니다. 단, 분모가 0이 아닌 경우에만 가능합니다.

복소수에서 어떤 수가 0이라는 뜻은 실수부와 허수부의 계수가 모두 0이라는 뜻입니다. 여기서는 $3-i$의 실수부가 3이고 허수부의 계수가 -1이므로 0이 아닙니다.

5-2. 나눗셈의 핵심은 공식보다 원리다

복소수 나눗셈에서 외워야 할 핵심은 하나입니다.

분모의 켤레복소수를 곱해 분모를 실수로 만든다.

공식 자체를 기계적으로 외우는 것보다, 왜 분모가 실수가 되는지 이해하는 편이 훨씬 오래 갑니다.

원리를 한 번 식으로 정리하면

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$$

이고,

$$(c+di)(c-di)=c^2+d^2$$

이므로 결국 분모가 실수로 정리됩니다.

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6. 계산할 때 자주 하는 실수

복소수 계산은 원리가 단순한 만큼, 사소한 부호 실수가 자주 납니다.

6-1. $i^2=-1$을 $i=-1$처럼 다루는 실수

$i^2=-1$이지 $i=-1$은 아닙니다. 그래서 $-2i^2$는 $-2(-1)=2$가 되지만, $-2i$가 그냥 $2$가 되는 것은 아닙니다.

6-2. 켤레복소수에서 실수부까지 바꾸는 실수

$a+bi$의 켤레복소수는 $a-bi$입니다. $-a-bi$가 아닙니다.

6-3. 나눗셈에서 분자에는 곱하지 않는 실수

분모를 없애고 싶다고 해서 분모에만 켤레복소수를 곱하면 안 됩니다. 항상 위아래에 같은 복소수를 곱해야 원래 값이 유지됩니다.

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7. 핵심 정리

• 복소수는 계산 후 다시 $a+bi$ 꼴로 정리한다.
• 덧셈과 뺄셈은 실수부끼리, 허수부끼리 계산한다.
• 곱셈은 다항식처럼 전개한 뒤 $i^2=-1$을 적용한다.
• $a+bi$의 켤레복소수는 $a-bi$이다.
• 켤레복소수를 곱하면 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$가 되어 실수가 된다.
• 그래서 복소수의 나눗셈은 분모의 켤레복소수를 이용해 정리한다.

다음 글에서는 복소수까지 포함했을 때 이차방정식의 해가 어떻게 일반적으로 정리되는지, 그리고 근의 공식이 어떤 의미를 갖는지 살펴보겠습니다.

한 줄 결론:

켤레복소수는 복소수 나눗셈을 가능하게 만드는 장식이 아니라, 분모를 실수로 바꾸는 핵심 도구입니다.