[공통수학1 시리즈 9편] 항등식과 미정계수법: 계수비교법과 수치대입법

이번 글의 목표는 분명합니다.

항등식과 다항식의 상등의 관계를 이해하고,
그 위에서 미정계수법의 구조와 그 대표 도구인 계수비교법, 수치대입법을 익히기.

먼저 핵심 흐름을 잡고 시작합니다.

• 항등식은 모든 값에 대해 성립하는 등식이다.
• 다항식의 항등식은 결국 두 다항식이 같은 식이라는 뜻이다.
• 그래서 차를 영다항식으로 보고 식을 정리할 수 있다.
• 이렇게 미지의 계수를 문자로 두고 항등식이 성립하도록 정하는 큰 방법이 미정계수법이다.
• 그 안에서 대표적으로 쓰는 도구가 계수비교법과 수치대입법이다.

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1. 항등식과 다항식의 상등의 관계

1-1. 등식과 항등식

등식은 어떤 특정한 값에서 성립하는 식이고, 항등식은 허용되는 모든 값에서 성립하는 식입니다.

예를 들어

$$x+3=7$$

은 $x=4$일 때만 성립하는 등식이고,

$$(x+1)^2=x^2+2x+1$$

은 모든 $x$에서 성립하는 항등식입니다.

1-2. 다항식에서는 왜 특별할까?

두 다항식 $A(x),B(x)$가 모든 $x$에서 같다고 합시다.

$$A(x)=B(x)$$

그러면

$$P(x)=A(x)-B(x)$$

는 모든 $x$에서 0입니다.

즉, 모든 수 $c$에 대하여

$$P(c)=0$$

입니다. 따라서 $P(x)$는 모든 값을 근으로 갖는 셈입니다.

하지만 0이 아닌 다항식은 차수보다 많은 근을 가질 수 없으므로, 이런 일은 오직 영다항식일 때만 가능합니다.

따라서 두 다항식이 모든 값에서 같다면, 결국 같은 차수의 계수가 모두 같은 같은 다항식입니다.

1-3. 핵심 정리

다항식의 항등식은 다항식의 상등으로 이어진다.

즉,

$$A(x)=B(x)$$

가 항등식이면, $A(x)-B(x)$는 영다항식이므로 같은 차수의 계수를 비교할 수 있습니다.

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2. 미정계수법의 큰 그림

2-1. 미정계수법이란?

미정계수법은 아직 값이 정해지지 않은 계수를 문자로 두고, 항등식이 성립하도록 그 값을 정하는 방법입니다.

핵심은 이름 그대로입니다.

• 계수를 아직 정하지 않은 상태로 둔다.
• 식을 항등식 형태로 만든다.
• 그 항등식이 모든 값에서 성립하도록 미지의 계수를 결정한다.

즉, 미정계수법은 특정 한 기술의 이름이 아니라, 미지의 계수를 정하는 큰 풀이 틀입니다.

2-2. 그 안에서 쓰는 대표 도구

미정계수법 안에서는 대표적으로 두 가지 도구를 많이 씁니다.

• 같은 차수의 계수를 비교하는 계수비교법
• 식에 편리한 값을 넣어 미지수를 고립하는 수치대입법

따라서 계수비교법은 미정계수법과 나란한 별개의 큰 방법이 아니라, 미정계수법 안에서 자주 쓰는 대표 도구라고 보는 편이 정확합니다.

2-3. 먼저 항등식을 세우는 예시

다음 식에서 $A,B$를 정해 봅시다.

$$\frac{2x+3}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$$

여기서 바로 계산을 시작하기 전에 먼저 해야 할 일은, 이 식을 항등식으로 다루는 준비를 하는 것입니다.

양변에 $(x-1)(x+2)$를 곱하면

$$2x+3=A(x+2)+B(x-1)$$

를 얻습니다.

이제부터는 이 식이 모든 $x$에서 성립하는 항등식이므로, 미정계수법을 적용할 수 있습니다.

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3. 계수비교법으로 푸는 방법

3-1. 기본 원리

다항식의 항등식에서 같은 차수의 계수는 각각 서로 같습니다.

예를 들어

$$ax^2+bx+c=3x^2+2x+5$$

가 항등식이면

• $x^2$의 계수: $a=3$
• $x$의 계수: $b=2$
• 상수항: $c=5$

입니다.

이처럼 같은 차수의 계수를 비교하는 방법을 계수비교법이라고 합니다.

3-2. 미정계수법 안에서 계수비교법 적용하기

앞에서 만든 항등식

$$2x+3=A(x+2)+B(x-1)$$

을 전개하면

$$2x+3=(A+B)x+(2A-B)$$

입니다.

이제 같은 차수의 계수를 비교하면

$$\begin{cases} A+B=2 \\ 2A-B=3 \end{cases}$$

를 얻습니다.

따라서

$$A=\frac{5}{3},\quad B=\frac{1}{3}$$

입니다.

여기서 중요한 점은, 미정계수법으로 문제를 세운 다음 그 안에서 계수비교법을 사용했다는 점입니다.

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4. 수치대입법으로 푸는 방법

4-1. 같은 미정계수법, 다른 도구

같은 항등식

$$2x+3=A(x+2)+B(x-1)$$

은 모든 값에서 성립합니다. 따라서 계산이 편해지는 값을 골라 넣어도 됩니다.

이처럼 항등식에 편리한 값을 대입해 미지의 계수를 구하는 방법을 수치대입법이라고 합니다.

4-2. 위 예시를 수치대입법으로 풀기

• $x=1$ 대입: $5=3A$
• $x=-2$ 대입: $-1=-3B$

따라서

$$A=\frac{5}{3},\quad B=\frac{1}{3}$$

를 바로 얻습니다.

즉, 같은 미정계수법 문제라도

• 구조를 한눈에 보고 싶을 때는 계수비교법
• 특정 항을 바로 없앨 수 있을 때는 수치대입법

이 더 편리할 수 있습니다.

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5. 핵심 정리

개념	핵심 내용
항등식	모든 값에 대해 성립하는 등식
다항식의 항등식	두 다항식이 모든 값에서 같은 경우
미정계수법	미지의 계수를 문자로 두고 항등식이 되도록 정하는 큰 풀이 틀
계수비교법	미정계수법 안에서 같은 차수의 계수를 비교하는 방법
수치대입법	미정계수법 안에서 편리한 값을 대입해 계수를 구하는 방법

항등식 확인
   ↓
미정계수법
   ↓
계수비교법 또는 수치대입법
   ↓
미지의 계수 결정

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6. 연습 문제

아래 점검 퀴즈에서 미정계수법 안에서 계수비교법과 수치대입법이 어떻게 쓰이는지 확인해 보세요.

문제 1

다음 항등식이 성립하도록 $a,b$를 구하시오.

$$2x^2+5x+3=(x+1)(ax+b)$$

정답 보기

오른쪽을 전개하면

$$ax^2+(a+b)x+b$$

이므로 계수비교에 따라

• $a=2$
• $a+b=5$
• $b=3$

입니다.

따라서 $a=2, b=3$.

문제 2

다음 항등식이 성립하도록 $a,b,c$를 구하시오.

$$x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(ax^2+bx+c)$$

정답 보기

전개하면

$$ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c$$

이므로

$$\begin{cases} a=1 \\ a+b=2 \\ b+c=-5 \\ c=-6 \end{cases}$$

를 얻습니다.

따라서 $a=1, b=1, c=-6$.

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7. 다음 편 예고

다음 편에서는:

• 다항식을 방정식의 해와 연결하는 관점
• 인수분해가 왜 해를 읽는 핵심 도구인지
• 실수에서 인수분해가 막히는 지점이 왜 복소수로 이어지는지

를 다룹니다.

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한 줄 결론:

다항식의 항등식은 미정계수법을 가능하게 하고, 그 안에서 계수비교법과 수치대입법이 작동한다.