[공통수학1 시리즈 9편] 항등식과 계수비교법, 미정계수법

이번 글의 목표는 분명합니다.

항등식과 다항식의 상등의 관계를 이해하고,
그 위에서 계수비교법과 미정계수법을 익히기.

먼저 핵심 흐름을 잡고 시작합니다.

• 항등식은 모든 값에 대해 성립하는 등식이다.
• 다항식의 항등식에서는 결국 두 다항식이 같은 식임을 뜻한다.
• 따라서 차수를 기준으로 차를 영다항식으로 보고 계수를 비교할 수 있다.
• 이것이 계수비교법과 미정계수법의 출발점이다.

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1. 항등식과 다항식의 상등의 관계

1-1. 등식과 항등식

등식은 어떤 특정한 값에서 성립하는 식이고, 항등식은 허용되는 모든 값에서 성립하는 식입니다.

예를 들어

$$x+3=7$$

은 $x=4$일 때만 성립하는 등식이고,

$$(x+1)^2=x^2+2x+1$$

은 모든 $x$에서 성립하는 항등식입니다.

1-2. 다항식에서는 왜 특별할까?

두 다항식 $A(x),B(x)$가 모든 $x$에서 같다고 합시다.

$$A(x)=B(x)$$

그러면

$$P(x)=A(x)-B(x)$$

는 모든 $x$에서 0입니다.

이제 이전 편의 나머지정리와 인수정리를 떠올리면, 모든 수 $c$에 대하여

$$P(c)=0$$

이므로 $(x-c)$가 모두 $P(x)$의 인수가 됩니다.

이런 일은 0이 아닌 다항식에서는 일어날 수 없으므로, $P(x)$는 영다항식이어야 합니다.

따라서 두 다항식이 모든 값에서 같다면, 두 다항식은 결국 같은 다항식입니다.

1-3. 핵심 정리

다항식의 항등식은 다항식의 상등으로 이어진다.

즉,

$$A(x)=B(x)$$

가 항등식이면, $A(x)-B(x)$는 영다항식이므로 같은 차수의 계수를 서로 비교할 수 있습니다.

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2. 계수비교법

2-1. 기본 원리

다항식의 항등식에서 같은 차수의 계수는 각각 서로 같습니다.

예를 들어

$$ax^2+bx+c=3x^2+2x+5$$

가 항등식이면

• $x^2$의 계수: $a=3$
• $x$의 계수: $b=2$
• 상수항: $c=5$

입니다.

이처럼 같은 차수의 계수를 비교하는 방법을 계수비교법이라고 합니다.

2-2. 예시

다음 항등식이 성립하도록 $a,b,c$를 구하시오.

$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(ax^2+bx+c)$$

오른쪽을 전개하면

$$ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$$

이므로 계수비교에 따라

$$\begin{cases} a=1 \\ b-a=-6 \\ c-b=11 \\ -c=-6 \end{cases}$$

를 얻습니다.

따라서

$$a=1,\quad b=-5,\quad c=6$$

입니다.

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3. 미정계수법

3-1. 뜻

미정계수법은 아직 정해지지 않은 계수를 문자로 두고, 항등식이 성립하도록 그 값을 정하는 방법입니다.

즉, 미정계수법은 항등식 위에서 계수비교법을 활용하는 대표적인 방법입니다.

3-2. 부분분수 예시

다음 항등식이 성립하도록 $A,B$를 구하시오.

$$\frac{2x+3}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$$

양변에 $(x-1)(x+2)$를 곱하면

$$2x+3=A(x+2)+B(x-1)$$

이제 전개하면

$$2x+3=(A+B)x+(2A-B)$$

이므로 계수비교를 통해

$$\begin{cases} A+B=2 \\ 2A-B=3 \end{cases}$$

를 얻습니다.

따라서

$$A=\frac{5}{3},\quad B=\frac{1}{3}$$

입니다.

3-3. 특정 값 대입법과 함께 쓰기

항등식은 모든 값에서 성립하므로, 경우에 따라서는 편리한 값을 대입해 계산을 빠르게 할 수도 있습니다.

예를 들어 위 식에서

• $x=1$ 대입: $5=3A$
• $x=-2$ 대입: $-1=-3B$

로 바로 풀 수 있습니다.

하지만 원리를 가장 또렷하게 보여 주는 것은 여전히 계수비교법입니다.

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4. 핵심 정리

개념	핵심 내용
항등식	모든 값에 대해 성립하는 등식
다항식의 항등식	두 다항식이 모든 값에서 같은 경우
계수비교법	같은 차수의 계수를 비교하는 방법
미정계수법	미지의 계수를 문자로 두고 정하는 방법

항등식
   ↓
다항식의 상등
   ↓
차를 영다항식으로 보기
   ↓
계수비교
   ↓
미지의 계수 결정

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5. 연습 문제

문제 1

다음 항등식이 성립하도록 $a,b$를 구하시오.

$$2x^2+5x+3=(x+1)(ax+b)$$

정답 보기

오른쪽을 전개하면

$$ax^2+(a+b)x+b$$

이므로

• $a=2$
• $a+b=5$
• $b=3$

따라서 $a=2, b=3$.

문제 2

다음 항등식이 성립하도록 $a,b,c$를 구하시오.

$$x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(ax^2+bx+c)$$

정답 보기

전개하면

$$ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c$$

이므로

$$\begin{cases} a=1 \\ a+b=2 \\ b+c=-5 \\ c=-6 \end{cases}$$

따라서 $a=1, b=1, c=-6$.

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6. 다음 편 예고

다음 편에서는:

• 항등식 위에서 쓰는 부분분수 분해
• 더 복잡한 미정계수법 문제
• 고차방정식으로 이어지는 준비

를 다룹니다.

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한 줄 결론:

다항식의 항등식은 다항식의 상등으로 이어지고, 그 위에서 계수비교법과 미정계수법이 작동한다.