[공통수학1 시리즈 14편] 판별식과 해의 개수

앞선 글에서 근의 공식을 만들었고, 그 안에서 $b^2-4ac$가 눈에 띄는 핵심 부분이라는 것도 확인했습니다. 이번에는 바로 그 값을 중심으로, 해의 개수와 종류를 한눈에 읽는 방법을 정리하겠습니다.

판별식 $b^2-4ac$가 이차방정식의 해의 개수와 종류를 어떻게 결정하는지 이해하고, 근의 공식과 연결해 빠르게 판단하기.

오늘의 흐름은 단순합니다.

• 근의 공식에는 mathhl[$\sqrt{b^2-4ac}$]가 들어 있다.
• 따라서 mathhl[$b^2-4ac$]의 부호가 해의 모양을 결정한다.
• 이 값 mathhl[$b^2-4ac$]를 판별식이라고 한다.
• 판별식만 계산해도 이차방정식의 해를 빠르게 예측할 수 있다.

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1. 판별식은 어디서 나올까?

이차방정식

$$ax^2+bx+c=0 \qquad (a\neq0)$$

의 근의 공식은

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

였습니다.

여기서 해의 모습을 바꾸는 부분은 분모 $2a$보다

$$\sqrt{b^2-4ac}$$

입니다.

왜냐하면 제곱근 안의 값이

• 양수이면 실수 제곱근이 존재하고
• 0이면 제곱근이 0이 되고
• 음수이면 실수 제곱근은 없고 복소수 제곱근이 등장하기 때문입니다.

그래서

$$D=b^2-4ac$$

를 판별식이라고 합니다.

보통 $D$로 놓고 설명합니다. 즉, 이 글에서는 $D=b^2-4ac$라고 두고 계속 읽으면 됩니다.

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2. 판별식이 양수일 때: 서로 다른 두 실근

먼저 $D>0$인 경우를 봅시다.

판별식이 양수이면 $\sqrt{D}$는 0이 아닌 실수입니다. 그러면 근의 공식에서

$$x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}, \qquad x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$$

의 두 값이 서로 달라집니다.

따라서 서로 다른 두 실근을 가집니다.

2-1. 예제

$$x^2-5x+6=0$$

에서

$$a=1, \qquad b=-5, \qquad c=6$$

이므로

$$D=b^2-4ac=25-24=1$$

입니다.

즉, $D>0$이므로 이 방정식은 서로 다른 두 실근을 가집니다. 실제로 해를 구하면 $x=2, 3$입니다.

중요한 점은, 해를 끝까지 계산하지 않아도 해가 두 개의 서로 다른 실수라는 사실을 이미 알 수 있다는 것입니다.

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3. 판별식이 0일 때: 중근

이제 $D=0$인 경우를 봅시다.

이때는 $\sqrt{D}=0$이므로 근의 공식이

$$x=\frac{-b\pm0}{2a}=\frac{-b}{2a}$$

가 됩니다.

즉, 겉보기에는 $\pm$가 있지만 실제로는 같은 값 하나만 나옵니다. 이런 해를 중근이라고 합니다. 조금 더 엄밀하게 말하면, 중복도 2를 갖는 하나의 근입니다.

3-1. 예제

$$x^2-4x+4=0$$

에서

$$a=1, \qquad b=-4, \qquad c=4$$

이므로

$$D=b^2-4ac=16-16=0$$

입니다.

따라서 이 방정식은 중근을 가집니다. 실제로 인수분해하면

$$(x-2)^2=0$$

이므로 해는 $x=2$ 하나입니다.

다만 $(x-2)(x-2)=0$처럼 같은 인수가 두 번 나온다는 뜻에서, 같은 값 $x=2$가 두 번 반복된 경우라고 이해하면 좋습니다.

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4. 판별식이 음수일 때: 서로 켤레인 두 복소수 해

마지막으로 $D<0$인 경우입니다.

판별식이 음수이면 $\sqrt{D}$는 실수 범위에서는 정의되지 않지만, 복소수 범위에서는 해를 계속 구할 수 있습니다.

즉, 실수 범위에서는 실근이 없지만, 복소수 범위로 넓히면 해를 찾을 수 있습니다.

이때 근의 공식은

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$

형태를 유지한 채, $\sqrt{D}$ 부분이 허수를 포함하게 됩니다.

그래서 결과는 서로 켤레인 두 복소수 해가 됩니다.

4-1. 예제

$$x^2-4x+5=0$$

에서

$$a=1, \qquad b=-4, \qquad c=5$$

이므로

$$D=b^2-4ac=16-20=-4$$

입니다.

즉, $D<0$이므로 실근은 없고 복소수 해를 가집니다.

여기서

$$\sqrt{-4}=\sqrt{4\cdot(-1)}=2\sqrt{-1}=2i$$

이므로

$$x=\frac{4\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{4\pm2i}{2}=2\pm i$$

이므로 두 해는 $2+i$, $2-i$입니다.

근의 공식의 $\pm$ 때문에 실수부는 같고 허수부의 부호만 반대가 되므로, 두 해는 자동으로 서로 켤레복소수 관계가 됩니다.

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5. 판별식으로 무엇을 바로 알 수 있을까?

판별식의 가장 큰 장점은 계산을 끝까지 하지 않아도 해의 개수와 종류를 먼저 판단할 수 있다는 점입니다.

그래프 관점으로 보면, 이것은 이차함수의 그래프가 $x$축을 두 번 만나는지, 한 번 스치는지, 만나지 않는지를 먼저 알려 주는 정보이기도 합니다.

정리하면 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{c|c} \text{판별식 } D & \text{해의 종류} \\ \hline D>0 & \text{서로 다른 두 실근} \\ D=0 & \text{중근} \\ D<0 & \text{서로 켤레인 두 복소수 해} \end{array}$$

이 표는 단순 암기용이 아니라, 근의 공식의 구조를 압축한 결과입니다.

아래 좌표평면에서 세 경우를 순서대로 넘겨 보면, 판별식의 부호가 바뀔 때 그래프와 해의 모습이 함께 어떻게 달라지는지 더 빠르게 연결할 수 있습니다.

5-1. 왜 "판별"이라는 말을 쓸까?

이 값 하나가

• 해가 실수인지 복소수인지
• 실수라면 서로 다른 두 개인지 하나인지

를 구별해 주기 때문입니다.

즉, 판별식은 해를 직접 구해 주는 공식은 아니지만, 해의 성격을 먼저 판정해 주는 도구입니다.

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6. 계산할 때 자주 하는 실수

판별식은 짧아서 오히려 방심하기 쉽습니다.

6-1. $b^2$를 $-b^2$처럼 계산하는 실수

$b=-3$이면

$$b^2=(-3)^2=9$$

입니다. $-9$가 아닙니다.

6-2. $4ac$ 전체를 빼지 않는 실수

$b^2-4ac$에서 빼는 것은 $4ac$ 전체입니다.

예를 들어 $a=2, c=5$이면

$$4ac=4\cdot2\cdot5=40$$

이지, $8+5$처럼 계산하면 안 됩니다.

6-3. $D<0$이면 "해가 없다"고 끝내는 실수

정확한 말은 실근이 없다입니다. 복소수 범위에서는 해가 있을 수 있습니다.

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7. 핵심 정리

• 판별식은 $D=b^2-4ac$이다.
• $D>0$이면 서로 다른 두 실근을 가진다.
• $D=0$이면 중근을 가진다.
• $D<0$이면 실근은 없고, 서로 켤레인 두 복소수 해를 가진다.
• 판별식은 해를 직접 구하기보다, 해의 개수와 종류를 먼저 판정하는 도구이다.

다음 글에서는 이차방정식의 해와 이차함수의 그래프가 어떻게 연결되는지, 특히 그래프가 $x$축과 몇 번 만나는지가 판별식과 어떻게 이어지는지 살펴보겠습니다.

한 줄 결론:

판별식은 계산을 줄이는 요령이 아니라, 근의 공식 속에서 해의 개수와 종류를 먼저 읽게 해 주는 핵심 신호입니다.