[공통수학1 시리즈 4편] 다항식의 곱셈과 분배·교환·결합법칙

이번 글의 목표는

다항식의 곱셈을 정확히 이해하고, 교환법칙·결합법칙·분배법칙이 왜 성립하는지 한 번에 이해하기.

• 다항식의 핵심은 항끼리 곱한 뒤, 같은 차수끼리 정리하는 것
• 배열(합성곱) 관점은 이 과정을 쉽게 보여주는 도구

1. 다항식 곱셈의 기본 정의

두 다항식을 곱할 때는 항상 같은 규칙을 씁니다.

1. 한쪽의 각 항을 다른 쪽의 모든 항과 곱한다.
2. 마지막에 같은 차수끼리 더한다.

예시:

$$(2x^2+3x+1)(x+4)$$

	$x$	$4$
$2x^2$	$2x^3$	$8x^2$
$3x$	$3x^2$	$12x$
$1$	$x$	$4$

같은 차수끼리 정리하면

$$2x^3+11x^2+13x+4$$

이 됩니다.

2. 왜 세로셈(3자리×2자리)과 같은가?

수의 곱셈 $231\times14$를 생각해 보면,

• $231\times4$를 쓰고
• $231\times10$을 자리 맞춰 이동해서 쓰고
• 같은 자리끼리 더합니다.

다항식도 구조가 같습니다.

• $(2x^2+3x+1)\times4$
• $(2x^2+3x+1)\times x$ (차수가 1 올라가므로 한 칸 이동과 같은 효과)
• 같은 차수끼리 더함

즉,

• 수의 곱셈: 같은 자리값끼리 합침
• 다항식 곱셈: 같은 차수끼리 합침

3. 배열로 옮겨 보면 (합성곱)

다항식을 계수 배열로 바꿔 봅시다.

• $2x^2+3x+1 \rightarrow [2,3,1]$
• $x+4 \rightarrow [1,4]$

이제 곱셈 과정을 배열로 쓰면:

• $[2,3,1]\times4=[8,12,4]$
• $[2,3,1]\times x=[2,3,1,0]$ (한 칸 이동)
• 같은 위치끼리 더하면 $[2,11,13,4]$

여기서 합성곱을 도장 비유로 보면 훨씬 직관적입니다.

• 원본 도장: $P=[2,3,1]$
• $Q$의 각 계수는 "원본 도장 $P$를 몇 배로 만들지"를 정함
• $Q$의 항 차수는 "도장을 오른쪽으로 몇 칸 이동해 찍을지"를 결정

즉, $Q$의 한 항을 볼 때마다

1. $P$의 각 계수에 $Q$의 현재 항 계수를 곱해 부분곱 도장을 만들고
2. 그 항의 차수만큼 옆으로 밀어 찍고
3. 이미 찍힌 자국과 겹치는 칸은 더해 누적합니다.

그래서 1변수에서도 합성곱은

"부분곱 도장을 차수만큼 옮겨가며 겹쳐 찍고, 겹친 칸의 값을 더하는 과정"

으로 이해할 수 있습니다. 아래 퀴즈의 Phase 2(부분곱 입력)가 바로 이 과정을 그대로 구현한 단계입니다.

이 방식이 바로 합성곱(컨볼루션)입니다.

중요 포인트:

• 다항식 개념이 바뀌는 것이 아님
• "같은 차수끼리 정리"를 배열에서는 "같은 칸끼리 더하기"로 본 것

아래 "다항식의 곱 시각화"에서 단계별로 확인해 보세요.

4. 결과의 i번째 칸으로 보면 법칙이 보인다

배열

• $P=[p_0,p_1,p_2,\dots]$
• $Q=[q_0,q_1,q_2,\dots]$

의 합성곱 결과를 $R=P*Q=[r_0,r_1,r_2,\dots]$라고 하면:

• $r_0=p_0q_0$
• $r_1=p_0q_1+p_1q_0$
• $r_2=p_0q_2+p_1q_1+p_2q_0$
• $r_3=p_0q_3+p_1q_2+p_2q_1+p_3q_0$

즉, $r_i$는 인덱스 합이 $i$인 곱들을 전부 더한 값입니다.

먼저 실제 다항식 예시를 하나 보겠습니다.

$$P(x)=2x^2+3x+1,\quad Q(x)=x+4$$

배열로 바꾸면

• $P=[2,3,1]$
• $Q=[1,4]$

이고 결과는

$$R=[2,11,13,4]$$

입니다. 여기서 가운데 값 $11$은 $r_1$이고,

인덱스 합이 1이 되는 쌍만 모아서 계산합니다.

• $(0,1)$: $p_0q_1=2\cdot4=8$
• $(1,0)$: $p_1q_0=3\cdot1=3$

왜 이 둘만 쓰는가?

• 규칙이 "행 인덱스 + 열 인덱스 = 결과 인덱스"이기 때문입니다.
• 지금은 결과 인덱스가 1이므로 가능한 쌍은 $(0,1),(1,0)$뿐입니다.

따라서

$$r_1=2\cdot4+3\cdot1$$

가 되고, $r_1=11$입니다.

다항식으로 연결하면,

• $p_0=2$는 $2x^2$, $q_1=4$는 상수 $4$
• $p_1=3$는 $3x$, $q_0=1$는 $x$

이라서 둘 다 $x^2$항을 만들고,

$$8x^2+3x^2=11x^2$$

로 정리됩니다.

이제 이 i번째 요소 구성으로 세 법칙을 봅시다.

4-1, 4-2, 4-3 자세히 보기 (교환·결합·분배)

4-1. 교환법칙

$$P*Q=Q*P$$

$(P*Q)$의 i번째 요소를

$$r_i=p_0q_i+p_1q_{i-1}+\cdots+p_iq_0$$

라고 쓰면, $(Q*P)$의 i번째 요소는

$$r'_i=q_0p_i+q_1p_{i-1}+\cdots+q_ip_0$$

입니다. 각 항은 같은 곱의 순서만 바뀐 것이므로 $r_i=r'_i$. 즉, 교환법칙이 성립합니다.

예를 들어 $i=2$이면

$$r_2=p_0q_2+p_1q_1+p_2q_0, \quad r'_2=q_0p_2+q_1p_1+q_2p_0$$

이고, 각 항이 짝을 이루어 완전히 같습니다. 즉, i번째 요소를 하나씩 비교하면 모든 칸이 같아집니다.

4-2. 결합법칙

$$(P*Q)*T=P*(Q*T)$$

i번째 요소만 보면,

• $((P*Q)*T)_i$도
• $(P*(Q*T))_i$도

결국 인덱스 합이 i인 $p_aq_bt_c$ 항들을 모두 더한 값입니다.

중간에 먼저 계산하는 괄호만 다르고, 최종적으로 i번째 요소에 모이는 항의 집합이 같으므로 결합법칙이 성립합니다.

직관적으로는,

• 왼쪽은 먼저 $P,Q$를 섞어 부분합을 만든 뒤 $T$를 합치고
• 오른쪽은 먼저 $Q,T$를 섞어 부분합을 만든 뒤 $P$를 합칩니다.

하지만 i번째 칸 입장에서는 결국 같은 원소 3개를 뽑아 만든 곱들만 모입니다. 그래서 괄호 순서가 달라도 결과가 같습니다.

4-3. 분배법칙

$$P*(Q+T)=P*Q+P*T$$

i번째 요소에서 보면

• 왼쪽: $p_0(q_i+t_i)+p_1(q_{i-1}+t_{i-1})+\cdots$
• 항별 분배 후: $(P*Q)$의 i번째 요소 + $(P*T)$의 i번째 요소

이므로 분배법칙이 성립합니다.

예를 들어 $i=1$이면

$$\begin{aligned} \bigl(P*(Q+T)\bigr)_1 &=p_0(q_1+t_1)+p_1(q_0+t_0)\\ &=(p_0q_1+p_1q_0)+(p_0t_1+p_1t_0)\\ &=(P*Q)_1+(P*T)_1 \end{aligned}$$

처럼 i번째 요소에서 바로 확인됩니다.

5. 1변수 곱셈 연습 퀴즈

아래 퀴즈는 2장/3장과 같은 방식으로,

• 문제를 보고
• 내림차순 계수 배열을 입력하고
• 부분곱 과정을 확인

할 수 있도록 만든 실습 요소입니다.

6. 2변수 다항식으로 확장

핵심은 1변수와 같습니다.

• 1변수: 계수 1차원 배열
• 2변수: 계수 2차원 배열(행렬)
• 연산 규칙: 계수는 곱하고, 지수(행/열 위치)는 더해서 누적

즉, 2변수도 "배열로 계산"할 수 있습니다.

6-1. 행렬(2차원 배열)로 곱셈 예시

예시: $P(x,y)=x+y$, $Q(x,y)=x-y$

결과 행렬 $R$는 0으로 시작해서, 아래 누적 연산으로 만듭니다.

$$R[r+u,\;c+v] \mathrel{+}= Q[r,c]\cdot P[u,v]$$

즉, Q에서 0이 아닌 값이 있는 요소마다 P 도장을 만들고, 위치만큼 이동해 겹쳐 찍으며 더하는 방식입니다.

한 줄로 말하면,

Q의 계수로 P를 곱해 도장을 만든 뒤, 겹쳐 찍듯이 누적해서 더하는 것이 2차원 합성곱입니다.

이 예시의 최종 결과는

$$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$$

입니다. (겹치는 $xy$ 항은 0으로 상쇄)

아래 시각화에서 직접 식을 입력하면, 도장 생성 -> 겹치기 -> 누적 덧셈이 한 화면에서 순차적으로 진행됩니다.

7. 핵심 정리

• 다항식 곱셈의 본질: 항끼리 곱하고, 같은 차수끼리 더하기
• 세로셈과 같은 구조를 가지므로 과정이 직관적임
• 배열(합성곱) 관점은 원리를 쉽게 보이게 하는 설명 도구임
• 결과의 i번째 칸 관점으로 보면 교환·결합·분배법칙 이유를 한 번에 이해할 수 있음

한 줄 결론:

다항식의 곱셈은 복잡한 새 규칙이 아니라, "분배 + 같은 차수 정리"를 체계적으로 수행하는 과정이다.