[공통수학1 시리즈 13편] 이차방정식의 해와 근의 공식

앞선 글에서는 복소수를 도입하고, 복소수의 연산까지 정리했습니다. 이제 다시 이차방정식으로 돌아와, 해를 일반적인 형태로 정리할 차례입니다.

인수분해로 바로 풀리지 않는 이차방정식도 해결할 수 있도록, 완전제곱식을 이용해 근의 공식을 만들고 그 의미를 이해하기.

먼저 오늘의 흐름을 잡고 시작하겠습니다.

• 쉬운 이차방정식은 인수분해로 풀 수 있다.
• 하지만 모든 이차방정식이 예쁘게 인수분해되는 것은 아니다.
• 그래서 어떤 식에도 적용되는 공통된 해법이 필요하다.
• 그 해법을 완전제곱식으로 정리한 결과가 바로 근의 공식이다.

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1. 왜 근의 공식이 필요할까?

예를 들어

$$x^2-5x+6=0$$

은

$$(x-2)(x-3)=0$$

으로 인수분해되므로 해가 $x=2, 3$임을 바로 알 수 있습니다.

그런데 다음 식은 어떨까요?

$$2x^2-3x+1=0$$

은 아직 어떻게든 인수분해할 수 있지만,

$$2x^2-3x+7=0$$

처럼 나오면 눈으로 인수분해하기가 쉽지 않습니다.

이때 필요한 질문은 하나입니다.

인수분해가 바로 보이지 않아도, 이차방정식의 해를 항상 구할 수 있을까?

근의 공식은 이 질문에 대한 답입니다.

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2. 출발은 일반형이다

이차방정식의 일반형은

$$ax^2+bx+c=0 \qquad (a\neq 0)$$

입니다.

여기서 $a\neq 0$인 이유는 $a=0$이면 $x^2$항이 사라져서 더 이상 이차방정식이 아니기 때문입니다. 또한 이 글에서는 실수와 복소수 범위에서 식을 다룬다고 생각하면 됩니다.

이제 목표는 분명합니다.

$ax^2+bx+c=0$의 해를 $a, b, c$로 나타내기

이 목표를 이루는 핵심 방법이 완전제곱식 만들기입니다.

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3. 완전제곱식으로 근의 공식을 만든다

다음 식에서 시작합니다.

$$ax^2+bx+c=0$$

먼저 $a\neq 0$이므로 양변을 $a$로 나눕니다.

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

상수항을 오른쪽으로 넘기면

$$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

입니다.

이제 왼쪽을 완전제곱식으로 만들고 싶습니다.

3-1. 무엇을 더해야 완전제곱식이 될까?

보통

$$x^2+px$$

를 완전제곱식으로 만들려면

$$\left(\frac{p}{2}\right)^2$$

를 더합니다.

왜냐하면

$$\left(x+\frac{p}{2}\right)^2 =x^2+2\cdot x\cdot\frac{p}{2}+\left(\frac{p}{2}\right)^2 =x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2$$

이기 때문입니다.

여기서는 $p=\frac{b}{a}$이므로 양변에

$$\left(\frac{b}{2a}\right)^2$$

를 더합니다.

$$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2$$

왼쪽은

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

가 됩니다.

오른쪽은 먼저

$$-\frac{c}{a}=-\frac{4ac}{4a^2}$$

로 고칠 수 있습니다.

따라서 통분하면

$$\frac{-4ac+b^2}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

이므로,

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

를 얻습니다.

3-2. 제곱근을 취해 해를 구한다

양변에 제곱근을 취하면, 같은 제곱값을 만드는 수가 두 개 있을 수 있으므로 $\pm$가 함께 붙습니다. 즉,

$$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

입니다.

이제 $\frac{b}{2a}$를 오른쪽으로 넘기면

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

가 됩니다.

이것이 바로 근의 공식입니다.

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4. 근의 공식은 무엇을 말해 줄까?

근의 공식

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

은 이차방정식의 해를 한 번에 보여 줍니다.

특히 눈에 들어와야 할 부분은

$$b^2-4ac$$

입니다.

이 값을 판별식이라고 합니다.

이 값이 양수인지, 0인지, 음수인지에 따라 해의 모습이 달라집니다. 아주 짧게만 말하면,

• 판별식이 양수이면 서로 다른 두 실근
• 판별식이 0이면 중근
• 판별식이 음수이면 서로 켤레인 두 복소수 해

를 갖습니다.

다만 이 부분은 다음 글에서 더 자세히 다루겠습니다.

지금은 근의 공식이 두 가지 중요한 사실을 알려 준다고 보면 충분합니다.

• 이차방정식의 해는 $a, b, c$로 일반적으로 표현할 수 있다.
• 실수에서 안 풀리는 경우도 $\sqrt{b^2-4ac}$를 통해 복소수까지 확장해 해를 볼 수 있다.

예를 들어 $x^2-4x+5=0$에서는 판별식이 음수가 되어, 실근이 아니라 $2\pm i$ 같은 복소수 해가 나옵니다.

이 지점을 손으로만 따라가기보다, 계수를 직접 바꿔 보면서 판별식과 근이 어떻게 함께 움직이는지 확인해 보면 훨씬 잘 들어옵니다. 특히 판별식이 양수, 0, 음수로 바뀔 때 해의 모습이 어떻게 달라지는지 집중해서 보세요.

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5. 예제로 보면 공식의 의미가 분명해진다

5-1. 인수분해가 되는 경우도 공식으로 풀 수 있다

다음 방정식을 봅시다.

$$x^2-5x+6=0$$

여기서

$$a=1, \qquad b=-5, \qquad c=6$$

입니다.

근의 공식에 대입하면

$$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}$$

즉,

$$x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2} =\frac{5\pm1}{2}$$

이므로

$$x=3, \qquad x=2$$

를 얻습니다.

이미 인수분해로 풀 수 있는 문제라도, 근의 공식은 같은 답을 줍니다. 즉, 근의 공식은 특별한 경우에만 쓰는 요령이 아니라 전체를 덮는 일반 해법입니다.

5-2. 복소수 해가 나오는 경우

이제 다음 식을 봅시다.

$$x^2-4x+5=0$$

여기서

$$a=1, \qquad b=-4, \qquad c=5$$

이므로

$$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}$$

입니다.

정리하면

$$x=\frac{4\pm\sqrt{16-20}}{2} =\frac{4\pm\sqrt{-4}}{2}$$

입니다.

복소수 범위에서

$$\sqrt{-4}=\sqrt{4\cdot(-1)}=2\sqrt{-1}=2i$$

이므로

$$x=\frac{4\pm2i}{2}=2\pm i$$

를 얻습니다.

즉, 근의 공식은 실근이 있을 때만 쓰는 공식이 아닙니다. 복소수 해까지 포함해 이차방정식의 해 전체를 정리하는 공식입니다.

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6. 계산할 때 자주 하는 실수

근의 공식은 강력하지만, 대입 과정에서 실수가 자주 납니다.

6-1. $b$의 부호를 잘못 넣는 실수

공식은 $-b$이므로, $b=-5$이면 $-b=5$입니다. 여기서 부호를 한 번 더 틀리면 답이 바로 달라집니다.

6-2. $b^2$를 잘못 계산하는 실수

$b=-4$여도 $b^2=(-4)^2=16$입니다. $-4^2$처럼 처리하면 안 됩니다.

6-3. 분모 $2a$를 전체에 나누지 않는 실수

분모 $2a$는 $-b$와 $\sqrt{b^2-4ac}$ 전체에 함께 걸립니다.

예를 들어

$$\frac{4\pm2i}{2}$$

를 $4\pm i$처럼 쓰면 안 됩니다. 정확한 계산은 $2\pm i$입니다.

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7. 핵심 정리

• 이차방정식의 일반형은 $ax^2+bx+c=0 \,(a\neq0)$이다.
• 인수분해가 바로 보이지 않을 때는 완전제곱식으로 일반 해법을 만든다.
• 그 결과 얻는 공식이 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$이다.
• 근의 공식은 인수분해되는 경우와 복소수 해가 나오는 경우를 모두 포함한다.
• 공식에서 특히 중요한 부분은 $b^2-4ac$이며, 이 값이 해의 모습을 좌우한다.

다음 글에서는 $b^2-4ac$가 정확히 무엇을 말해 주는지, 즉 판별식이 해의 개수와 종류를 어떻게 정리하는지 살펴보겠습니다.

한 줄 결론:

근의 공식은 인수분해가 안 보일 때 쓰는 임시 공식이 아니라, 모든 이차방정식의 해를 한 번에 정리하는 일반 해법입니다.