[공통수학1 시리즈 16편] 이차부등식의 해석과 풀이

앞선 글들에서는 이차방정식의 해, 판별식, 그래프, 그리고 여러 가지 이차방정식의 형태를 정리했습니다. 이제는 식의 값이 0이 되는 점만 찾는 것이 아니라, 0보다 큰지 작은지를 함께 봐야 합니다.

이차부등식을 이차방정식과 그래프의 관점에서 해석하고, 근과 부호 변화를 이용해 해집합을 구하기.

먼저 오늘의 흐름을 잡고 시작하겠습니다.

• 이차방정식은 식의 값이 0이 되는 점을 찾는 문제였다.
• 이차부등식은 식의 값이 양수인지 음수인 구간을 찾는 문제다.
• 그래서 근을 구한 뒤 끝나는 것이 아니라, 근을 기준으로 부호가 어떻게 바뀌는지를 봐야 한다.
• 그래프를 함께 보면 왜 그런 해집합이 나오는지가 훨씬 또렷해진다.

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1. 이차부등식은 무엇을 묻는 문제일까?

예를 들어

$$x^2-5x+6=0$$

은 식의 값이 0이 되는 $x$를 찾는 문제입니다.

반면

$$x^2-5x+6>0$$

은 식의 값이 0보다 큰 $x$의 범위를 찾는 문제입니다.

즉,

• 방정식은 점을 찾고
• 부등식은 구간을 찾습니다.

바로 이 점이 가장 큰 차이입니다.

그래서 이차부등식에서는 먼저 대응하는 이차방정식

$$x^2-5x+6=0$$

의 해를 구한 다음, 그 점들을 기준으로 부호를 조사하는 방식으로 풉니다.

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2. 왜 근을 먼저 구할까?

이차식의 부호는 대체로 아무 데서나 갑자기 바뀌지 않습니다. 부호가 바뀌는 중요한 경계는 식의 값이 0이 되는 지점, 즉 근입니다.

예를 들어

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

이므로 근은 $x=2, 3$입니다.

그러면 수직선은 자연스럽게 세 구간으로 나뉩니다.

• $x<2$
• $2<x<3$
• $x>3$

이제 각 구간에서 식의 부호만 확인하면 됩니다.

2-1. 한 구간 안에서는 왜 부호가 같을까?

근을 지나지 않는 한, 식의 값은 0을 통과하지 않습니다. 따라서 한 구간 안에서는 양수였다가 갑자기 음수가 될 수 없습니다.

그래프 관점으로 보면 다항식의 그래프는 끊기지 않고 이어지므로, $x$축을 지나지 않았는데 부호만 갑자기 바뀌는 일은 없습니다.

즉, 근이 구간을 나누는 경계점 역할을 합니다.

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3. 인수분해가 될 때는 부호표로 빠르게 푼다

다음 부등식을 봅시다.

$$x^2-5x+6>0$$

인수분해하면

$$(x-2)(x-3)>0$$

입니다.

이제 각 인수의 부호를 보면 됩니다.

3-1. 구간별로 부호를 확인해 보자

처음에는 각 구간에서 시험값 하나를 넣어 보는 방식으로 접근해도 좋습니다.

예를 들어

• $x<2$ 구간에서는 $x=0$
• $2<x<3$ 구간에서는 $x=2.5$
• $x>3$ 구간에서는 $x=4$

처럼 대표값을 하나씩 잡아 볼 수 있습니다.

실제로 $x=0$을 넣으면

$$(0-2)(0-3)=(-)(-)=(+)$$

가 됩니다.

이제 각 구간을 정리하면

• $x<2$이면 $x-2<0$, $x-3<0$이므로 곱은 양수
• $2<x<3$이면 $x-2>0$, $x-3<0$이므로 곱은 음수
• $x>3$이면 두 인수가 모두 양수이므로 곱은 양수

따라서 해는

$$x<2 \qquad \text{또는} \qquad x>3$$

입니다.

3-2. 같음이 포함되면 끝점도 달라진다

만약 부등식이

$$x^2-5x+6\ge 0$$

이라면, 식의 값이 0인 점도 포함해야 합니다.

왜냐하면 근에서는 식의 값이 정확히 0이 되고, $0\ge0$은 참이기 때문입니다.

따라서 해는

$$x\le2 \qquad \text{또는} \qquad x\ge3$$

입니다.

즉,

• $>$, $<$이면 근을 포함하지 않고
• $\ge$, $\le$이면 근을 포함합니다.

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4. 그래프로 보면 왜 바깥쪽이 해인지 보인다

같은 식을 함수로 보면

$$y=x^2-5x+6$$

입니다.

이 그래프는 $x=2, 3$에서 $x$축과 만나고, 위로 열린 포물선입니다.

그러면

• $x<2$와 $x>3$에서는 그래프가 $x$축 위에 있고
• $2<x<3$에서는 그래프가 $x$축 아래에 있습니다.

그래서

$$x^2-5x+6>0$$

의 해가 바깥쪽 두 구간이 되는 것입니다.

즉, 이차부등식은 결국

그래프가 $x$축 위에 있는지, 아래에 있는지를 읽는 문제

라고 볼 수 있습니다.

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5. 아래로 열린 포물선이면 부호가 반대로 나타날 수 있다

이번에는 다음 부등식을 보겠습니다.

$$-x^2+5x-6>0$$

정리하면

$$-(x^2-5x+6)>0$$

즉,

$$-(x-2)(x-3)>0$$

입니다.

앞의 예와 근은 같지만, 앞에 음수가 붙어 있으므로 전체 부호가 뒤집힙니다.

이것을 부등식 계산으로 보면, 양변에 $-1$을 곱할 때 부등호 방향이 바뀌어

$$x^2-5x+6<0$$

으로 생각할 수도 있습니다.

따라서 해는

$$2<x<3$$

입니다.

5-1. 그래프로 보면 더 간단하다

함수

$$y=-x^2+5x-6$$

는 아래로 열린 포물선입니다.

그래프는 $x=2$와 $x=3$에서 $x$축과 만나고, 그 사이에서는 $x$축 위에 있습니다. 그래서

$$-x^2+5x-6>0$$

의 해는 가운데 구간만 남습니다.

즉, 포물선이 위로 열리는지 아래로 열리는지는 해집합 모양을 읽는 데 매우 중요합니다.

아래 부호표 탐색기에서 부등호를 바꾸어 보면, 같은 근을 가져도 어떤 구간이 선택되는지가 어떻게 달라지는지 직접 확인할 수 있습니다.

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6. 근이 하나이거나 없을 때는 어떻게 될까?

판별식과 그래프를 함께 생각하면 이 경우도 정리할 수 있습니다.

6-1. 중근인 경우

예를 들어

$$x^2-4x+4<0$$

을 봅시다.

이 식은

$$(x-2)^2<0$$

입니다.

그런데 제곱은 항상 0 이상이므로 0보다 작아질 수 없습니다. 따라서 해는 없습니다.

반대로

$$(x-2)^2\ge0$$

은 모든 실수 $x$에서 성립합니다.

그리고

$$(x-2)^2\le0$$

이라면 제곱이 0이 되는 경우만 가능하므로 해는

$$x=2$$

하나입니다.

즉, 중근인 경우에는 그래프가 $x$축에 한 번 스치기만 하므로, 위아래 어느 쪽에 놓이는지가 더욱 분명하게 드러납니다.

6-2. 실근이 없는 경우

예를 들어

$$x^2+1<0$$

은 어떨까요?

이 식은 모든 실수 $x$에 대해 $x^2+1>0$이므로 성립하지 않습니다. 따라서 해는 없습니다.

반대로

$$x^2+1>0$$

은 모든 실수에서 성립합니다.

여기서 최고차항의 계수가 양수이므로 그래프가 위로 열리고, 실근도 없어서 그래프 전체가 $x$축 위쪽에 있습니다.

반대로

$$-x^2-1>0$$

은 어떨까요?

이 식은 모든 실수 $x$에 대해 $-x^2-1<0$이므로 성립하지 않습니다. 즉, 실근이 없더라도 최고차항의 계수 부호에 따라 식 전체의 부호는 달라질 수 있습니다.

즉, 실근이 없으면 포물선이 $x$축과 만나지 않으므로, 그래프 전체가 축의 한쪽에 있다는 뜻입니다.

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7. 이차부등식 풀이의 기본 절차

지금까지의 내용을 절차로 정리하면 다음과 같습니다.

1. 대응하는 이차방정식의 근을 구한다.
2. 근을 기준으로 수직선을 구간으로 나눈다.
3. 각 구간에서 식의 부호를 판단한다.
4. 부등호가 원하는 부호의 구간을 고른다.
5. $\ge$, $\le$인지 확인해 끝점을 포함할지 결정한다.

이 절차를 머릿속에 두면 문제의 겉모양이 조금 바뀌어도 흔들리지 않습니다.

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8. 계산할 때 자주 하는 실수

8-1. 방정식처럼 근만 쓰고 끝내는 실수

이차부등식은 해 하나를 찾는 문제가 아니라 구간을 찾는 문제입니다. 그래서 $x=2, 3$만 적고 끝내면 안 됩니다.

8-2. 부등호에 등호가 있는지 놓치는 실수

$>$와 $\ge$는 해집합이 다릅니다. 근을 포함하는지 꼭 확인해야 합니다.

8-3. 앞의 음수 때문에 부호가 뒤집히는 것을 놓치는 실수

예를 들어

$$-(x-2)(x-3)>0$$

에서는 앞의 음수까지 포함해 전체 부호를 판단해야 합니다.

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9. 핵심 정리

• 이차방정식은 점을 찾고, 이차부등식은 구간을 찾는다.
• 이차부등식은 먼저 대응하는 이차방정식의 근을 구한 뒤 부호를 조사해 푼다.
• 그래프 관점에서는 이차식이 $x$축 위에 있는지 아래에 있는지를 읽는 문제이다.
• 위로 열린 포물선과 아래로 열린 포물선은 해집합의 위치가 다를 수 있다.
• $>$, $<$와 $\ge$, $\le$는 끝점 포함 여부가 다르다.

다음 글에서는 이차부등식을 바탕으로, 조금 더 다양한 형태의 여러 가지 부등식을 어떻게 다루는지 살펴보겠습니다.

한 줄 결론:

이차부등식은 근만 찾는 문제가 아니라, 근을 경계로 식의 부호가 어떤 구간에서 유지되는지 읽는 문제입니다.