[공통수학1 시리즈 17편] 여러 가지 부등식

앞선 글에서는 이차부등식을 근과 그래프의 관점에서 정리했습니다. 이번에는 그 생각을 조금 더 넓혀서, 겉모양은 달라도 결국 부호를 읽는 문제로 귀착되는 여러 부등식을 다뤄 보겠습니다.

곱의 부등식과 분수부등식처럼 여러 형태의 부등식을 부호표로 해석하고, 특히 분모가 0이 되는 점을 어떻게 처리해야 하는지 이해하기.

먼저 오늘의 흐름을 잡고 시작하겠습니다.

• 여러 가지 부등식도 결국 식의 값이 양수인지 음수인지 묻는 문제다.
• 그래서 중요한 점은 값이 0이 되는 점, 그리고 식이 정의되지 않는 점이다.
• 이 점들을 경계로 수직선을 나누고 부호를 읽으면 해집합이 보인다.
• 특히 분수부등식에서는 분모가 0인 점은 절대 해가 될 수 없다는 점을 놓치면 안 된다.

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1. "여러 가지 부등식"도 결국 무엇을 보는가?

예를 들어

$$(x-1)(x+2)>0$$

이나

$$\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}>0$$

은 겉으로 보면 다르게 생겼습니다.

하지만 두 문제 모두 결국은 같은 질문을 던집니다.

이 식의 값이 어느 구간에서 양수인가?

따라서 핵심은 계산을 복잡하게 시작하는 것이 아니라,

• 값이 0이 되는 점
• 식이 정의되지 않는 점

을 먼저 찾는 것입니다.

이 점들이 부호가 바뀔 수 있는 경계가 됩니다.

여기서 "정의되지 않는 점"은 주로 분수식에서 나옵니다. 분모가 0이 되면 값을 계산할 수 없으므로, 그런 점에서는 식이 정의되지 않는다고 말합니다.

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2. 곱의 부등식은 인수의 부호를 읽는다

먼저 가장 기본적인 형태부터 봅시다.

$$(x-1)(x+2)>0$$

이 식의 값이 0이 되는 점은

$$x=1, \qquad x=-2$$

입니다.

따라서 수직선은 세 구간으로 나뉩니다.

• $x<-2$
• $-2<x<1$
• $x>1$

2-1. 구간별 부호를 확인해 보자

각 구간에서 시험값 하나를 넣어 보면 됩니다.

• $x=-3$이면 $(-4)(-1)>0$
• $x=0$이면 $(-1)(2)<0$
• $x=2$이면 $(1)(4)>0$

따라서 해는

$$x<-2 \qquad \text{또는} \qquad x>1$$

입니다.

2-2. 곱의 부등식은 왜 이렇게 풀까?

곱의 부호는 각 인수의 부호로 결정됩니다.

• 양수 × 양수 = 양수
• 음수 × 음수 = 양수
• 양수 × 음수 = 음수

즉, 곱의 부등식은 결국 인수들의 부호 조합을 읽는 문제입니다.

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3. 같음이 포함되면 0이 되는 점도 볼 수 있다

이번에는

$$(x-1)(x+2)\le0$$

을 봅시다.

앞에서 이미 부호를 조사했으므로,

• $-2<x<1$에서는 음수
• $x=-2, 1$에서는 0

입니다.

따라서 해는

$$-2\le x\le 1$$

입니다.

여기서 중요한 점은,

• $<$, $>$이면 0이 되는 점을 포함하지 않고
• $\le$, $\ge$이면 0이 되는 점을 포함한다

는 것입니다.

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4. 분수부등식은 한 가지를 더 봐야 한다

이제 다음 부등식을 봅시다.

$$\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}>0$$

이 식은 앞의 곱의 부등식과 거의 같은 방식으로 풀 수 있습니다. 다만 이번에는 분모가 새로 생겼다는 점이 중요합니다.

즉, 부호를 읽는 방법은 그대로 쓰되, 분모가 0이 되는 점을 추가로 확인해야 합니다.

바로 분모가 0이 되는 점입니다.

이 식에서

• 분자는 $x=1, -2$에서 0이 되고
• 분모는 $x=3$에서 0이 됩니다.

따라서 수직선은 네 구간으로 나뉩니다.

• $x<-2$
• $-2<x<1$
• $1<x<3$
• $x>3$

4-1. 왜 $x=3$을 꼭 따로 표시해야 할까?

$x=3$에서는 분모가 0이 되므로 식 자체가 정의되지 않습니다.

즉,

$$\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}$$

은 $x=3$에서 값을 가질 수 없습니다.

그래서 $x=3$은 부호가 바뀔 수 있는 경계점이면서도, 절대 해집합에 포함될 수 없는 점입니다.

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5. 분수부등식도 결국 부호표로 푼다

이제 각 구간에서 부호를 보겠습니다.

5-1. 시험값을 넣어 보자

먼저 한 구간만 천천히 계산해 보면 방법이 분명해집니다.

예를 들어 $x=0$을 넣으면

$$\frac{(0-1)(0+2)}{0-3}=\frac{(-)(+)}{(-)}=\frac{(-)}{(-)}=(+)$$

가 됩니다.

이제 같은 방식으로 다른 구간도 보면

• $x=-3$이면 $\frac{(-)(-)}{-}<0$
• $x=0$이면 $\frac{(-)(+)}{-}>0$
• $x=2$이면 $\frac{(+)(+)}{-}<0$
• $x=4$이면 $\frac{(+)(+)}{+}>0$

따라서

$$\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}>0$$

의 해는

$$-2<x<1 \qquad \text{또는} \qquad x>3$$

입니다.

여기서 $x=-2$, $x=1$은 식의 값이 0이 되지만, 부등호가 $>$이므로 포함되지 않습니다. 그리고 $x=3$은 식이 정의되지 않으므로 당연히 포함되지 않습니다.

5-2. 부호표로 보면 더 명확하다

이 문제는 다음처럼 읽을 수 있습니다.

$$\begin{array}{c|cccc} x & x<-2 & -2<x<1 & 1<x<3 & x>3 \\ \hline x+2 & - & + & + & + \\ x-1 & - & - & + & + \\ x-3 & - & - & - & + \\ \hline \text{전체 부호} & - & + & - & + \end{array}$$

결국 분수부등식도 인수들의 부호를 합쳐 읽는다는 점에서는 곱의 부등식과 같습니다. 다만 분모가 0이 되는 점을 따로 처리해야 한다는 점이 추가됩니다.

아래 부호표 탐색기에서는 부등호를 바꾸어 볼 수 있습니다. 특히 $x=3$ 근처에서 부호가 어떻게 바뀌는지, 그리고 분모가 0이 되는 점이 왜 해에 들어갈 수 없는지에 주목해 보세요.

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6. 분수부등식에서 가장 중요한 예외: 분모는 0이 될 수 없다

다음 부등식을 봅시다.

$$\frac{x-1}{x-3}\ge0$$

이 식에서 $x=1$이면 값이 0이 되므로 포함될 수 있습니다. 하지만 $x=3$이면 분모가 0이 되므로 포함될 수 없습니다.

즉,

• 분자가 0이 되는 점은 부등호에 따라 포함될 수 있지만
• 분모가 0이 되는 점은 절대로 포함될 수 없습니다.

이 차이를 꼭 구분해야 합니다.

예를 들어 $\frac{x-1}{x-3}\ge0$에서는 $x=1$은 포함될 수 있지만, $x=3$은 $\ge$가 붙어 있어도 여전히 포함될 수 없습니다.

6-1. 왜 이렇게 다를까?

분자가 0이면 식 전체의 값이 0이 될 수 있습니다. 그래서 $\ge0$, $\le0$에서는 포함될 가능성이 있습니다.

하지만 분모가 0이면 식 자체가 아예 정의되지 않습니다. 정의되지 않은 값은 해집합에 들어갈 수 없습니다.

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7. 여러 가지 부등식의 공통 절차

지금까지의 내용을 절차로 정리하면 다음과 같습니다.

1. 식을 인수분해하거나 정리해 부호를 읽기 쉬운 꼴로 만든다.
2. 곱의 부등식이면 0이 되는 점을, 분수부등식이면 분자와 분모가 0이 되는 점을 모두 찾는다.
3. 그 점들을 기준으로 수직선을 구간으로 나눈다.
4. 각 구간에서 전체 식의 부호를 판단한다.
5. 부등호가 원하는 부호의 구간을 고른다.
6. 끝점이 0이 되는 점인지, 정의되지 않는 점인지 구분해 포함 여부를 정한다.

이 절차를 기억하면 식이 조금 복잡해져도 흔들리지 않습니다. 위에서 본 곱의 부등식과 분수부등식 예제도 바로 이 순서로 풀었습니다.

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8. 계산할 때 자주 하는 실수

8-1. 분모가 0이 되는 점을 해에 넣는 실수

분수식에서는 이것이 가장 흔하고 가장 중요한 실수입니다.

예를 들어 $x=3$에서 분모가 0이 되면, 부등호가 $\ge$라고 해도 포함할 수 없습니다.

8-2. 시험값을 한 구간만 넣고 전체를 섣불리 정하는 실수

구간마다 부호가 달라질 수 있으므로, 각 구간을 따로 확인해야 합니다.

8-3. 분자와 분모의 0을 같은 방식으로 처리하는 실수

분자가 0이 되는 점은 경우에 따라 포함될 수 있지만, 분모가 0이 되는 점은 절대 포함되지 않습니다.

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9. 핵심 정리

• 여러 가지 부등식도 결국 식의 부호를 읽는 문제이다.
• 곱의 부등식은 인수의 부호를 읽어 풀고, 분수부등식도 같은 생각을 쓴다.
• 다만 분수부등식에서는 분모가 0이 되는 점을 반드시 따로 표시해야 한다.
• 분자는 0이 될 수 있지만, 분모는 0이 될 수 없다.
• 해집합은 경계점의 부호와 정의 여부를 함께 보고 결정한다.

다음 글에서는 공통수학1의 방정식과 부등식 단원을 마무리하면서, 이후 경우의 수 단원으로 넘어가기 전에 전체 흐름을 짧게 정리해 보겠습니다.

한 줄 결론:

여러 가지 부등식은 겉모양이 달라도, 값이 0이 되는 점과 정의되지 않는 점을 경계로 부호를 읽는 문제입니다.