[집합론 시리즈 1편] 집합론은 무엇이고 왜 배우는가

이번 글에서 다루는 내용

이 글에서는 집합론이 왜 현대 수학에서 매우 널리 쓰이는 기본 언어 중 하나인지 먼저 살펴봅니다. 그리고 집합, 함수, 논리 기호가 아직 낯선 학습자를 기준으로 이 시리즈가 어떤 흐름으로 개념을 쌓아 갈지 큰 그림을 잡습니다.

핵심 개념

집합은 서로 구별되는 대상을 하나의 묶음으로 보고 다루는 방식입니다. 수학에서는 비슷한 대상을 한꺼번에 묶어 다루는 일이 자주 나옵니다. 예를 들어

• 짝수 전체
• 방정식의 해 전체
• 어떤 조건을 만족하는 점들 전체

를 하나의 대상으로 보고 싶을 때가 많습니다. 이때 쓰는 가장 기본적인 언어가 바로 집합입니다.

집합론이 중요한 이유는 단지 "집합"이라는 한 주제를 배우기 위해서가 아닙니다. 이후에 배우는 함수, 관계, 확률, 선형대수, 이산수학도 모두 "무엇을 모아 두고, 그 사이의 규칙을 어떻게 말할 것인가"라는 질문 위에 세워지기 때문입니다.

예를 들어 함수는 "입력과 출력의 대응"처럼 보이지만, 집합론적으로는 순서쌍의 집합으로 나타낼 수 있습니다. 또 확률에서는 사건을 표본공간의 부분집합으로 보고, 기하에서는 도형을 점들의 집합으로 바라보기도 합니다.

즉 집합론은 많은 수학 과목에서 반복해서 쓰이는 공통 문법입니다.

이 시리즈의 흐름도 이 관점에 맞춰 잡습니다.

1. 집합을 표현하는 법을 익히고
2. 부분집합과 집합 연산을 배우고
3. 데카르트 곱, 관계, 함수로 확장한 뒤
4. 집합의 크기를 보고, 필요한 논리 기호를 함께 읽습니다.

단계별 예시

집합의 필요성을 가장 간단한 예로 보겠습니다.

"10 이하의 짝수"를 하나씩 쓰면

$$2, 4, 6, 8, 10$$

입니다. 이 목록을 그냥 나열로만 보면 숫자 다섯 개가 있을 뿐이지만, 집합으로 보면

$$\{2,4,6,8,10\}$$

이라는 하나의 대상이 됩니다.

이렇게 하나의 대상으로 바라보면 다음과 같은 질문을 자연스럽게 할 수 있습니다.

• 6은 이 집합에 들어 있는가?
• 홀수는 이 집합에 들어 있는가?
• 10 이하의 자연수 집합과 비교하면 어떤 관계인가?

즉 집합은 대상을 묶어 두기만 하는 상자가 아니라, 포함, 비교, 연산을 가능하게 해 주는 틀입니다.

자주 하는 실수

처음 배우는 단계에서 자주 나오는 오해는 세 가지입니다.

1. 집합을 단순한 목록으로만 보는 실수

집합은 단지 원소를 늘어놓은 표기가 아닙니다. 그 원소들을 하나의 대상으로 보고 다루는 방식입니다.

2. 순서가 중요하다고 생각하는 실수

보통

$$\{1,2,3\} = \{3,2,1\}$$

입니다. 집합에서는 순서가 핵심이 아닙니다.

3. 같은 원소를 여러 번 쓰면 다른 집합이 된다고 생각하는 실수

보통

$$\{1,1,2,2,3\} = \{1,2,3\}$$

으로 봅니다. 집합은 원소의 "종류"를 보는 것이지, 반복 횟수를 보는 대상이 아닙니다.

정리

집합론은 수학의 여러 대상을 한꺼번에 다루고, 비교하고, 연결하는 기본 언어입니다. 그래서 집합론을 먼저 잡아 두면 이후 과목에서 나오는 기호와 정의를 훨씬 덜 낯설게 읽을 수 있습니다. 특히 이 시리즈에서는 엄밀한 공리적 집합론까지 가지 않고, 이후 함수와 이산수학을 읽는 데 필요한 기초 감각을 만드는 데 집중합니다.

다음 글에서는 집합을 실제로 어떻게 쓰는지 보기 위해 집합의 표현 방식과 기본 기호를 정리합니다.