[집합론 시리즈 3편] 부분집합과 집합의 같음

이번 글에서 다루는 내용

이 글에서는 부분집합이 무엇인지, 두 집합이 같다는 말이 정확히 어떤 뜻인지 정리합니다. 이 과정에서 수학에서 자주 나오는 "모든"이라는 표현도 함께 연결해 봅니다.

핵심 개념

집합 A의 모든 원소가 집합 B에도 들어 있으면 A는 B의 부분집합이라고 하고

$$A \subseteq B$$

처럼 씁니다.

즉 A \subseteq B의 뜻은 "A에 들어 있는 원소라면 무엇이든 B에도 들어 있다"입니다. 말로 쓰면 길지만, 핵심은 A의 원소가 B 밖으로 나가지 않는다는 것입니다.

이 뜻을 기호로 쓰면

$$\forall x\,(x \in A \to x \in B)$$

입니다. 즉 모든 원소 x에 대해, x가 A에 들어 있으면 B에도 들어 있어야 합니다.

만약 A \subseteq B이면서 A \neq B이면 A를 B의 진부분집합이라고 합니다. 이때는 보통

$$A \subset B$$

처럼 씁니다. 다만 교재에 따라 \subset 기호를 단순 부분집합으로 쓰는 경우도 있으므로, 실제 문맥에서 약속을 확인하는 습관이 필요합니다.

또 두 집합이 같다는 것은 원소를 완전히 똑같이 가진다는 뜻입니다.

$$A = B$$

가 성립하려면

$$A \subseteq B \quad \text{그리고} \quad B \subseteq A$$

가 함께 성립해야 합니다.

이 성질은 나중에 집합의 등식을 증명할 때 매우 자주 쓰입니다.

단계별 예시

다음 두 집합을 봅시다.

$$A = \{2,4\}, \qquad B = \{1,2,3,4,5\}$$

A의 원소 2와 4는 모두 B에 들어 있으므로

$$A \subseteq B$$

입니다. 하지만 B에는 1, 3, 5도 있으므로 A와 B는 같지 않습니다. 따라서

$$A \subset B$$

라고 할 수 있습니다.

이제 다음 집합을 보겠습니다.

$$C = \{x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x < 5\}, \qquad D = \{1,2,3,4\}$$

C와 D는 표현은 다르지만 실제 원소는 같습니다. 따라서

$$C = D$$

입니다.

또 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다. 공집합에는 원소가 하나도 없으므로, "공집합의 모든 원소가 E에 들어 있다"는 조건이 자동으로 참이 되기 때문입니다. 그래서 아무 집합 E에 대해서도

$$\varnothing \subseteq E$$

가 성립합니다.

자주 하는 실수

1. 원소와 부분집합을 혼동하는 실수

예를 들어 1 \in A와 {1} \subseteq A는 전혀 다른 말입니다. 앞은 숫자 1이 원소로 들어 있다는 뜻이고, 뒤는 {1}이라는 집합이 A의 부분집합이라는 뜻입니다.

2. 표현이 다르면 다른 집합이라고 생각하는 실수

집합은 표기 방식보다 원소가 같은지가 더 중요합니다. 같은 원소를 가지면 같은 집합입니다.

3. \subset 기호를 무조건 한 뜻으로 읽는 실수

교재마다 \subset를 진부분집합으로 쓰기도 하고, 단순 부분집합 의미로 쓰기도 합니다. 이 시리즈에서는 \subseteq를 부분집합, \subset를 진부분집합으로 구분해서 쓰겠습니다.

정리

부분집합은 "모든 원소가 포함된다"는 뜻이고, 집합의 같음은 서로가 서로의 부분집합이라는 뜻입니다. 이 개념은 뒤에서 집합 연산과 관계, 함수를 배울 때도 계속 쓰입니다.

다음 글에서는 합집합, 교집합, 차집합, 여집합을 통해 집합 사이의 연산을 다룹니다.