[집합론 시리즈 5편] 멱집합과 데카르트 곱

이번 글에서 다루는 내용

이 글에서는 집합을 더 크게 확장해서 보는 두 가지 개념, 멱집합과 데카르트 곱을 정리합니다. 이 둘은 뒤에서 관계와 함수를 정의할 때 직접 쓰이는 중요한 준비 단계입니다.

핵심 개념

멱집합

집합 A의 멱집합은 A의 모든 부분집합을 모아 놓은 집합입니다. 보통

$$\mathcal{P}(A)$$

또는 P(A)처럼 씁니다.

예를 들어 A = \{1,2\}이면 A의 부분집합은

$$\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}$$

이므로

$$\mathcal{P}(A) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}$$

입니다.

원소가 n개인 유한집합의 멱집합은 항상 2^n개의 원소를 가집니다. 각 원소를 "선택한다 / 선택하지 않는다"의 두 가지 경우로 볼 수 있기 때문입니다.

데카르트 곱

두 집합 A, B의 데카르트 곱은 A의 원소 하나와 B의 원소 하나를 차례대로 짝지은 모든 순서쌍의 집합입니다.

$$A \times B = \{(a,b) \mid a \in A,\ b \in B\}$$

여기서 중요한 것은 (a,b)가 순서쌍이라는 점입니다. 순서쌍은 첫째 성분과 둘째 성분이 구별되는 대상이며,

$$(a,b) = (c,d) \iff a=c \text{ 이고 } b=d$$

입니다. 따라서 보통 a \neq b이면 (a,b)와 (b,a)는 다릅니다.

데카르트 곱은 좌표평면, 표, 대응 관계를 집합으로 표현할 때 기본 재료가 됩니다.

단계별 예시

먼저 A = \{1,2\}라고 하면 멱집합은

$$\mathcal{P}(A) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}$$

입니다.

여기서 1은 멱집합의 원소가 아니지만, {1}은 멱집합의 원소입니다. 멱집합의 원소는 원래 집합의 원소가 아니라 부분집합이라는 점을 꼭 기억해야 합니다.

이제

$$B = \{x,y\}$$

라고 하면 데카르트 곱은

$$A \times B = \{(1,x), (1,y), (2,x), (2,y)\}$$

입니다.

각 순서쌍은 첫 번째 자리에 A의 원소, 두 번째 자리에 B의 원소가 옵니다. 따라서

$$(1,x) \neq (x,1)$$

입니다.

이 순서 개념은 다음 글에서 관계를 정의할 때 바로 쓰입니다.

특수한 경우도 함께 기억해 두면 좋습니다.

• $\mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\}$
• 모든 집합 $A$에 대해 $A \times \varnothing = \varnothing$

자주 하는 실수

1. 멱집합의 원소를 잘못 보는 실수

\mathcal{P}(A)의 원소는 1, 2 같은 숫자가 아니라 \{1\}, \{2\} 같은 부분집합입니다.

2. 공집합을 빼먹는 실수

공집합과 자기 자신도 항상 부분집합이므로 멱집합에 반드시 포함됩니다.

3. 데카르트 곱에서 순서를 무시하는 실수

순서쌍은 순서가 중요합니다. {1,x}처럼 집합으로 생각하면 안 됩니다.

정리

멱집합은 "부분집합 전체"를 모은 집합이고, 데카르트 곱은 "순서 있는 짝" 전체를 모은 집합입니다. 유한집합에서는 멱집합의 원소 수가 $2^{|A|}$, 데카르트 곱의 원소 수가 $|A|\cdot|B|$처럼 계산된다는 감각도 함께 알아 두면 이후 내용을 이해하기 좋습니다. 이 두 개념은 단순한 확장이 아니라, 관계와 함수로 이어지는 핵심 발판입니다.

다음 글에서는 데카르트 곱의 부분집합이라는 관점에서 관계를 정의합니다.