[집합론 시리즈 4편] 집합 연산: 합집합, 교집합, 차집합, 여집합

이번 글에서 다루는 내용

이 글에서는 집합 연산에서 가장 자주 쓰이는 네 가지인 합집합, 교집합, 차집합, 여집합을 정리합니다. 그리고 이런 연산이 조건의 결합과 어떻게 연결되는지도 함께 봅니다.

핵심 개념

집합 연산은 여러 집합을 조합해 새로운 집합을 만드는 방법입니다.

원소 x를 기준으로 보면 네 연산은 다음처럼 더 정확히 쓸 수 있습니다.

$x \in A \cup B \iff (x \in A \lor x \in B)$
$x \in A \cap B \iff (x \in A \land x \in B)$
$x \in A \setminus B \iff (x \in A \land x \notin B)$
$A^c = U \setminus A$

합집합

두 집합 A, B에 대하여

A \cup B

는 A 또는 B에 들어 있는 원소 전체의 집합입니다. 여기서 "또는"은 둘 중 하나만이 아니라 적어도 하나에 들어 있으면 된다는 뜻입니다.

교집합

A \cap B

는 A와 B에 동시에 들어 있는 원소 전체의 집합입니다.

차집합

A \setminus B

는 A에는 들어 있지만 B에는 들어 있지 않은 원소들의 집합입니다. 이 연산은 순서가 중요합니다.

여집합

여집합은 전체집합 U가 정해져 있을 때 생각합니다. A의 여집합은 보통 A^c 또는 U \setminus A로 쓰며, 전체집합 안에서 A에 속하지 않는 원소들의 집합입니다.

집합 연산은 논리 기호와도 자연스럽게 연결됩니다. 특히 조건으로 집합을 정의할 때 이 연결이 분명해집니다.

합집합은 or에 가까움
교집합은 and에 가까움
여집합은 not에 가까움

예를 들어 A = \{x \mid P(x)\}, B = \{x \mid Q(x)\}라면 A \cup B는 P(x) \lor Q(x)를 만족하는 원소들의 집합으로 읽을 수 있습니다. 이 연결을 알고 있으면 이후 조건제시법이나 확률, 논리 파트로 갈 때 훨씬 편해집니다.

단계별 예시

전체집합을

U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}

으로 두고,

A = \{2,4,6,8,10\}, \qquad B = \{3,6,9\}

라고 하겠습니다.

그러면

A \cup B = \{2,3,4,6,8,9,10\}

입니다. A 또는 B에 들어 있는 수를 모두 모았기 때문입니다.

또

A \cap B = \{6\}

입니다. 두 집합에 공통으로 들어 있는 수는 6뿐입니다.

차집합은

A \setminus B = \{2,4,8,10\}

이고,

B \setminus A = \{3,9\}

입니다. 둘은 같지 않습니다. 이 예시만 봐도 차집합에서는 순서가 중요하다는 점을 알 수 있습니다.

마지막으로 A의 여집합은 전체집합 U 안에서 A에 없는 원소들이므로

A^c = U \setminus A = \{1,3,5,7,9\}

입니다.

자주 하는 실수

1. 합집합과 교집합을 뒤바꾸는 실수

합집합은 "모아서 합친다"는 느낌이고, 교집합은 "겹치는 부분"입니다. 벤다이어그램으로 같이 확인하는 습관이 도움이 됩니다.

2. 차집합에서 순서를 무시하는 실수

A \setminus B와 B \setminus A는 보통 다릅니다. 차집합은 교환법칙이 성립하지 않습니다.

3. 여집합에서 전체집합을 잊는 실수

여집합은 항상 "무엇을 기준으로 바깥을 볼 것인가"가 먼저 정해져야 합니다. 전체집합이 달라지면 여집합도 달라집니다.

예를 들어 같은 A라도 U가 달라지면 A^c도 달라집니다. 따라서 가능하면 U에 대한 여집합이라는 말을 함께 쓰는 습관이 좋습니다.

정리

합집합, 교집합, 차집합, 여집합은 집합을 조작하는 가장 기본적인 도구입니다. 이 네 가지를 정확히 구분할 수 있어야 이후 확률, 논리, 관계, 함수에서도 조건을 자연스럽게 읽을 수 있습니다. 뒤에서 드모르간 법칙처럼 논리와 집합 연산이 맞물리는 장면도 더 자연스럽게 이해하게 됩니다.

다음 글에서는 집합을 더 확장해서 보는 두 개념, 멱집합과 데카르트 곱을 다룹니다.