[집합론 시리즈 2편] 집합의 표현과 기본 기호

이번 글에서 다루는 내용

이 글에서는 집합을 쓰는 대표적인 두 가지 방법을 먼저 정리합니다. 그리고 수학에서 자주 나오는 기본 기호들을 함께 익힙니다.

핵심 개념

집합을 표현하는 가장 기본적인 방법은 원소나열법과 조건제시법입니다.

이 시리즈에서는 자연수 집합을

\mathbb{N} = \{1,2,3,\dots\}

처럼 약속하겠습니다. 즉 이 시리즈에서는 0을 자연수에 포함하지 않습니다.

원소나열법

원소를 직접 써서 집합을 나타내는 방식입니다.

A = \{1,2,3,4\}

처럼 씁니다. 원소가 적을 때는 가장 직관적입니다.

다만 집합에서는 순서와 중복을 보지 않습니다. 따라서

\{1,2,3\} = \{3,2,1\}, \qquad \{1,1,2\} = \{1,2\}

입니다.

조건제시법

원소를 하나하나 다 쓰지 않고, 어떤 조건을 만족하는 대상을 모았는지로 집합을 나타내는 방식입니다.

B = \{x \in \mathbb{Z} \mid x\text{는 짝수}\}

처럼 쓸 수 있습니다. 여기서 \mid는 "such that", 즉 "...라는 조건을 만족하는" 정도로 읽으면 됩니다.

조건제시법은 원소가 무한히 많거나 규칙이 분명할 때 특히 유용합니다.

또 자주 쓰이는 집합 기호도 함께 익혀야 합니다.

x \in A : x는 집합 A의 원소이다
x \notin A : x는 집합 A의 원소가 아니다
\varnothing : 공집합
\mathbb{N} : 자연수 집합
\mathbb{Z} : 정수 집합
\mathbb{Q} : 유리수 집합
\mathbb{R} : 실수 집합

이 기호들은 이후 거의 모든 글에서 반복해서 등장합니다.

단계별 예시

다음 집합을 생각해 봅시다.

C = \{2,4,6,8,10\}

이 집합은 원소나열법으로 쓴 것입니다. 같은 집합을 조건제시법으로 쓰면 예를 들어

C = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 10\text{ 이고 }x\text{는 짝수}\}

처럼 나타낼 수 있습니다.

이제 문장을 읽어 보면

4 \in C 는 참입니다.
7 \in C 는 거짓입니다.
7 \notin C 는 참입니다.

또 공집합은 원소가 하나도 없는 집합입니다. 이 시리즈에서는 공집합을 주로

\varnothing

또는

\emptyset

으로 쓰겠습니다.

공집합은 "아무것도 없다"는 뜻이라서 이상하게 느껴질 수 있지만, 수학에서는 매우 자주 쓰이는 중요한 대상입니다.

자주 하는 실수

1. 원소와 집합을 구분하지 않는 실수

예를 들어 1과 {1}은 다릅니다. 1은 숫자 하나이고, {1}은 원소가 1 하나뿐인 집합입니다.

2. 조건제시법에서 범위를 빼먹는 실수

x가 자연수인지 정수인지 실수인지에 따라 집합의 의미가 달라질 수 있습니다. 가능하면

\{x \in \mathbb{Z} \mid \cdots\}

처럼 범위를 함께 써 주는 편이 안전합니다.

3. 공집합을 숫자 0과 같은 것으로 생각하는 실수

이 시리즈에서는 공집합은 집합이고, 0은 숫자입니다. 서로 다른 대상으로 구분합니다. 예를 들어

\varnothing \neq \{0\}