[집합론 시리즈 7편] 함수: 관계에서 함수로

이번 글에서 다루는 내용

이 글에서는 함수를 관계의 한 종류로 이해합니다. 그리고 정의역, 공역, 치역이 각각 무엇인지 정리한 뒤, 일대일과 전사, 전단사의 뜻까지 가볍게 살펴봅니다.

핵심 개념

함수는 두 집합 사이의 특별한 관계입니다. 집합 A, B가 있을 때 함수 f : A \to B는 A의 각 원소 a에 대해 B의 원소 b가 정확히 하나 대응되는 관계입니다.

집합론적으로는 f \subseteq A \times B이면서 다음 두 조건을 만족할 때 함수를 이룬다고 봅니다.

1. 모든 a \in A에 대해 (a,b) \in f인 b \in B가 적어도 하나 존재한다.
2. (a,b_1) \in f이고 (a,b_2) \in f이면 b_1=b_2이다.

즉 함수에서는 존재성과 유일성이 모두 필요합니다.

이 정의에서 세 가지 용어를 구분해야 합니다.

• 정의역: 입력이 오는 집합
• 공역: 출력이 들어 있는 목표 집합
• 치역: 실제로 출력으로 나타난 값들의 집합

즉 치역은 공역의 부분집합입니다.

함수를 관계로 보면, 함수는 A \times B의 부분집합 가운데에서 각 입력이 빠지지 않고, 같은 입력에 대해 출력이 하나로 정해지는 특별한 형태입니다.

같은 순서쌍 집합이라도 공역을 어떻게 두느냐에 따라 전사 여부가 달라질 수 있다는 점도 기억해 두면 좋습니다.

또 함수의 기본 성질로 다음 세 가지를 자주 봅니다.

• 일대일(단사): 서로 다른 입력이 서로 다른 출력으로 간다
• 전사: 공역의 모든 원소가 실제 출력으로 한 번 이상 나온다
• 전단사: 일대일이면서 전사이다

전단사는 두 집합의 구조가 정확히 맞물린다는 뜻이라서, 뒤에서 집합의 크기를 비교할 때 중요한 역할을 합니다.

단계별 예시

집합

$$A = \{1,2,3\}, \qquad B = \{1,4,9,10\}$$

를 생각하고, 함수 f : A \to B를

$$f(1)=1, \quad f(2)=4, \quad f(3)=9$$

로 정의해 봅시다. 이를 순서쌍으로 쓰면

$$f = \{(1,1), (2,4), (3,9)\}$$

입니다.

이때

• 정의역은 A = \{1,2,3\}
• 공역은 B = \{1,4,9,10\}
• 치역은 \{1,4,9\}

입니다. 10은 공역에는 있지만 실제 출력값으로는 나오지 않으므로 치역에는 들어 있지 않습니다.

이 함수는 서로 다른 입력이 서로 다른 출력으로 가므로 일대일입니다. 하지만 공역의 원소 10이 출력으로 나오지 않으므로 전사는 아닙니다.

반대로 다음 관계를 생각해 봅시다.

$$R = \{(1,2), (1,3), (2,4)\}$$

여기서는 입력 1에 대해 출력이 2와 3 두 개가 연결되어 있으므로 유일성 조건이 깨져 함수가 아닙니다.

자주 하는 실수

1. 공역과 치역을 같은 것으로 보는 실수

공역은 "갈 수 있도록 정해 둔 전체 범위"이고, 치역은 "실제로 간 값들"입니다.

2. 한 입력에 여러 출력이 나와도 함수라고 생각하는 실수

함수에서는 입력 하나마다 출력이 정확히 하나여야 합니다. 반대로 여러 입력이 같은 출력으로 가는 것은 가능합니다.

3. 식으로 써야만 함수라고 생각하는 실수

함수는 식뿐 아니라 표, 대응 규칙, 순서쌍의 집합 등 여러 방식으로 나타낼 수 있습니다.

정리

함수는 관계의 한 종류이며, 각 입력에 정확히 하나의 출력이 대응된다는 점이 핵심입니다. 즉 함수가 되려면 정의역의 원소가 빠지면 안 되고, 같은 입력에 출력이 두 개 나오면 안 됩니다. 정의역, 공역, 치역을 구분하고 일대일과 전사의 뜻을 익혀 두면 이후 대수와 미적분, 이산수학에서도 같은 언어를 반복해서 사용할 수 있습니다.

다음 글에서는 함수와 전단사의 감각을 바탕으로 집합의 크기와 무한의 기초를 살펴봅니다.