[집합론 시리즈 8편] 집합의 크기와 무한의 기초

이번 글에서 다루는 내용

이 글에서는 집합의 크기를 어떻게 생각하는지 정리합니다. 유한집합에서는 원소 개수를 세면 되지만, 무한집합에서는 왜 전단사 같은 대응 관점이 필요한지도 함께 봅니다.

핵심 개념

집합의 크기는 보통 기수(cardinality)라고 부릅니다. 유한집합에서는 이를 원소 개수로 생각해도 무리가 없습니다. 이때 집합 A의 크기를

$$|A|$$

처럼 씁니다.

예를 들어

$$A = \{1,2,3\}$$

이면 |A| = 3입니다.

그런데 집합의 크기를 더 일반적으로 비교할 때는 두 집합 사이에 전단사 함수가 있는지를 봅니다. 유한집합에서는 이것이 우리가 익숙한 "원소 개수가 같다"는 말과 같은 뜻이 되고, 무한집합에서는 특히 이 관점이 중요해집니다.

전단사는 단사와 전사를 동시에 만족하는 함수입니다. 즉 두 집합의 원소가 하나도 빠짐없이, 또 중복 없이 정확히 짝지어진다는 뜻이므로 크기가 같다고 봅니다.

이 관점은 무한집합에서 특히 강력합니다.

단계별 예시

먼저 유한집합부터 보겠습니다.

$$A = \{a,b,c\}, \qquad B = \{1,2,3\}$$

라고 하면

$$f(a)=1, \quad f(b)=2, \quad f(c)=3$$

처럼 전단사 함수를 만들 수 있습니다. 따라서 A와 B는 원소의 종류는 달라도 크기가 같습니다.

이제 무한집합의 예를 보겠습니다. 자연수 집합과 짝수 집합을 생각합시다.

$$\mathbb{N} = \{1,2,3,4,\dots\}, \qquad E = \{2,4,6,8,\dots\}$$

보통은 짝수 집합이 자연수 집합보다 작아 보여도, 함수

$$f(n)=2n$$

을 생각하면 자연수 하나마다 짝수 하나가 정확히 대응됩니다. 즉 \mathbb{N}과 E 사이에는 전단사가 있습니다.

이 사실은 무한집합의 크기가 유한집합과는 다르게 작동한다는 점을 보여 줍니다.

이런 집합을 더 자세히 공부하면 가산집합, 비가산집합 같은 개념으로 이어집니다. 중요한 점은 모든 무한집합이 자연수 집합과 같은 크기는 아니라는 것입니다. 이 글에서는 우선 "무한집합의 크기는 전단사로 비교한다"는 감각까지만 잡겠습니다.

자주 하는 실수

1. 무한집합에서도 부분집합은 반드시 더 작다고 생각하는 실수

유한집합에서는 맞는 감각이지만, 무한집합에서는 그렇지 않을 수 있습니다.

2. 원소의 종류가 다르면 크기도 다르다고 생각하는 실수

집합의 크기는 원소의 내용이 아니라, 전단사로 정확히 짝지을 수 있는지가 더 중요합니다.

3. 전단사와 단순한 대응을 구분하지 않는 실수

아무 대응이나 되는 것이 아니라, 빠짐도 중복도 없는 대응이어야 크기를 비교할 수 있습니다.

정리

집합의 크기는 일반적으로 전단사라는 대응 관점으로 비교하고, 유한집합에서는 그것이 익숙한 원소 수와 일치한다고 이해하는 것이 핵심입니다. 이 생각은 이후 이산수학과 해석학에서 무한을 다루는 감각의 출발점이 됩니다.

다음 글에서는 지금까지의 내용을 읽을 때 자주 마주치는 논리 기호를 집합론의 예시와 함께 정리합니다.