[집합론 시리즈 6편] 관계: 집합으로 표현하는 연결

이번 글에서 다루는 내용

이 글에서는 관계를 "순서쌍의 집합"으로 이해합니다. 그리고 두 대상 사이의 연결을 집합으로 표현한다는 것이 무슨 뜻인지 살펴봅니다.

핵심 개념

두 집합 A, B가 있을 때, A에서 B로 가는 관계 R은 데카르트 곱 A \times B의 부분집합입니다.

즉

$$R \subseteq A \times B$$

이면 R을 A와 B 사이의 관계라고 볼 수 있습니다. 여기서 순서쌍 (a,b)는 "첫째 자리에 a, 둘째 자리에 b가 오는 짝"입니다.

이 정의가 처음에는 추상적으로 보일 수 있지만, 뜻은 단순합니다. A의 원소 하나와 B의 원소 하나를 짝지은 순서쌍들 가운데, 어떤 조건을 만족하는 것만 골라 모아 둔 집합이 바로 관계입니다.

예를 들어

• "작다"
• "같다"
• "나눈다"

같은 말은 모두 관계로 만들 수 있습니다.

또 A = B인 경우, 즉 한 집합 안에서 정의된 관계도 자주 나옵니다. 이 경우를 특별히 A 위의 관계라고 말하기도 합니다. 예를 들어 "같다"는 보통 한 집합 A 위에서

$$\{(x,x) \mid x \in A\}$$

처럼 생각할 수 있습니다.

단계별 예시

집합

$$A = \{1,2,3\}$$

를 생각하고, A 위의 관계 R을

$$xRy \iff x < y$$

로 정의해 봅시다. 그러면 R에 들어가는 순서쌍은

$$R = \{(1,2), (1,3), (2,3)\}$$

입니다.

왜냐하면 1 < 2, 1 < 3, 2 < 3은 참이지만, 2 < 1, 3 < 1 같은 문장은 거짓이기 때문입니다.

이 예시를 보면 관계는 결국 "조건을 만족하는 순서쌍만 골라 놓은 집합"이라는 점이 분명해집니다. 같은 내용을 집합으로 바로 쓰면

$$R = \{(x,y) \in A \times A \mid x < y\}$$

입니다.

다른 예도 볼 수 있습니다. B = \{1,2,3,4\} 위의 관계 S를

$$xSy \iff x\text{는 }y\text{를 나눈다}$$

라고 하면 S도 B \times B의 부분집합인 관계입니다. 이처럼 관계는 수의 크기, 나눗셈, 같은 성질을 가지는지 여부 등을 표현할 때 널리 쓰입니다.

자주 하는 실수

1. 관계를 화살표 그림으로만 기억하는 실수

그림은 이해를 돕지만, 엄밀한 정의는 A \times B의 부분집합이라는 점입니다.

2. 관계를 하나의 규칙 문장으로만 생각하는 실수

규칙은 관계를 설명하는 방식일 뿐이고, 실제로는 그 규칙을 만족하는 순서쌍 전체가 관계입니다.

3. 함수와 관계를 바로 같은 것으로 보는 실수

함수는 관계의 한 종류입니다. 모든 함수는 관계이지만, 모든 관계가 함수는 아닙니다.

정리

관계는 두 집합 원소 사이의 연결을 순서쌍의 집합으로 표현한 것입니다. 이때 A는 첫째 자리에 올 후보들의 집합이고, B는 둘째 자리에 올 후보들의 집합입니다. 이 관점을 익히면 함수를 더 엄밀하게 이해할 수 있고, 이후 동치관계나 부분순서 같은 주제도 자연스럽게 이어집니다.

다음 글에서는 관계 중에서도 특별히 중요한 형태인 함수를 다룹니다.