[공통수학1 시리즈 18편] 연립이차방정식

앞선 글에서는 삼차·사차 방정식을 인수분해와 치환으로 낮은 차수의 방정식으로 바꾸어 풀었습니다. 이번 글에서는 두 방정식을 동시에 만족하는 순서쌍을 찾는 연립이차방정식을 정리하겠습니다.

연립이차방정식은 두 그래프의 교점을 찾는 문제이며, 계산에서는 대입하거나 빼서 한 문자에 대한 방정식으로 바꾸어 푼다.

먼저 오늘의 흐름을 잡고 시작하겠습니다.

• 연립이차방정식의 해는 두 식을 동시에 만족하는 순서쌍이다.
• 한 식이 일차식이면 보통 대입법으로 푼다.
• 두 식이 모두 이차식이면 두 식을 빼서 차수를 낮출 수 있는지 먼저 본다.
• 마지막에는 구한 순서쌍이 두 식을 모두 만족하는지 반드시 확인한다.

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1. 연립이차방정식의 해는 무엇인가?

연립방정식

$$\begin{cases} y=x^2-2x\\ y=x+2 \end{cases}$$

의 해는 두 식을 동시에 만족하는 ((x,y))입니다. 그래프로 보면

• (y=x^2-2x)는 포물선,
• (y=x+2)는 직선

입니다. 따라서 연립이차방정식의 해는 포물선과 직선의 교점입니다.

즉, 연립이차방정식은 계산 문제이기도 하지만 동시에

두 그래프가 어디에서 만나는가?

를 묻는 문제입니다.

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2. 한 식이 일차식이면 대입한다

다음 연립방정식을 풀어 봅시다.

$$\begin{cases} y=x^2-2x\\ y=x+2 \end{cases}$$

두 식의 오른쪽이 모두 y와 같으므로

$$x^2-2x=x+2$$

로 놓을 수 있습니다. 정리하면

$$x^2-3x-2=0$$

입니다. 근의 공식을 쓰면

$$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$$

입니다.

각 x값을 (y=x+2)에 대입하면

$$y=\frac{7\pm\sqrt{17}}{2}$$

입니다. 따라서 해는

$$\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2},\frac{7+\sqrt{17}}{2}\right), \quad \left(\frac{3-\sqrt{17}}{2},\frac{7-\sqrt{17}}{2}\right)$$

입니다.

이 과정은 그래프로 보면 포물선과 직선의 교점이 두 개라는 뜻입니다.

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3. 두 식이 모두 이차식이면 빼서 차수를 낮춘다

이번에는 두 식이 모두 이차식인 경우를 보겠습니다.

$$\begin{cases} y=x^2-4x+1\\ y=-x^2+2x+7 \end{cases}$$

두 식의 오른쪽이 모두 y와 같으므로 서로 같게 놓습니다.

$$x^2-4x+1=-x^2+2x+7$$

정리하면

$$2x^2-6x-6=0$$

이고, 양변을 2로 나누면

$$x^2-3x-3=0$$

입니다. 따라서

$$x=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}$$

입니다.

이제 한 식에 대입해 y값을 구하면 됩니다. 계산이 조금 길어질 수 있지만, 원리는 같습니다.

x를 먼저 구하고, 그 x를 원래 식에 대입해 y를 구한다.

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4. 식의 모양에 따라 대입과 더하기·빼기를 고른다

연립이차방정식에서는 식의 모양을 보고 방법을 고릅니다.

예를 들어

$$\begin{cases} x^2+y^2=25\\ y=x^2-5 \end{cases}$$

처럼 한 식에서 y가 바로 정리되어 있으면 대입이 자연스럽습니다. 두 번째 식을 첫 번째 식에 대입하면

$$x^2+(x^2-5)^2=25$$

가 되어 x에 대한 방정식이 됩니다.

반면 다음처럼 두 식이 비슷한 모양이면 더하거나 빼는 것이 유리합니다.

$$\begin{cases} x^2+y^2=10\\ x^2-y^2=2 \end{cases}$$

두 식을 더하면

$$2x^2=12$$

이므로

$$x^2=6$$

입니다. 두 식을 빼면

$$2y^2=8$$

이므로

$$y^2=4$$

입니다.

따라서

$$x=\pm\sqrt6, \qquad y=\pm2$$

이고, 네 순서쌍이 모두 원래 식을 만족합니다.

$$(\sqrt6,2),\ (\sqrt6,-2),\ (-\sqrt6,2),\ (-\sqrt6,-2)$$

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5. 해의 개수는 교점의 개수로 이해한다

연립이차방정식의 해의 개수는 그래프의 교점 개수와 연결됩니다.

• 포물선과 직선이 두 점에서 만나면 해가 두 개다.
• 한 점에서 접하면 해가 한 개다.
• 만나지 않으면 실수해가 없다.

예를 들어

$$\begin{cases} y=x^2\\ y=2x-1 \end{cases}$$

은

$$x^2=2x-1$$

이므로

$$(x-1)^2=0$$

입니다. 따라서 x = 1이고, y = 1입니다. 해는

$$(1,1)$$

하나입니다.

그래프로 보면 직선 (y=2x-1)이 포물선 (y=x^2)에 접하는 상황입니다.

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6. 계산할 때 자주 하는 실수

6-1. x만 구하고 y를 구하지 않는 실수

연립이차방정식의 해는 보통 x값 하나가 아니라 순서쌍 ((x,y))입니다. x를 구했다면 반드시 원래 식에 대입해서 y를 구해야 합니다.

6-2. 대입한 뒤 나온 해를 확인하지 않는 실수

제곱이나 변형이 들어가면 불필요한 해가 섞일 수 있습니다. 마지막에는 구한 순서쌍을 원래 두 식에 모두 대입해 확인해야 합니다.

6-3. 두 식을 무조건 빼려고 하는 실수

두 식을 빼는 것이 항상 가장 쉬운 방법은 아닙니다. 한 식에서 y가 바로 정리되면 대입이 더 자연스럽고, 두 식의 이차항이 잘 사라질 때는 더하기·빼기가 유리합니다.

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7. 연습 문제

아래 점검 퀴즈에서 연립이차방정식의 핵심을 확인해 보세요.

8. 핵심 정리

• 연립이차방정식의 해는 두 방정식을 동시에 만족하는 순서쌍이다.
• 그래프로 보면 두 그래프의 교점이다.
• 한 식이 일차식이거나 y가 정리되어 있으면 대입법이 편하다.
• 두 식의 이차항이 비슷하면 더하거나 빼서 차수를 낮출 수 있다.
• x를 구한 뒤에는 반드시 y를 구하고, 원래 식에 대입해 확인한다.

한 줄 결론:

연립이차방정식은 두 그래프의 교점을 계산으로 찾는 문제입니다.