[NCS 응용수리 500제 3편] 비율과 비례 완벽 정리

What this post covers

비율과 비례는 응용수리뿐 아니라 자료해석에서도 가장 많이 등장하는 개념입니다. 이 글에서는 비와 비율의 기본 개념부터 증감률, 분배비, 연비 문제까지 실전에서 바로 쓸 수 있는 공식과 팁을 정리합니다.

비와 비율의 정의와 차이
비례식과 이항
증감률과 기준값 잡기
분배비와 연비 문제

이번 글에서 새로 나오는 용어

비 (ratio): 두 수의 대소 관계를 나타내는 것, $a:b$
비례 (proportion): 두 비가 같음을 나타내는 등식
증감률 (percentage change): 기준값 대비 변화량의 비율
기준값 (base value): 비율 계산의 분모가 되는 원래 값
분배비 (distribution ratio): 전체를 나누는 비율

Core idea

비와 비율

비는 두 수의 대소 관계를 나타냅니다. $a:b$ 또는 $\frac{a}{b}$ 로 표현합니다.

비율은 비를 퍼센트(%)로 나타낸 것입니다. $\frac{a}{b} \times 100\%$ 입니다.

예를 들어 3

비는

\frac{3}{5} = 0.6 = 60\%

의 비율입니다.

비례식

두 비가 같을 때 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 로 표현하며, 이를 비례식이라 합니다.

비례식의 성질: 외항의 곱 = 내항의 곱

a \times d = b \times c

이 성질을 이용하면 미지수가 있는 비례식에서 한 항을 쉽게 구할 수 있습니다.

증감률

증감률은 기준값 대비 변화량의 비율입니다.

\text{증감률}(\%) = \frac{\text{변화량}}{\text{기준값}} \times 100 = \frac{\text{현재값} - \text{기준값}}{\text{기준값}} \times 100

중요: 증감률에서 분모는 항상 기준값(원래 값)입니다. 현재값이 아닙니다.

상황	계산	결과
기준값 100 → 현재값 120	$\frac{120-100}{100} \times 100$	20% 증가
기준값 100 → 현재값 80	$\frac{80-100}{100} \times 100$	20% 감소
기준값 80 → 현재값 100	$\frac{100-80}{80} \times 100$	25% 증가

분배비

전체를 주어진 비율대로 나누는 문제입니다. $A:B:C = 2:3:5$ 이고 전체가 100이면,

$A = 100 \times \frac{2}{2+3+5} = 20$
$B = 100 \times \frac{3}{10} = 30$
$C = 100 \times \frac{5}{10} = 50$

연비

두 양의 비율을 나타내는 개념으로, 주로 거리 대 연료량, 인원 대 시간 등에 사용됩니다.

예: 자동차가 1L로 12km를 갈 수 있다면, 100km를 가려면 $\frac{100}{12} = 8.33$ L가 필요합니다.

Step-by-step example

예시 1: 증감률 문제

작년 매출이 8,000만 원이고 올해 매출이 10,000만 원일 때, 매출 증가율은?

\text{증가율} = \frac{10000 - 8000}{8000} \times 100 = \frac{2000}{8000} \times 100 = 25\%

주의: 분모에 작년 매출(기준값)을 넣어야 합니다. $\frac{2000}{10000}$ 으로 계산하면 20%가 되어 틀립니다.

예시 2: 분배비 문제

세 사람 A, B, C가 돈을 모아 450만 원을 투자했다. A:B
= 3:4
때, B의 투자금액은?

전체 비율의 합 = $3 + 4 + 5 = 12$

B의 투자금액 = $450 \times \frac{4}{12} = 450 \times \frac{1}{3} = 150$ 만 원

예시 3: 연비 문제

어떤 차량이 1L로 15km를 갈 수 있다. 이 차량이 180km를 가려면 기름이 몇 L 필요한가?

필요한 기름 = $\frac{180}{15} = 12$ L

예시 4: 교재 기반 비율 문제

어떤 회사의 신입 사원은 640명이었다. 올해 신규 채용된 남자 사원은 작년보다 15% 증가하고, 여자 사원은 작년보다 2% 감소하여 올해 신입 사원은 작년보다 28명 증가하였을 때, 신규 채용된 여자 사원 수는?

(이 문제는 연립방정식으로 풀 수 있습니다. 자세한 풀이는 10편 고난도 유형에서 다룹니다.)

Common mistakes

기준값 혼동: 증감률의 분모는 항상 원래 값(기준값)입니다. 현재값을 분모로 놓으면 전혀 다른 답이 나옵니다.
비율 합이 1이 아닌 경우: 분배비 문제에서 비율의 합으로 나누지 않고 전체를 그대로 곱하면 틀립니다. 반드시 $\frac{\text{해당 비율}}{\text{전체 비율의 합}}$ 으로 계산하세요.
단위 불일치: km와 m, 시간과 분을 그대로 계산하면 오답입니다. 문제의 단위를 통일한 후 계산하세요.
비와 비율 용어 혼동: 3
비이고, 60%는 비율입니다. 문제에서 무엇을 요구하는지 정확히 확인하세요.

🎯 문제 풀어보기

이제 위에서 배운 내용을 바탕으로 문제를 직접 풀어보세요. 비율 나누기와 이익률 계산 능력을 점검합니다.

비와 비율 문제풀이

비율 나누기, 이익률, 연령비 훈련

비와비율

문제 1 / 3

비와비율

문제 1. 두 수의 비가 $3:5$이고, 두 수의 합이 72일 때 작은 수를 구하시오.

해설 보기

두 수의 비율 합은 $3 + 5 = 8$입니다. 한 부분의 크기는 $72 \div 8 = 9$이므로 작은 수는 $9 \times 3 = 27$입니다.

Wrap-up

비율과 비례는 응용수리의 핵심 도구입니다. 특히 기준값을 정확히 잡는 것이 모든 비율 계산의 출발점입니다. 문제를 보면 "누구를 기준으로 몇 퍼센트 변했는가"를 먼저 파악하고 계산에 들어가세요.

다음 글에서는 응용수리의 대표 유형인 농도 문제를 다룹니다.

[[04-concentration-problems|[중급] 농도 문제의 모든 것]]