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수정됨 학교수학 NCS 응용수리 500제

[NCS 응용수리 500제 6편] 시계 문제와 각도 계산

#ncs#응용수리#시계문제#시침#분침#각도

What this post covers

시계 문제는 응용수리에서 반복적으로 출제되는 대표 유형입니다. 시침과 분침이 이루는 각도를 구하는 문제로, 단순 암기식 공식보다는 두 바늘의 속도 차이를 이해하면 어떤 변형 문제도 풀 수 있습니다. 이 글에서는 속도 기반 접근법으로 모든 시계 문제를 통일해서 설명합니다.

  • 시침과 분침의 각속도
  • 각도 공식 유도
  • 180도보다 작은 각 구하기
  • 직각(90도)과 평각(180도)이 되는 시각

이번 글에서 새로 나오는 용어

  • 시계 각도 (clock angle): 시침과 분침이 이루는 각
  • 각속도 (angular speed): 단위 시간당 회전하는 각도
  • 시침 (hour hand): 시간을 가리키는 짧은 바늘
  • 분침 (minute hand): 분을 가리키는 긴 바늘

Core idea

시침과 분침의 각속도

시계는 12시간(또는 60분) 동안 한 바퀴(360도)를 돕니다.

바늘 1시간당 각도 1분당 각도
분침 360도 36060=6\frac{360}{60} = 6도
시침 36012=30\frac{360}{12} = 30도 3060=0.5\frac{30}{60} = 0.5도

핵심: 분침은 1분에 6도, 시침은 1분에 0.5도 움직입니다. 따라서 1분당 분침이 시침보다 5.5도 앞섭니다.

각도 공식

HH시 MM분일 때, 두 바늘이 이루는 각도는:

θ=∣30H−5.5M∣\theta = |30H - 5.5M|

이 각도가 180도보다 크면, 180도보다 작은 각은 360−θ360 - \theta입니다.

교재에서는 주로 180도보다 작은 각을 묻습니다.

180도보다 작은 각

180도보다 작은 각=min⁡(θ,360−θ)\text{180도보다 작은 각} = \min(\theta, 360 - \theta)

직각(90도)이 되는 시각

∣30H−5.5M∣=90|30H - 5.5M| = 90 또는 360−∣30H−5.5M∣=90360 - |30H - 5.5M| = 90을 만족하는 시각을 찾습니다.

12시간 동안 직각이 되는 횟수는 22번입니다. (11번 × 2, 단 3시와 9시는 정확히 직각)

Step-by-step example

예시 1: 기본 각도 계산

3시 40분에 시침과 분침이 이루는 180도보다 작은 각은?

Step 1: 공식에 대입합니다.

θ=∣30×3−5.5×40∣=∣90−220∣=130도\theta = |30 \times 3 - 5.5 \times 40| = |90 - 220| = 130\text{도}

Step 2: 180도보다 작은지 확인합니다.

  • 130<180130 < 180이므로 답은 130도

예시 2: 180도보다 큰 경우

8시 50분에 시침과 분침이 이루는 180도보다 작은 각은?

Step 1: 공식에 대입합니다.

θ=∣30×8−5.5×50∣=∣240−275∣=35도\theta = |30 \times 8 - 5.5 \times 50| = |240 - 275| = 35\text{도}

Step 2: 180도보다 작으므로 답은 35도

예시 3: 교재 유형 - 180도보다 작은 각

10시 20분에 시침과 분침이 이루는 180도보다 작은 각은?

Step 1: 공식에 대입합니다.

θ=∣30×10−5.5×20∣=∣300−110∣=190도\theta = |30 \times 10 - 5.5 \times 20| = |300 - 110| = 190\text{도}

Step 2: 180도보다 크므로 360에서 뺍니다.

  • 360−190=170360 - 190 = 170도

답: 170도

예시 4: 직각이 되는 시각

2시와 3시 사이에 시침과 분침이 직각을 이루는 시각은?

Step 1: 직각 조건을 세웁니다.

∣30×2−5.5M∣=90또는360−∣60−5.5M∣=90|30 \times 2 - 5.5M| = 90 \quad \text{또는} \quad 360 - |60 - 5.5M| = 90

Step 2: 첫 번째 경우를 풉니다.

∣60−5.5M∣=90|60 - 5.5M| = 90

  • 60−5.5M=9060 - 5.5M = 90 → −5.5M=30-5.5M = 30 → M=−6011M = -\frac{60}{11} (음수이므로 2시 이전, 해당 없음)
  • 60−5.5M=−9060 - 5.5M = -90 → −5.5M=−150-5.5M = -150 → M=30011=27311M = \frac{300}{11} = 27\frac{3}{11}분

답: 2시 2731127\frac{3}{11}분

Common mistakes

  • 시침 위치를 정각 기준으로 계산: 3시 30분의 시침은 정확히 3을 가리키지 않습니다. 30분 동안 시침은 3과 4 사이로 15도 더 움직입니다. 공식 ∣30H−5.5M∣|30H - 5.5M|은 이를 자동으로 반영합니다.
  • 180도보다 작은 각을 확인 안 함: 공식 결과가 180도보다 크면 360−θ360 - \theta를 구해야 합니다. 교재에서는 항상 180도보다 작은 각을 묻습니다.
  • 분침 속도를 1도/분으로 착각: 분침은 1분에 6도(360도/60분)입니다. 1도가 아닙니다.
  • 시침 속도를 30도/분으로 착각: 시침은 1시간에 30도, 1분에 0.5도입니다.

🎯 문제 풀어보기

이제 위에서 배운 내용을 바탕으로 문제를 직접 풀어보세요. 시침·분침 각도와 특수 각도가 되는 시각 계산 능력을 점검합니다.

시계각도 문제풀이

시침/분침 각도, 직각/일직선 시각 훈련

시계각도
문제 1 / 3
시계각도

문제 1. 오후 3시 20분일 때, 시침과 분침이 이루는 각도는 몇 도인가?

해설 보기

분침 각도: $20 \times 6 = 120°$. 시침 각도: $3 \times 30 + 20 \times 0.5 = 90 + 10 = 100°$. 두 침의 각도 차: $|120 - 100| = 20°$입니다.

Wrap-up

시계 문제는 분침이 시침보다 1분에 5.5도 앞선다는 사실 하나로 모든 문제를 풀 수 있습니다. 공식 θ=∣30H−5.5M∣\theta = |30H - 5.5M|을 암기하고, 결과가 180도보다 크면 360−θ360 - \theta를 구하는 습관만 들이면 됩니다.

다음 글에서는 최소공배수와 최대공약수를 다룹니다.

  • [[07-lcm-gcd-problems|[기초] 최소공배수와 최대공약수]]

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