[NCS 응용수리 500제 10편] 고난도 유형 심화 풀이

What this post covers

교재의 마지막 파트인 유형별 고난도 70제는 여태까지 배운 개념을 종합적으로 적용하는 심화 문제들입니다. 이 글에서는 대표적인 고난도 유형 4가지(연립방정식, 정수조건, 평균·비율 심화, 복합 집합 문제)를 선별하여 풀이 전략을 정리합니다.

• 연립방정식과 정수조건
• 평균·비율 심화 문제
• 복합 집합·확률 문제
• 실전 풀이 전략

이번 글에서 새로 나오는 용어

• 연립방정식 (system of equations): 두 개 이상의 방정식을 동시에 만족하는 해를 구하는 문제
• 정수조건 (integer condition): 해가 자연수 또는 정수여야 하는 제약
• 평균 (average): 모든 값의 합을 값의 개수로 나눈 것
• 가중평균 (weighted average): 각 값에 가중치를 곱하여 구한 평균

Core idea

고난도 문제의 특징

고난도 70제의 문제들은 다음 특징을 가집니다:

1. 두 개 이상의 개념이 결합: 농도 + 비율, 거속시 + 평균, 집합 + 확률 등
2. 정수조건이 숨어 있음: 인원 수, 물건 개수 등은 자연수여야 함
3. 기준값이 여러 번 바뀜: 증감률 문제에서 기준값이 연쇄적으로 변함
4. 포함배제가 3집합 이상: 복잡한 집합 관계 분석

풀이 전략

1. 문장을 식으로 먼저 바꾸기: 주어진 조건을 모두 식으로 표현
2. 미지수를 최소화하기: 필요한 변수만 도입
3. 정수조건 활용하기: 자연수 제약으로 후보를 좁히기
4. 극단값 검토하기: 최대·최소 문제에서는 극단적인 경우를 먼저 확인

Step-by-step example

예시 1: 연립방정식 + 정수조건

어떤 기업 신입사원 필기시험의 응시 인원은 100명이고 합격 인원은 20명이다. 이 시험의 최저합격점수는 응시한 100명의 평균성적보다 14점 높고, 합격한 응시생의 평균성적보다 6점이 낮았다. 또한, 불합격한 응시생의 평균성적의 4배는 합격한 응시생의 평균성적의 3배보다 8점이 낮았다. 이 때, 최저합격점수는 얼마인가?

Step 1: 변수를 설정합니다.

• 최저합격점수 = $x$
• 전체 평균 = $a$, 합격자 평균 = $b$, 불합격자 평균 = $c$

Step 2: 조건을 식으로 세웁니다.

• $x = a + 14$
• $x = b - 6$ → $b = x + 6$
• $4c = 3b - 8$
• 전체 합 = $100a = 20b + 80c$

Step 3: 식을 정리합니다.

• $100(x - 14) = 20(x + 6) + 80c$
• $100x - 1400 = 20x + 120 + 80c$
• $80x - 1520 = 80c$
• $c = x - 19$

Step 4: $4c = 3b - 8$에 대입합니다.

• $4(x - 19) = 3(x + 6) - 8$
• $4x - 76 = 3x + 18 - 8$
• $x = 86$

답: 86점

예시 2: 평균·비율 심화

A사의 2018년~2020년의 직원 수와 연봉에 대한 정보가 다음과 같다. 2020년의 총인걸비는 2018년의 총인걸비에 비해 8% 증가하였을 때, 2018년의 직원 수는?

• A사의 신입연봉은 3,000만 원이다.
• 2018년의 A사 직원들의 평균연봉은 4,500만 원이다.
• 2019년 1월에 신규채용한 신입사원은 21명이며, 신입사원을 제외한 전 직원의 급여를 5% 인상하였다.
• 2020년에 신규채용한 직원은 없으며, 코로나로 인한 실적부진으로 모든 직원 동결하였다.
• 2019년에 퇴사한 직원은 없으며, 2020년 1월에 퇴사한 직원은 6명이다.
• 2020년의 평균연봉은 2018년의 평균연봉보다 180만 원 낮다.

Step 1: 2018년 직원 수를 $n$명이라고 둡니다.

Step 2: 2018년 총인걸비 = $n \times 4500$만 원

Step 3: 2019년 총인걸비 계산

• 신입 21명: $21 \times 3000 = 63000$만 원
• 기존 직원 $(n)$명: $n \times 4500 \times 1.05 = 4725n$만 원
• 2019년 총인걸비 = $63000 + 4725n$만 원

Step 4: 2020년 총인걸비 계산

• 퇴사 6명, 신규채용 0명 → 직원 수 = $n + 21 - 6 = n + 15$
• 동결 → 2019년과 같은 급여
• 2020년 평균연봉 = $4500 - 180 = 4320$만 원
• 2020년 총인걸비 = $(n + 15) \times 4320$만 원

Step 5: 2020년 = 2018년 × 1.08 조건 적용

• $(n + 15) \times 4320 = n \times 4500 \times 1.08 = 4860n$
• $4320n + 64800 = 4860n$
• $540n = 64800$
• $n = 120$

답: 120명

예시 3: 복합 집합 문제

22명의 학생을 대상으로 세 문제 A, B, C를 맞힌 학생 수를 조사하였더니 각각 11명, 9명, 15명이고, 세 문제를 모두 맞힌 학생은 4명이었다. 한 문제도 맞히지 못한 학생은 없다고 할 때, 세 문제 중 두 문제만 맞힌 학생의 수는?

Step 1: 포함배제원리 적용

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (\text{두 개만 맞힌 수}) - 2 \times (\text{세 개 모두 맞힌 수})$

Step 2: 한 문제도 못 맞힌 학생이 없으므로 $|A \cup B \cup C| = 22$

Step 3: 두 문제만 맞힌 학생 수를 $x$라고 하면

$22 = 11 + 9 + 15 - x - 2 \times 4$

$22 = 35 - x - 8$

$22 = 27 - x$

$x = 5$

답: 5명

Common mistakes

• 변수를 너무 많이 설정: 필요한 최소 변수만 사용하세요. 변수가 많아지면 방정식도 많아지고 풀이가 복잡해집니다.
• 정수조건을 간과: 인원, 개수 등은 자연수여야 합니다. 소수로 나오면 계산 실수를 의심하세요.
• 기준값 연쇄 변화 놓침: 2018년 → 2019년 → 2020년으로 기준값이 바뀔 때, 각 단계의 기준을 명확히 구분하세요.
• 포함배제원리에서 계수 착오: 두 개만 맞힌 경우는 한 번, 세 개 모두 맞힌 경우는 두 번(또는 세 번) 조정해야 합니다.

🎯 문제 풀어보기

이제 위에서 배운 내용을 바탕으로 문제를 직접 풀어보세요. 작업문제와 복합 응용 문제 해결 능력을 점검합니다.

Wrap-up

고난도 문제는 기초 개념의 종합 응용입니다. 단일 개념으로는 풀 수 없고, 농도 + 비율 + 연립방정식, 또는 집합 + 확률 + 경우의 수가 결합됩니다. 문제를 보면 "어떤 개념들이 결합되어 있는가"를 먼저 파악하고, 각 개념별로 식을 세운 후 연결하는 전략이 효과적입니다.

14일 학습의 마지막 단계로, 고난도 70제를 풀며 취약 유형을 보완하세요.

시리즈 전체 목차

• [[01-overview-and-study-guide|[개요] 교재 개요와 14일 학습 가이드]]
• [[02-basic-operations-and-fractions|[기초] 사칙연산과 분수·소수 계산]]
• [[03-ratio-and-proportion|[기초] 비율과 비례 완벽 정리]]
• [[04-concentration-problems|[중급] 농도 문제의 모든 것]]
• [[05-distance-speed-time|[중급] 거리·속력·시간 문제]]
• [[06-clock-angle-problems|[중급] 시계 문제와 각도 계산]]
• [[07-lcm-gcd-problems|[기초] 최소공배수와 최대공약수]]
• [[08-permutation-combination|[중급] 순열과 조합]]
• [[09-sets-and-probability|[중급] 집합과 확률 기초]]
• [[10-advanced-problems|[심화] 고난도 유형 심화 풀이]]