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수정됨 학교수학 NCS 응용수리 500제

[NCS 응용수리 500제 8편] 순열과 조합

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What this post covers

순열과 조합은 응용수리에서 가장 어려워하는 유형 중 하나입니다. 하지만 핵심은 단순합니다: 순서를 고려하는가, 고려하지 않는가. 이 글에서는 기본 공식부터 교재에 나오는 다양한 변형 유형(일렬로 나열, 같은 상품 주기, 임원 선출, 당번 뽑기 등)까지 체계적으로 정리합니다.

  • 순열과 조합의 정의와 차이
  • 기본 공식
  • 중복순열과 중복조합
  • 원순열
  • 교재 대표 유형 풀이

이번 글에서 새로 나오는 용어

  • 순열 (permutation): 순서를 고려하여 배열하는 경우의 수
  • 조합 (combination): 순서를 고려하지 않고 선택하는 경우의 수
  • 계승 (factorial): n!=n×(n−1)×⋯×2×1n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1
  • 원순열 (circular permutation): 원형으로 배열하는 경우의 수
  • 중복순열 (repeated permutation): 같은 것을 반복하여 뽑는 경우의 수

Core idea

순열과 조합의 차이

구분 순열 nPrnPr 조합 nCrnCr
정의 순서를 고려하여 rr개를 배열 순서를 고려하지 않고 rr개를 선택
공식 n!(n−r)!\frac{n!}{(n-r)!} n!r!(n−r)!\frac{n!}{r!(n-r)!}
관계 nPr=nCr×r!nPr = nCr \times r! nCr=nPrr!nCr = \frac{nPr}{r!}
예시 1등, 2등, 3등 뽑기 당첨자 3명 뽑기

판단 기준: 뽑은 것끼리 자리를 바꾸면 다른 경우인가?

  • 바꾸면 다르다 → 순열
  • 바꿔도 같다 → 조합

기본 공식

nPr=n!(n−r)!=n×(n−1)×⋯×(n−r+1)nPr = \frac{n!}{(n-r)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1) nCr=n!r!(n−r)!=n×(n−1)×⋯×(n−r+1)r×(r−1)×⋯×1nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)}{r \times (r-1) \times \cdots \times 1}

중복순열과 중복조합

중복순열: 서로 다른 nn개에서 중복을 허용하여 rr개를 택하여 일렬로 배열

nrn^r

중복조합: 서로 다른 nn개에서 중복을 허용하여 rr개를 택함

nHr=n+r−1Cr=(n+r−1)!r!(n−1)!nHr = {}_{n+r-1}C_r = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}

원순열

서로 다른 nn개를 원형으로 배열하는 경우의 수:

(n−1)!(n-1)!

원순열에서는 회전하여 같은 배열은 하나로 칩니다.

Step-by-step example

예시 1: 순열 기본

서로 다른 8명 중 2명을 선택하여 일렬로 나열하는 경우의 수는?

Step 1: 순서를 고려하므로 순열입니다.

8P2=8×7=56가지8P2 = 8 \times 7 = 56\text{가지}

예시 2: 조합 기본

서로 다른 12명 중 3명을 선택하여 같은 상품을 주는 경우의 수는?

Step 1: 같은 상품이므로 순서는 고려하지 않습니다. 조합입니다.

12C3=12×11×103×2×1=220가지12C3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220\text{가지}

예시 3: 임원 선출 (순열)

임원 후보 8명 중 4명을 선택하여 뽑는 경우의 수는? (단, 뽑는 순서대로 각각 임원 직급이 달라진다.)

Step 1: 순서대로 직급이 달라지므로 순열입니다.

8P4=8×7×6×5=1680가지8P4 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680\text{가지}

예시 4: 당번 뽑기 (조합)

남자 4명과 여자 4명이 함께 식당에 갔다. 자리가 8개인 원탁에 앉는다고 할 때 앉을 수 있는 경우의 수는? (단, 남자와 여자가 번갈아 가며 앉는다.)

Step 1: 원순열 + 번갈아 앉는 조건

Step 2: 남자 4명을 원형으로 배열: (4−1)!=3!=6(4-1)! = 3! = 6

Step 3: 여자 4명을 남자 사이에 배열: 4!=244! = 24

Step 4: 총 경우의 수 = 6×24=1446 \times 24 = 144가지

예시 5: 중복순열

세 개의 문자 A, B, C 중에서 중복을 허용하여 4개를 택하여 일렬로 배열하는 경우의 수는?

34=81가지3^4 = 81\text{가지}

Common mistakes

  • 순열과 조합 구분 실패: "일렬로 나열"은 순열, "같은 상품 주기"는 조합입니다. 문제의 문구를 정확히 읽으세요.
  • 원순열을 일반 순열로 계산: 원형 배열은 (n−1)!(n-1)!입니다. n!n!으로 계산하면 틀립니다.
  • 중복 허용 여부 확인: "중복하여" 또는 "같은 것을 반복"이라는 문구가 있으면 중복순열/중복조합입니다.
  • 0!=10! = 1 잊기: 0!0!은 1입니다. 공식 계산에서 0!0!이 나오면 당황하지 마세요.

🎯 문제 풀어보기

이제 위에서 배운 내용을 바탕으로 문제를 직접 풀어보세요. 순열과 조합을 구분하여 적용하는 능력을 점검합니다.

순열·조합 문제풀이

선출, 조짜기, 동전던지기 훈련

순열조합
문제 1 / 3
순열조합

문제 1. 5명의 학생 중에서 반장 1명과 부반장 1명을 뽑는 방법의 수는? (단, 한 사람이 겸임할 수 없음)

해설 보기

반장 5명 중 1명, 부반장 남은 4명 중 1명을 뽑습니다. $5 \times 4 = 20$가지입니다.

Wrap-up

순열과 조합은 순서를 고려하는가라는 하나의 기준으로 구분됩니다. 문제를 볼 때 "뽑은 것끼리 자리를 바꾸면 다른 경우인가"를 먼저 물어보세요. 그 답이 순열인지 조합인지를 결정합니다.

다음 글에서는 집합과 확률 기초를 다룹니다.

  • [[09-sets-and-probability|[중급] 집합과 확률 기초]]

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