[NCS 응용수리 500제 2편] 사칙연산과 분수·소수 계산

What this post covers

이 글은 응용수리 문제를 풀기 위한 가장 기초적인 계산 능력을 다룹니다. 사칙연산의 연산법칙과 우선순위, 분수와 소수의 변환과 통분·약분까지, 문제 풀이에서 직접 쓰이는 핵심 내용만 압축해서 정리합니다.

사칙연산의 연산법칙과 우선순위
분수의 통분, 약분, 사칙연산
소수와 분수의 상호 변환
계산 실수를 줄이는 팁

이번 글에서 새로 나오는 용어

교환법칙 (commutative law): 덧셈과 곱셈에서 순서를 바꿔도 결과가 같은 성질
결합법칙 (associative law): 덧셈과 곱셈에서 묶는 순서를 바꿔도 결과가 같은 성질
분배법칙 (distributive law): 곱셈이 덧셈에 대해 분배되는 성질
분수 (fraction): 분모와 분자로 이루어진 수의 표현
약분 (reduction): 분수를 기약분수로 만드는 과정
통분 (common denominator): 분모를 같게 만드는 과정

Core idea

연산법칙

덧셈과 곱셈은 다음 세 가지 법칙을 만족합니다.

법칙	덧셈	곱셈
교환법칙	$a + b = b + a$	$a \times b = b \times a$
결합법칙	$a + (b + c) = (a + b) + c$	$a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$
분배법칙	-	$(a + b) \times c = a \times c + b \times c$

뺄셈과 나눗셈은 교환법칙과 결합법칙을 만족하지 않습니다. 예를 들어 $10 - 3 \neq 3 - 10$ 이고, $12 \div 4 \neq 4 \div 12$ 입니다.

덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈의 관계

뺄셈은 덧셈의 역연산입니다. $a + b = c$ 이면 $a = c - b$ , $b = c - a$ 가 성립합니다.
나눗셈은 곱셈의 역연산입니다. $a \times b = c$ 이면 $a = c \div b$ , $b = c \div a$ 가 성립합니다.

연산의 우선순위

수식의 계산은 왼쪽에서 오른쪽으로 차례대로 하되, 곱셈과 나눗셈이 덧셈과 뺄셈보다 먼저 해야 합니다.

예를 들어 $12 + 3 \times 7$ 을 계산할 때, 곱셈을 먼저 해야 하므로 $3 \times 7 = 21$ 을 구한 다음 $12 + 21 = 33$ 입니다.

괄호는 모든 연산 순위에 우선됩니다. 괄호가 있는 연산은 무조건 괄호 안의 식부터 계산하고, 소괄호 $(\;)$ → 중괄호 $\{\;\}$ → 대괄호 $[\;]$ 순으로 계산합니다.

분수의 통분과 약분

통분: 분모의 최소공배수를 공통분모로 하여 통분합니다. 예를 들어 $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ 을 계산하면, 분모 4와 6의 최소공배수는 12이므로 다음과 같이 통분합니다.

\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}

약분: 분자와 분모의 최대공약수로 나누어 기약분수로 만듭니다.

분수의 곱셈: 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱합니다.

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

분수의 나눗셈: 나눗셈을 역수의 곱셈으로 바꾸어 계산합니다.

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}

소수와 분수의 변환

소수를 분수로: $0.5 = \frac{1}{2}$ , $0.25 = \frac{1}{4}$ , $0.125 = \frac{1}{8}$
분수를 소수로: $\frac{1}{2} = 0.5$ , $\frac{1}{3} = 0.333\cdots$ , $\frac{1}{4} = 0.25$

자주 등장하는 분수-소수 변환은 암기해 두면 계산 속도가 크게 향상됩니다.

분수	소수
$\frac{1}{2}$	0.5
$\frac{1}{3}$	$0.333\cdots$
$\frac{1}{4}$	0.25
$\frac{1}{5}$	0.2
$\frac{1}{6}$	$0.166\cdots$
$\frac{1}{8}$	0.125
$\frac{1}{9}$	$0.111\cdots$

Step-by-step example

예시 1: 연산 우선순위

3 + \frac{1}{2} \times \left\{ \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \right) \div \frac{5}{6} \right\} + 6

Step 1: 소괄호 안부터 계산합니다. $\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$

Step 2: 중괄호 안의 나눗셈을 계산합니다. $\frac{5}{12} \div \frac{5}{6} = \frac{5}{12} \times \frac{6}{5} = \frac{1}{2}$

Step 3: 곱셈을 먼저 합니다. $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Step 4: 덧셈을 합니다. $3 + \frac{1}{4} + 6 = 9\frac{1}{4}$

예시 2: 교재 문항 기반 계산 연습

설탕물 50g 중 설탕이 16g일 때, 농도(%)를 구하시오. (소수 첫째 자리에서 반올림)

농도(%) = $\frac{\text{설탕}}{\text{설탕물}} \times 100 = \frac{16}{50} \times 100 = 32\%$

두 숫자 42와 70의 최소공배수와 최대공약수를 구하시오.

$42 = 2 \times 3 \times 7$ , $70 = 2 \times 5 \times 7$

최대공약수(GCD) = $2 \times 7 = 14$
최소공배수(LCM) = $2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210$

Common mistakes

연산 순서 무시: 곱셈·나눗셈보다 덧셈·뺄셈을 먼저 하면 결과가 완전히 달라집니다. 괄호 안부터, 곱셈·나눗셈을 먼저 하는 습관을 드리세요.
통분 없이 분수 덧셈: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}$ 입니다. 반드시 통분 후 분자끼리 더해야 합니다.
나눗셈을 곱셈으로 바꿀 때 역수를 안 취함: $\frac{1}{2} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}$ 입니다. 분모·분자가 뒤바뀌는 것을 주의하세요.
소수·분수 변환 실수: $0.3 = \frac{3}{10}$ 이지 $\frac{1}{3}$ 이 아닙니다. 순환소수와 유한소수를 구분하세요.

🎯 문제 풀어보기

이제 위에서 배운 내용을 바탕으로 문제를 직접 풀어보세요. 분수·소수·거듭제곱의 혼합연산 능력을 점검합니다.

기초연산 문제풀이

분수, 소수, 거듭제곱의 혼합연산 훈련

기초연산

문제 1 / 3