[NCS 응용수리 500제 9편] 집합과 확률 기초

What this post covers

집합과 확률은 응용수리 고난도 유형에서 빈번하게 등장합니다. 특히 포함배제원리를 이용한 집합 문제와, 표본공간과 사건의 정의를 명확히 하는 확률 문제가 대표적입니다. 이 글에서는 교재에 나오는 기본 개념부터 고난도 문제까지 단계적으로 정리합니다.

집합의 기본 연산 (교집합, 합집합, 여집합)
포함배제원리
확률의 기본 정의
조걶확률과 독립시행

이번 글에서 새로 나오는 용어

집합 (set): 특정한 조건을 만족하는 대상들의 모임
교집합 (intersection): 두 집합에 공통으로 속하는 원소의 집합, $A \cap B$
합집합 (union): 두 집합의 모든 원소를 모은 집합, $A \cup B$
여집합 (complement): 전체 집합 중 해당 집합에 속하지 않는 원소의 집합, $A^c$
확률 (probability): 어떤 사건이 일어날 가능성의 정도
조걶확률 (conditional probability): 어떤 사건이 일어났을 때 다른 사건이 일어날 확률

Core idea

집합의 기본 연산

연산	기호	의미	예시 (A = {1,2,3}, B = {2,3,4})
교집합	$A \cap B$	A와 B에 모두 속하는 원소	{2, 3}
합집합	$A \cup B$	A 또는 B에 속하는 원소	{1, 2, 3, 4}
여집합	$A^c$	A에 속하지 않는 원소	전체집합 \ {1, 2, 3}
차집합	$A - B$	A에는 속하지만 B에는 속하지 않는 원소	{1}

포함배제원리

두 집합의 합집합 원소 개수:

|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

세 집합의 합집합 원소 개수:

|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C|

핵심: 교집합을 두 번 세게 되므로 한 번씩 빼주고, 세 집합 교집합은 너무 많이 빼졌으므로 다시 더해줍니다.

확률의 기본 정의

P(A) = \frac{\text{사건 A가 일어나는 경우의 수}}{\text{표본공간 S의 모든 경우의 수}}

조건: 표본공간의 모든 결과가 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때 (수학적 확률)

확률의 기본 성질

$0 \leq P(A) \leq 1$
$P(S) = 1$ (전체 확률)
$P(A^c) = 1 - P(A)$ (여사건의 확률)
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

조걶확률

사건 B가 일어났을 때 사건 A가 일어날 확률:

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

독립시행

두 사건 A, B가 독립일 때:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Step-by-step example

예시 1: 포함배제원리 (두 집합)

어느 지역 주민 100명을 대상으로 마트 A, B, C의 이용 경험을 조사하였더니 각 마트를 이용한 경험이 있다고 대답한 인원은 각각 42명, 35명, 50명이었고, A, B를 모두 이용한 경험이 있는 인원은 15명, A, C를 모두 이용한 경험이 있는 인원은 10명, 어느 곳도 이용한 경험이 없는 사람은 5명이었다. 세 군데 중 두 군 데 이상 이용한 경험이 있는 지역 주민 수의 최댓값과 최솟값의 합은?

Step 1: 적어도 한 곳을 이용한 인원 = $100 - 5 = 95$ 명

Step 2: 포함배제원리 적용

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C|$

$95 = 42 + 35 + 50 - 15 - |B \cap C| - 10 + |A \cap B \cap C|$

Step 3: 두 군데 이상 이용 = $(A \cap B) + (B \cap C) + (C \cap A) - 2(A \cap B \cap C)$ (세 군데 모두 이용한 사람은 세 번 세어지므로 조정)

(자세한 계산은 변수 설정 후 범위를 구합니다.)

예시 2: 확률 기본

빨간 공 9개와 파란 공 3개가 들어 있는 주머니에서 임의로 공을 한 개씩 두 번 꺼낼 때, 첫 번째는 빨간 공, 두 번째는 파란 공이 나올 확률을 구하시오. (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.)

Step 1: 첫 번째 확률

$P(\text{첫 빨강}) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

Step 2: 두 번째 확률 (조걶확률)

빨간 공 하나를 꺼냈으므로 남은 공은 11개
$P(\text{두 파랑} | \text{첫 빨강}) = \frac{3}{11}$

Step 3: 동시 확률

$P = \frac{3}{4} \times \frac{3}{11} = \frac{9}{44}$

예시 3: 독립시행

동전을 3번 던질 때, 앞면이 정확히 2번 나올 확률은?

Step 1: 각 시행은 독립입니다. $P(\text{앞}) = P(\text{뒤}) = \frac{1}{2}$

Step 2: 앞면 2번, 뒷면 1번이 나오는 경우의 수

AAB, ABA, BAA → 3가지
$3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$

Common mistakes

포함배제원리에서 교집합 빼는 것을 잊음: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ 에서 교집합을 빼지 않으면 중복 계산됩니다.
조걶확률에서 분모 확인: $P(A|B)$ 의 분모는 $P(B)$ 입니다. $P(A)$ 가 아닙니다.
독립 vs. 배반 혼동: 독립은 동시에 일어날 수 있음( $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ ), 배반은 동시에 일어날 수 없음( $P(A \cap B) = 0$ ).
"적어도" 문제에서 여사건 활용 안 함: 적어도 하나 = 1 - (모두 아님)으로 계산하면 훨씬 쉽습니다.

🎯 문제 풀어보기

이제 위에서 배운 내용을 바탕으로 문제를 직접 풀어보세요. 집합 연산과 확률 계산 능력을 점검합니다.

집합·확률 문제풀이

포함-배제, 주사위, 동시추출 훈련

집합확률

문제 1 / 3