[공통수학1 시리즈 24편] 행렬의 뜻과 덧셈, 뺄셈

앞선 글에서는 경우의 수 단원을 마무리하며 중복을 허용하는 선택을 다뤘습니다. 이번 글부터는 공통수학1의 마지막 주제인 행렬을 다루겠습니다.

행렬은 여러 수를 한꺼번에 정리하는 표입니다. 처음에는 새로운 기호가 많아 보이지만, 핵심은 어렵지 않습니다.

행렬은 수를 행과 열로 배열한 것이고, 덧셈과 뺄셈은 같은 위치의 성분끼리 계산한다.

먼저 오늘의 흐름을 잡고 시작하겠습니다.

• 행렬은 수나 식을 직사각형 모양으로 배열한 것이다.
• 가로줄을 행, 세로줄을 열이라고 한다.
• 행렬의 크기는 행의 수와 열의 수로 나타낸다.
• 행렬의 각 자리에 있는 수를 성분이라고 한다.
• 두 행렬이 같으려면 크기가 같고, 같은 위치의 성분이 모두 같아야 한다.
• 행렬의 덧셈과 뺄셈은 같은 크기의 행렬끼리만 할 수 있다.
• 행렬의 실수배는 모든 성분에 같은 실수를 곱하는 것이다.

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1. 행렬은 수를 정리한 직사각형 표이다

행렬은 수나 식을 행과 열로 배열한 것입니다. 예를 들어

$$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}$$

는 행렬입니다.

가로줄을 행, 세로줄을 열이라고 합니다. 위 행렬은 가로줄이 2개, 세로줄이 3개이므로

$$2\times3$$

행렬이라고 합니다. 앞의 2는 행의 수, 뒤의 3은 열의 수입니다.

정리하면 다음과 같습니다.

행(row):    가로 방향
열(column): 세로 방향
크기:       행의 수 × 열의 수

예를 들어

$$\begin{pmatrix} 80 & 90 & 70\\ 60 & 85 & 95 \end{pmatrix}$$

는 두 학생의 세 과목 점수표처럼 볼 수 있습니다. 행은 학생, 열은 과목이라고 생각하면 여러 값을 한꺼번에 정리할 수 있습니다.

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2. 성분은 행렬 안의 각각의 수이다

행렬 안에 들어 있는 각각의 수를 성분이라고 합니다. 행렬 $A$의 $i$번째 행, $j$번째 열에 있는 성분은 보통

$$a_{ij}$$

처럼 나타냅니다.

예를 들어

$$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}$$

에서 $a_{12}$는 첫째 행, 둘째 열의 성분입니다. 따라서

$$a_{12}=1$$

입니다. 또 $a_{23}$은 둘째 행, 셋째 열의 성분이므로

$$a_{23}=4$$

입니다.

첨자 $a_{ij}$에서 앞의 숫자 $i$는 행 번호, 뒤의 숫자 $j$는 열 번호입니다. 이 순서를 바꾸면 다른 위치를 가리킬 수 있으므로 조심해야 합니다.

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3. 두 행렬이 같다는 것은 무엇일까?

두 행렬이 같으려면 먼저 크기가 같아야 합니다. 그리고 같은 위치에 있는 성분이 모두 같아야 합니다.

예를 들어

$$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 2\\ 3 & b \end{pmatrix}$$

라면 같은 위치의 성분을 비교할 수 있습니다. 따라서

$$a=1,\qquad b=4$$

입니다.

반대로

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$$

와

$$\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}$$

는 들어 있는 수가 모두 1과 2이지만 서로 같은 행렬이 아닙니다. 첫 번째는 $1\times2$ 행렬이고, 두 번째는 $2\times1$ 행렬이기 때문입니다.

즉 행렬에서는 값뿐 아니라 위치와 모양도 중요합니다.

덧셈과 뺄셈으로 넘어가기 전에, 아래 학습 컴포넌트에서 “같은 위치를 맞춘다”는 생각을 먼저 확인해 보세요.

위 예시처럼 위치를 맞추는 생각을 기준으로, 이제 덧셈과 뺄셈의 규칙을 차례대로 정리하겠습니다.

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4. 행렬의 덧셈은 같은 위치끼리 더한다

행렬의 덧셈은 같은 위치에 있는 성분끼리 더합니다. 단, 두 행렬의 크기가 같아야 합니다.

예를 들어

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 5 & -1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$

라고 합시다. 두 행렬은 모두 $2\times2$ 행렬이므로 더할 수 있습니다.

$$A+B= \begin{pmatrix} 1+5 & 2+(-1)\\ 3+0 & 4+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 1\\ 3 & 6 \end{pmatrix}$$

입니다.

행렬의 덧셈은 여러 표를 같은 기준으로 합치는 것과 비슷합니다. 예를 들어 같은 학생, 같은 과목 순서로 된 두 점수표가 있다면 같은 위치끼리 더할 수 있습니다. 하지만 한 표는 두 과목, 다른 표는 세 과목이라면 같은 위치를 맞출 수 없으므로 더할 수 없습니다.

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5. 행렬의 뺄셈도 같은 위치끼리 뺀다

행렬의 뺄셈도 덧셈과 같은 방식입니다. 같은 위치의 성분끼리 뺍니다.

앞의 행렬

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 5 & -1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$

에 대해

$$A-B= \begin{pmatrix} 1-5 & 2-(-1)\\ 3-0 & 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 3\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$

입니다.

여기서도 크기가 같아야 합니다. $2\times2$ 행렬과 $2\times3$ 행렬은 더할 수도, 뺄 수도 없습니다.

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6. 행렬의 실수배는 모든 성분에 곱한다

행렬에 실수를 곱할 때는 모든 성분에 그 실수를 곱합니다.

예를 들어

$$A=\begin{pmatrix} 1 & -2\\ 3 & 0 \end{pmatrix}$$

이면

$$3A= \begin{pmatrix} 3\cdot1 & 3\cdot(-2)\\ 3\cdot3 & 3\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -6\\ 9 & 0 \end{pmatrix}$$

입니다.

또

$$-2A= \begin{pmatrix} -2 & 4\\ -6 & 0 \end{pmatrix}$$

입니다.

실수배는 행렬 전체의 값을 같은 비율로 늘리거나 줄이는 연산입니다. 덧셈과 뺄셈은 두 행렬의 같은 위치를 서로 맞추어 계산하지만, 실수배는 하나의 행렬 안에 있는 모든 성분을 같은 규칙으로 바꿉니다. 덧셈, 뺄셈과 함께 행렬 계산의 가장 기본적인 연산입니다.

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7. 덧셈, 뺄셈, 실수배를 함께 계산하기

다음 행렬을 봅시다.

$$A=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 0 & 3 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ -2 & 5 \end{pmatrix}$$

$2A-B$를 구해 보겠습니다.

먼저 $2A$를 계산합니다.

$$2A=\begin{pmatrix} 4 & -2\\ 0 & 6 \end{pmatrix}$$

이제 $B$를 뺍니다.

$$2A-B= \begin{pmatrix} 4 & -2\\ 0 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 4\\ -2 & 5 \end{pmatrix}$$

따라서

$$2A-B= \begin{pmatrix} 4-1 & -2-4\\ 0-(-2) & 6-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -6\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$

입니다.

이처럼 행렬의 기본 계산에서는 복잡한 새 원리보다 위치 맞추기가 중요합니다.

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8. 자주 하는 실수

8-1. 행과 열의 순서를 바꿔 읽는다

$2\times3$ 행렬은 행이 2개, 열이 3개인 행렬입니다. $3\times2$ 행렬과 다릅니다.

8-2. 크기가 다른 행렬을 더하려고 한다

행렬의 덧셈과 뺄셈은 같은 크기의 행렬끼리만 가능합니다. 성분의 개수가 비슷해 보여도 모양이 다르면 같은 위치를 맞출 수 없습니다.

8-3. 성분 위치를 무시한다

행렬에서는 같은 수가 들어 있어도 위치가 다르면 다른 행렬입니다. 특히 $a_{12}$와 $a_{21}$은 일반적으로 다른 성분입니다.

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9. 연습 문제

아래 점검 퀴즈에서 행렬의 크기, 성분 위치, 덧셈·뺄셈·실수배 계산을 확인해 보세요.

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10. 핵심 정리

• 행렬은 수나 식을 행과 열로 배열한 직사각형 모양의 표이다.
• 행렬의 크기는 행의 수와 열의 수로 나타낸다.
• 행렬 안의 각각의 수를 성분이라고 한다.
• 두 행렬이 같으려면 크기가 같고, 같은 위치의 성분이 모두 같아야 한다.
• 행렬의 덧셈과 뺄셈은 같은 크기의 행렬끼리 같은 위치의 성분을 계산한다.
• 행렬의 실수배는 모든 성분에 같은 실수를 곱한다.

다음 글에서는 행렬의 곱셈을 다루겠습니다. 행렬의 곱셈은 덧셈처럼 같은 위치끼리 계산하지 않습니다. 특히 연립방정식의 계수와 미지수를 한꺼번에 계산하려면 행과 열을 대응시키는 새로운 규칙이 필요합니다.

한 줄 결론:

행렬의 첫걸음은 수를 위치가 있는 표로 보고, 같은 위치의 성분을 정확히 대응시키는 것입니다.