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수정됨 학교수학 공통수학1

[공통수학1 시리즈 26편] 역행렬과 케일리-해밀턴 정리 (심화)

#common-math-1#matrix#inverse-matrix#cayley-hamilton#education

앞선 글에서는 행렬의 곱셈을 정리했습니다. 행렬곱은 같은 위치끼리 곱하는 것이 아니라, 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 대응시키는 계산이었습니다.

이번 글에서는 그 다음 단계인 역행렬을 다루겠습니다. 역행렬은 행렬에서 나눗셈과 비슷한 역할을 합니다. 다만 행렬에서는 보통 A÷BA\div B처럼 나누지 않고, 역행렬을 곱하는 방식으로 계산합니다.

참고: 역행렬을 직접 구하는 과정, 역행렬을 이용한 연립방정식 풀이, 케일리-해밀턴 정리는 공통수학1 기본 범위를 넘어서는 심화 내용입니다. 이 글은 행렬이 어떻게 확장되는지 보여 주기 위한 글입니다. 기본 범위만 확인하려는 독자는 역행렬이 “곱해서 단위행렬을 만드는 행렬”이라는 뜻까지만 잡고 읽어도 됩니다.

역행렬은 곱해서 단위행렬을 만드는 행렬이고, 역행렬이 있으면 연립일차방정식을 행렬식처럼 풀 수 있다.

먼저 오늘의 흐름을 잡고 시작하겠습니다.

  • 단위행렬은 행렬에서 1과 같은 역할을 한다.
  • 역행렬은 어떤 행렬에 곱했을 때 단위행렬이 되게 하는 행렬이다.
  • 모든 정사각행렬에 역행렬이 있는 것은 아니다.
  • 2×22\times2 행렬에서는 ad−bc≠0ad-bc\ne0일 때 역행렬이 존재한다.
  • 역행렬이 있으면 연립일차방정식을 AX=BAX=B에서 X=A−1BX=A^{-1}B로 풀 수 있다.
  • 케일리-해밀턴 정리는 행렬의 높은 거듭제곱을 낮은 차수의 식으로 줄이는 데 쓰이고, 그 응용으로 2×22\times2 역행렬 공식도 얻을 수 있다.

1. 숫자의 나눗셈은 역수를 곱하는 것이다

숫자에서 나눗셈은 역수와 연결됩니다. 예를 들어

6÷2=6⋅126\div2=6\cdot\frac12

입니다.

즉 2로 나눈다는 것은 2의 역수인 12\frac12를 곱하는 것과 같습니다. 이때

2⋅12=12\cdot\frac12=1

입니다.

행렬에서도 이와 비슷한 생각을 할 수 있습니다. 다만 실수에서는 0이 아닌 모든 수에 역수가 있지만, 행렬에서는 조건이 더 까다롭습니다. 정사각행렬이어야 하고, 뒤에서 볼 ad−bcad-bc가 0이 아니어야 역행렬이 존재합니다. 또 행렬곱은 순서가 중요하므로 어느 쪽에서 곱하는지도 조심해야 합니다.

그래서 행렬에서는 나눗셈 기호를 직접 쓰기보다, 곱해서 단위행렬이 되는 행렬을 찾습니다.

2. 역행렬의 정의

행렬에서 1의 역할을 하는 것은 단위행렬입니다. 2×22\times2 단위행렬은

I=(1001)I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

입니다.

정사각행렬 AA에 대해 어떤 행렬 A−1A^{-1}이 있어서

AA−1=I,A−1A=IAA^{-1}=I,\qquad A^{-1}A=I

를 만족하면 A−1A^{-1}을 AA의 역행렬이라고 합니다.

여기서 정사각행렬은 행의 수와 열의 수가 같은 행렬입니다. 역행렬은 정사각행렬에서만 생각합니다. 하지만 정사각행렬이라고 해서 항상 역행렬이 있는 것은 아닙니다.

3. 2차 정사각행렬의 역행렬 공식

2×22\times2 행렬

A=(abcd)A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}

를 생각해 봅시다. 이때

ad−bcad-bc

를 이 행렬의 행렬식이라고 부릅니다. 이 글에서는 행렬식의 깊은 의미까지 다루지는 않지만, 역행렬이 있는지 판단하는 데 중요한 값입니다.

  • ad−bc≠0ad-bc\ne0이면 역행렬이 있습니다.
  • ad−bc=0ad-bc=0이면 역행렬이 없습니다.

ad−bc≠0ad-bc\ne0일 때 역행렬은 다음과 같습니다.

A−1=1ad−bc(d−b−ca)A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}

공식만 보면 갑자기 나온 것처럼 보일 수 있습니다. 그래서 먼저 이 공식이 실제로 단위행렬을 만드는지 간단히 확인해 보겠습니다.

(abcd)(d−b−ca)=(ad−bc00ad−bc)\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad-bc & 0\\ 0 & ad-bc \end{pmatrix}

입니다. 따라서 ad−bc≠0ad-bc\ne0이면 양쪽 성분을 ad−bcad-bc로 나누어 단위행렬을 만들 수 있습니다. 이것이 위 역행렬 공식의 핵심입니다.

4. 역행렬 계산 예시

다음 행렬의 역행렬을 구해 보겠습니다.

A=(211−1)A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}

먼저 ad−bcad-bc를 계산합니다.

ad−bc=2⋅(−1)−1⋅1=−3ad-bc=2\cdot(-1)-1\cdot1=-3

−3≠0-3\ne0이므로 역행렬이 있습니다.

공식에 대입하면

A−1=1−3(−1−1−12)A^{-1} =\frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -1 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix}

입니다. 따라서

A−1=(131313−23)A^{-1}= \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13\\ \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix}

입니다.

정말 역행렬인지 확인해 보겠습니다.

AA−1=(211−1)(131313−23)=(1001)=IAA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13\\ \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} =I

이므로 계산이 맞습니다.

5. 연립일차방정식을 행렬로 나타내기

다음 연립일차방정식을 봅시다.

{2x+y=5x−y=1\begin{cases} 2x+y=5\\ x-y=1 \end{cases}

이 식은 행렬을 이용해 다음처럼 나타낼 수 있습니다.

(211−1)(xy)=(51)\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}

왼쪽을 실제로 곱하면

(2x+yx−y)=(51)\begin{pmatrix} 2x+y\\ x-y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}

이므로 원래 연립방정식과 같은 내용입니다.

보통 이것을

AX=BAX=B

라고 씁니다. 여기서

A=(211−1),X=(xy),B=(51)A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}

입니다.

6. 역행렬로 연립방정식 풀기

숫자 방정식

ax=bax=b

에서 a≠0a\ne0이면 양변에 a−1a^{-1}을 곱해

x=a−1bx=a^{-1}b

로 풀 수 있습니다.

행렬식

AX=BAX=B

에서도 AA의 역행렬이 있으면 왼쪽에서 A−1A^{-1}을 곱할 수 있습니다.

A−1AX=A−1BA^{-1}AX=A^{-1}B

그런데

A−1A=IA^{-1}A=I

이므로

IX=A−1BIX=A^{-1}B

입니다. 단위행렬을 곱해도 행렬은 변하지 않으므로

X=A−1BX=A^{-1}B

입니다.

앞의 예시에서

A−1=(131313−23),B=(51)A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac13 & \frac13\\ \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}

이므로

X=A−1B=(131313−23)(51)X=A^{-1}B =\begin{pmatrix} \frac13 & \frac13\\ \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}

입니다. 계산하면

X=(13⋅5+13⋅113⋅5−23⋅1)=(21)X= \begin{pmatrix} \frac13\cdot5+\frac13\cdot1\\ \frac13\cdot5-\frac23\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}

입니다. 따라서

x=2,y=1x=2,\qquad y=1

입니다. 원래 식에 대입하면

2⋅2+1=5,2−1=12\cdot2+1=5,\qquad 2-1=1

이므로 두 식을 모두 만족합니다.

7. 역행렬이 없으면 해가 어떻게 될까?

역행렬이 없다는 것은 AX=BAX=B에서 A−1BA^{-1}B 방식으로 해를 하나로 구할 수 없다는 뜻입니다. 그렇다고 항상 해가 없다는 뜻은 아닙니다.

예를 들어

A=(1224)A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 4 \end{pmatrix}

이면

ad−bc=1⋅4−2⋅2=0ad-bc=1\cdot4-2\cdot2=0

이므로 역행렬이 없습니다.

이 행렬의 두 번째 행은 첫 번째 행의 2배입니다. 따라서 계수만 보면 두 식이 서로 독립적인 정보를 주지 않습니다. 하지만 해가 없는지, 해가 무수히 많은지는 오른쪽 상수항까지 함께 확인해야 합니다.

예를 들어

{x+2y=32x+4y=6\begin{cases} x+2y=3\\ 2x+4y=6 \end{cases}

에서는 두 번째 식이 첫 번째 식의 2배입니다. 두 식은 같은 직선을 나타내므로 해가 무수히 많습니다.

반대로

{x+2y=32x+4y=7\begin{cases} x+2y=3\\ 2x+4y=7 \end{cases}

에서는 왼쪽은 2배 관계인데 오른쪽은 2배가 아닙니다. 두 식은 서로 평행한 두 직선을 나타내므로 해가 없습니다.

따라서 ad−bc=0ad-bc=0일 때는 상황을 더 확인해야 합니다.

  • 우변까지 같은 비례 관계이면 두 식이 같은 직선을 나타내므로 해가 무수히 많을 수 있다.
  • 우변의 비례 관계가 맞지 않으면 두 식이 평행한 직선을 나타내므로 해가 없을 수 있다.

즉 ad−bc=0ad-bc=0은 “역행렬이 없다”는 신호이지, 해의 개수를 바로 하나로 결정해 주는 신호는 아닙니다.

8. 케일리-해밀턴 정리로 보는 역행렬 (선택 심화)

여기부터는 앞의 역행렬 공식보다 한 단계 더 깊은 선택 심화입니다. 역행렬을 이용해 연립방정식을 푸는 정도만 보고 싶다면 이 절은 건너뛰어도 됩니다.

다만 케일리-해밀턴 정리를 단지 역행렬 공식을 다시 얻는 방법으로만 보면 쓰임이 좁아 보일 수 있습니다. 실제로 더 중요한 맥락은 행렬의 높은 거듭제곱을 낮은 차수의 식으로 줄여 계산을 단순하게 만드는 것입니다. 예를 들어 어떤 상태가 매번 같은 행렬 AA에 의해 변한다면 A2,A3,A4,…A^2, A^3, A^4,\dots 같은 거듭제곱이 등장할 수 있습니다. 케일리-해밀턴 정리는 이런 거듭제곱을 직접 계속 곱하지 않고, 더 간단한 식으로 바꾸는 도구입니다.

케일리-해밀턴 정리는 정사각행렬이 자기 자신의 특성방정식을 만족한다는 정리입니다. 특성방정식이라는 말은 지금 단계에서는 낯설 수 있으므로, 여기서는 이름의 깊은 의미보다 2×22\times2 행렬에서 쓸 수 있는 형태만 보겠습니다.

A=(abcd)A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}

라고 할 때, 다음 케일리-해밀턴 관계식이 성립합니다.

A2−(a+d)A+(ad−bc)I=OA^2-(a+d)A+(ad-bc)I=O

여기서 II는 단위행렬, OO는 모든 성분이 0인 영행렬입니다. 또 a+da+d는 대각선 성분의 합이고, ad−bcad-bc는 앞에서 본 행렬식입니다.

이 식을 조금 바꾸면

A2=(a+d)A−(ad−bc)IA^2=(a+d)A-(ad-bc)I

입니다. 즉 A2A^2를 다시 AA와 II의 조합으로 표현할 수 있습니다. 그러면 A3A^3도

A3=A⋅A2A^3=A\cdot A^2

에서 출발해 A2A^2를 위 식으로 바꾸면 다시 AA와 II만으로 정리할 수 있습니다. 이런 방식으로 높은 거듭제곱을 낮은 차수의 식으로 줄일 수 있습니다.

이 관점은 반복되는 변화나 점화식을 행렬로 나타낼 때 특히 유용합니다. 예를 들어

Xn+1=AXnX_{n+1}=AX_n

처럼 상태가 반복해서 변하면 XnX_n을 구하는 과정에서 AnA^n이 등장합니다. 케일리-해밀턴 정리는 이때 AnA^n을 직접 여러 번 곱하지 않고 계산 구조를 줄이는 데 도움을 줍니다.

비슷한 맥락은 일차분수함수, 즉 f(x)=ax+bcx+df(x)=\frac{ax+b}{cx+d} 꼴의 유리함수를 반복해서 합성할 때도 나타납니다. 이런 함수는 행렬 (abcd)\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}와 연결할 수 있고, 반복 합성은 그 행렬의 거듭제곱과 연결됩니다. 단, 행렬 전체를 0이 아닌 같은 수로 곱해도 ax+bcx+d\frac{ax+b}{cx+d}의 값은 변하지 않으므로, 여기서는 “상수배를 제외하고 대응한다”는 정도로만 이해하면 됩니다. 어떻게 연결되는지는 아래 컴포넌트에서 구체적인 예시로 확인하겠습니다. 그래서 케일리-해밀턴 정리는 “역행렬 공식”보다 먼저 “거듭제곱을 줄이는 요령”으로 보는 편이 자연스럽습니다.

이제 이 정리를 역행렬과 연결해 보겠습니다. 역행렬 공식은 케일리-해밀턴 정리의 전체 쓰임 중 하나의 응용입니다.

이제 구체적인 예시로 확인해 봅시다. 아래 학습 컴포넌트에서 예시 A와 예시 B를 번갈아 보며 네 가지를 추적해 보세요.

  1. 케일리-해밀턴 관계식이 어떻게 생기는지
  2. 그 관계식으로 거듭제곱을 어떻게 낮은 차수로 줄이는지
  3. 일차분수함수의 반복 합성을 행렬 거듭제곱으로 어떻게 줄이는지
  4. 같은 관계식이 역행렬 표현으로 어떻게 이어지는지

케일리-해밀턴 맥락 보기

거듭제곱을 낮은 차수로 줄이는 요령을 보고, 반복 합성·역행렬로 이어지는 흐름을 확인합니다.

선택 심화

선택한 행렬

A=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}
대각선 합: 1 행렬식: -3

본문의 연립방정식 예시와 같은 행렬입니다.

1. 관계식 만들기

케일리-해밀턴 정리는 2×2 행렬에 대해 A², A, I 사이의 관계식을 줍니다.

A^2-A-3I=O

컴포넌트에서 본 케일리-해밀턴 관계식을 이제 역행렬 조건 ad−bc≠0ad-bc\ne0과 연결해 보겠습니다.

만약 ad−bc≠0ad-bc\ne0이면 위 식을 다음처럼 정리할 수 있습니다.

(ad−bc)I=(a+d)A−A2(ad-bc)I=(a+d)A-A^2

오른쪽에서 AA를 묶는다고 생각하면

(ad−bc)I=A{(a+d)I−A}(ad-bc)I=A\{(a+d)I-A\}

입니다. 여기서 {(a+d)I−A}\{(a+d)I-A\}는 II와 AA를 실수배하고 더해서 만든, 말하자면 AA에 대한 간단한 식입니다. II는 어떤 행렬과 곱해도 순서 문제가 없고, AA는 자기 자신과 곱하는 것이므로 이 식은 AA와 곱하는 순서를 바꾸어도 같은 결과가 됩니다. 따라서

(ad−bc)I={(a+d)I−A}A(ad-bc)I=\{(a+d)I-A\}A

도 성립합니다.

이제 ad−bc≠0ad-bc\ne0이면 다음 행렬을 생각할 수 있습니다.

C=(a+d)I−Aad−bcC=\frac{(a+d)I-A}{ad-bc}

그러면

AC=I,CA=IAC=I,\qquad CA=I

이므로 CC가 바로 AA의 역행렬입니다. 따라서

A−1=(a+d)I−Aad−bcA^{-1}=\frac{(a+d)I-A}{ad-bc}

라고 볼 수 있습니다.

실제로

(a+d)I−A=(a+d00a+d)−(abcd)=(d−b−ca)(a+d)I-A = \begin{pmatrix} a+d & 0\\ 0 & a+d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}

이므로

A−1=1ad−bc(d−b−ca)A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}

가 됩니다. 즉 케일리-해밀턴 정리는 원래 행렬의 거듭제곱을 줄이는 정리이고, 그 결과로 앞에서 본 2×22\times2 역행렬 공식이 왜 그런 모양이 되는지도 설명해 줍니다.

9. 케일리-해밀턴 정리 예시

먼저 케일리-해밀턴 정리가 거듭제곱을 줄이는 모습을 보고, 이어서 같은 식이 역행렬 공식으로도 이어지는지 확인하겠습니다.

다시

A=(211−1)A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}

를 보겠습니다.

이 행렬에서

a+d=2+(−1)=1a+d=2+(-1)=1

이고

ad−bc=2⋅(−1)−1⋅1=−3ad-bc=2\cdot(-1)-1\cdot1=-3

입니다. 따라서 케일리-해밀턴 정리는

A2−A−3I=OA^2-A-3I=O

입니다. 이를 정리하면

A2=A+3IA^2=A+3I

입니다. 직접 제곱을 계산해 보면

A2=(211−1)(211−1)=(5112)A^2= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}

이고,

A+3I=(211−1)+3(1001)=(5112)A+3I= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}

이므로 실제로 A2=A+3IA^2=A+3I가 맞습니다. 즉 이 행렬의 제곱은 새로 길게 계산하지 않아도 AA와 II만으로 표현됩니다. 한 단계 더 가면

A3=A⋅A2=A(A+3I)=A2+3AA^3=A\cdot A^2=A(A+3I)=A^2+3A

이고, 다시 A2=A+3IA^2=A+3I를 대입하면

A3=4A+3IA^3=4A+3I

입니다. 이처럼 케일리-해밀턴 정리는 높은 거듭제곱을 계속 낮은 차수로 돌려보내는 역할을 합니다.

이제 같은 관계를 역행렬 공식으로도 보겠습니다. 위 식

A2−A−3I=OA^2-A-3I=O

에서 AA가 들어 있는 부분을 묶으면

A2−A=3IA^2-A=3I

이고, 따라서

A(A−I)=3IA(A-I)=3I

입니다. 양쪽에 13\frac13을 곱하면

A(A−I3)=IA\left(\frac{A-I}{3}\right)=I

이므로 A−I3\frac{A-I}{3}이 AA의 역행렬 역할을 한다고 볼 수 있습니다. 또 A−I3\frac{A-I}{3}은 분자와 분모의 부호를 함께 바꾼 I−A−3\frac{I-A}{-3}과 같은 표현입니다.

따라서 케일리-해밀턴 정리에 의한 역행렬 표현은

A−1=(a+d)I−Aad−bc=I−A−3A^{-1}=\frac{(a+d)I-A}{ad-bc} =\frac{I-A}{-3}

입니다.

계산하면

I−A=(1001)−(211−1)=(−1−1−12)I-A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix}

이므로

A−1=1−3(−1−1−12)=(131313−23)A^{-1} =\frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -1 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13\\ \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix}

입니다. 앞에서 공식으로 구한 결과와 같습니다. 이 예시에서 볼 수 있듯이, 역행렬 공식 유도는 케일리-해밀턴 정리의 한 가지 응용입니다. 더 넓은 맥락에서는 반복 계산에서 나오는 AnA^n을 단순화하는 데 쓰인다고 이해하면 됩니다.

컴포넌트의 예시 B도 같은 방식으로 점검할 수 있습니다.

A=(3121)A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 2 & 1 \end{pmatrix}

이면 대각선 성분의 합은 3+1=43+1=4이고, 행렬식은 3⋅1−1⋅2=13\cdot1-1\cdot2=1입니다. 따라서 케일리-해밀턴 관계식은

A2−4A+I=OA^2-4A+I=O

이고, 이를 정리하면 A2=4A−IA^2=4A-I입니다. 행렬식이 1이므로 역행렬은

A−1=4I−A=(1−1−23)A^{-1}=4I-A=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ -2 & 3 \end{pmatrix}

입니다. 마지막 퀴즈에서는 이 예시 B를 다시 사용해 관계식과 역행렬을 점검합니다.

10. 자주 하는 실수

10-1. 행렬에 나눗셈 기호를 그대로 쓰려고 한다

행렬에서는 보통 B÷AB\div A처럼 쓰지 않습니다. AA의 역행렬이 있을 때 A−1A^{-1}을 곱하는 방식으로 계산합니다. 또 행렬곱은 순서가 중요하므로 왼쪽에서 곱해야 하는지, 오른쪽에서 곱해야 하는지 구분해야 합니다.

10-2. 모든 정사각행렬에 역행렬이 있다고 생각한다

정사각행렬이어도 역행렬이 없을 수 있습니다. 2×22\times2 행렬에서는 ad−bc≠0ad-bc\ne0인지 확인해야 합니다.

10-3. 곱하는 방향을 무시한다

AX=BAX=B에서 XX를 구할 때는 왼쪽에서 A−1A^{-1}을 곱합니다. 행렬곱은 순서가 중요하므로 이 점을 조심해야 합니다.

10-4. ad−bc=0ad-bc=0이면 무조건 해가 없다고 생각한다

ad−bc=0ad-bc=0이면 역행렬은 없지만, 연립방정식의 해는 없을 수도 있고 무수히 많을 수도 있습니다. 우변까지 함께 확인해야 합니다.

10-5. 케일리-해밀턴을 역행렬 공식 암기용으로만 생각한다

케일리-해밀턴 정리의 핵심 쓰임은 행렬의 거듭제곱을 낮은 차수의 식으로 줄이는 것입니다. 역행렬 공식은 그 결과로 얻을 수 있는 응용 중 하나입니다.

11. 연습 문제

아래 점검 퀴즈에서 역행렬의 조건, 연립방정식 풀이, 케일리-해밀턴 정리의 맥락을 확인해 보세요.

26장 점검 문제

역행렬의 조건, 연립방정식 풀이, 케일리-해밀턴 정리의 맥락을 확인합니다.

QUIZ
문제 1 / 10 풀이 완료 0 / 10
풀이 진행 0 / 10 0%
현재 문제 정답 오답 미풀이
문제 1 5지선다 미풀이
[쉬움] 행렬 A^{-1}이 A의 역행렬이라는 뜻으로 알맞은 것은?
현재 점수 0점 · 정답 수 0/10

12. 핵심 정리

  • 역행렬은 행렬에서 나눗셈과 비슷한 역할을 한다.
  • AA−1=IAA^{-1}=I, A−1A=IA^{-1}A=I를 만족하는 행렬 A−1A^{-1}을 AA의 역행렬이라고 한다.
  • 2×22\times2 행렬 (abcd)\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}에서 ad−bc≠0ad-bc\ne0이면 역행렬이 존재한다.
  • 이때 A−1=1ad−bc(d−b−ca)A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}이다.
  • 연립일차방정식은 AX=BAX=B로 나타낼 수 있고, A−1A^{-1}이 있으면 X=A−1BX=A^{-1}B로 풀 수 있다.
  • ad−bc=0ad-bc=0이면 역행렬은 없지만, 연립방정식의 해는 상황에 따라 없거나 무수히 많을 수 있다.
  • 케일리-해밀턴 정리 A2−(a+d)A+(ad−bc)I=OA^2-(a+d)A+(ad-bc)I=O는 행렬의 높은 거듭제곱을 낮은 차수로 줄이는 정리이고, 그 응용으로 역행렬 공식도 이해할 수 있다.

이 글로 공통수학1의 큰 흐름을 마무리하겠습니다. 공통수학1에서 배운 식, 방정식, 부등식, 경우의 수, 행렬은 이후 수학을 배우는 데 계속 다시 등장하는 기본 언어가 됩니다.

한 줄 결론:

역행렬은 행렬 계산을 되돌리는 심화 도구이고, 케일리-해밀턴 정리는 거듭제곱 계산을 줄이면서 역행렬 공식까지 설명해 주는 더 깊은 관점입니다.

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