[미적분학 - 미분편 14] 도함수의 활용: 증가와 감소, 극값, 그래프 개형

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 도함수를 계산하는 데서 멈추지 않고, 그 정보를 이용해 함수의 행동을 읽는 방법을 다룹니다. 앞 글의 고계도함수까지 바탕으로 증가와 감소, 극대와 극소, 그래프 개형, 간단한 최적화까지 연결해서 봅니다.

이 글을 보기 전에 특히 기억해 둘 것은 세 가지입니다.

$f'(x)$ 는 함수의 증가와 감소를 읽는 기본 신호입니다.
$f''(x)$ 는 기울기가 어떻게 변하는지, 즉 그래프의 굽음을 읽는 데 도움을 줍니다.
극값 후보가 나왔다고 해서 바로 결론을 내리면 안 되고, 부호 변화와 정의역을 함께 확인해야 합니다.

핵심 아이디어

도함수는 단순한 계산 결과가 아니라 함수의 움직임을 알려 주는 신호입니다.

$f'(x)>0$ 이면 함수는 증가하는 경향을 보입니다.
$f'(x)<0$ 이면 함수는 감소하는 경향을 보입니다.
$f'(x)=0$ 인 점은 증가와 감소의 흐름이 바뀌는 후보가 됩니다.

즉, 도함수의 부호를 보면 원래 함수의 그래프가 어느 구간에서 올라가고 내려가는지 읽을 수 있습니다.

증가와 감소를 읽는 방법

함수의 증가와 감소를 판단할 때는 특정 점 하나만 보는 것이 아니라 구간 전체에서 $f'(x)$ 의 부호를 확인해야 합니다.

실제로는 다음 순서로 보면 가장 안정적입니다.

$f'(x)$ 를 구한다.
$f'(x)=0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 찾는다.
그 점들을 경계로 구간을 나눈다.
각 구간에서 $f'(x)$ 의 부호를 확인한다.
부호표를 바탕으로 증가/감소와 극값을 해석한다.

예를 들어

f(x)=x^3-3x

이면

f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)

입니다. 따라서 부호는 다음처럼 바뀝니다.

$x<-1$ 에서 양수
$-1<x<1$ 에서 음수
$x>1$ 에서 양수

그래서 함수는 증가하다가 감소하고, 다시 증가합니다.

간단한 부호표로 쓰면 다음과 같습니다.

구간	$f'(x)$ 부호	함수의 행동
$(-\infty,-1)$	+	증가
$(-1,1)$	-	감소
$(1,\infty)$	+	증가

부호표를 읽을 때는 단순히 +, -만 보는 것이 아니라, 구간이 바뀔 때 부호가 어떻게 바뀌는지를 따라가야 합니다. + -> -이면 올라가다가 내려오는 흐름이고, - -> +이면 내려가다가 올라오는 흐름입니다.

극대와 극소는 어떻게 찾는가

도함수가 0이 되는 점은 극값 후보입니다. 하지만 후보라고 해서 모두 극대나 극소가 되는 것은 아닙니다.

중요한 것은 그 점을 기준으로 $f'(x)$ 의 부호가 바뀌는지 보는 것입니다.

양수에서 음수로 바뀌면 극대
음수에서 양수로 바뀌면 극소
부호가 바뀌지 않으면 극값이 아닐 수 있음

즉, $f'(x)=0$ 은 시작점일 뿐이고, 실제 판단은 부호 변화가 맡습니다.

2차도함수와 그래프 개형

도함수 하나만으로도 많은 것을 읽을 수 있지만, 2차도함수까지 함께 보면 그래프 해석이 더 풍부해집니다.

$f'(x)$ 는 올라가는지 내려가는지
$f''(x)$ 는 기울기가 커지는지 작아지는지

이 정보를 합치면 그래프가 어디서 꺾이고, 어디서 완만해지고, 어떤 모양으로 휘는지 더 정교하게 파악할 수 있습니다.

다만 주의할 점도 있습니다.

$f''(x)>0$ 이면 그 점 근방에서 그래프가 아래에서 받쳐지는 방향으로 휜다고 해석할 수 있습니다.
$f''(x)<0$ 이면 그 점 근방에서 그래프가 위에서 눌리는 방향으로 휜다고 해석할 수 있습니다.
하지만 $f''(x)=0$ 이라고 해서 자동으로 변곡점이 되는 것은 아닙니다. 실제로는 부호가 바뀌는지까지 확인해야 합니다.

즉, 2차도함수의 부호는 어디까지나 그 점 주변에서의 해석 도구입니다. $f''(x)$ 가 존재하지 않거나 특이점이 있는 구간에서는 이 판정을 그대로 쓰기 어렵습니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 증가와 감소, 극값 함께 보기

f(x)=x^3-3x

에 대해 다시 보면

f'(x)=3x^2-3, \qquad f''(x)=6x

입니다.

$x=-1$ 에서는 증가에서 감소로 바뀌므로 극대
$x=1$ 에서는 감소에서 증가로 바뀌므로 극소
$x=0$ 을 기준으로 $f''(x)$ 의 부호가 바뀌므로 그래프의 굽음도 달라집니다.

이처럼 1차도함수와 2차도함수를 함께 보면 함수의 큰 윤곽을 그릴 수 있습니다.

앞 절의 부호표 해석을 떠올리면, 1차도함수는 그래프가 오르내리는 방향을, 2차도함수는 그 방향이 얼마나 빠르게 바뀌는지를 말해 준다고 볼 수 있습니다.

예제 2. 2차도함수 판정의 간단한 사용

함수

g(x)=x^2-4x+1

에 대해

g'(x)=2x-4

이므로 극값 후보는 $x=2$ 입니다. 또

g''(x)=2>0

이므로 $x=2$ 에서는 아래로 볼록한 방향이며, 실제로 극소를 갖습니다. 이처럼 2차도함수는 극값의 성격을 빠르게 읽는 보조 도구가 될 수 있습니다.

최적화 문제의 출발점

도함수의 활용은 그래프 해석에서 끝나지 않습니다. 어떤 양을 가장 크게 하거나 가장 작게 만드는 문제, 즉 최적화 문제의 핵심 도구이기도 합니다.

넓이, 비용, 거리, 시간 같은 실제 문제에서도 결국은 함수를 세운 뒤 도함수를 사용해 최댓값과 최솟값을 찾게 됩니다.

예를 들어 둘레가 20인 직사각형의 넓이를 최대화한다고 해 봅시다. 한 변을 $x$ 라고 두면 다른 변은 $10-x$ 이고 넓이는

A(x)=x(10-x)=10x-x^2

입니다. 따라서

A'(x)=10-2x

이고 $A'(x)=0$ 에서 $x=5$ 를 얻습니다. 여기서 정의역은 변의 길이가 양수여야 하므로 $0<x<10$ 입니다. 또한 실제 문제에서는 끝점 $x=0$ , $x=10$ 에 가까워지면 넓이가 0으로 가므로, 가운데 값 $x=5$ 가 최대라는 해석이 더 분명해집니다. 즉, 정사각형일 때 넓이가 최대입니다. 실제 최적화 문제에서는 이렇게

상황을 함수로 세우고
정의역을 확인하고
도함수로 후보를 찾고
구간 끝점까지 함께 비교하는

순서가 중요합니다.

자주 하는 실수

$f'(x)=0$ 인 점을 무조건 극값이라고 생각하는 경우 - 부호가 실제로 바뀌는지 확인해야 합니다.
한 점의 도함수 값만 보고 구간 전체의 증가와 감소를 판단하는 경우 - 반드시 구간별 부호표를 만들어야 합니다.
$f'(x)$ 와 $f''(x)$ 의 역할을 섞어 쓰는 경우 - 하나는 증가/감소, 다른 하나는 굽음 해석에 가깝습니다. 예를 들어 $f''(x)=0$ 이라는 이유만으로 곧바로 극값이라고 결론 내리면 잘못될 수 있습니다.
계산은 했지만 부호표나 해석 문장으로 정리하지 않는 경우 - 최종 결론을 말로 적어야 그래프 해석이 완성됩니다.

마무리

도함수는 함수가 어떻게 움직이는지 읽게 해 주는 해석 도구입니다. 증가와 감소, 극값, 그래프 개형, 최적화까지 모두 이 관점에서 연결됩니다.

다음 글에서는 평균값정리를 통해, 한 구간 전체의 변화가 어떤 한 점의 순간변화율과 연결된다는 중요한 사실을 정리합니다.