[미적분학 - 미분편 1] 수열의 극한: 미적분학의 첫 언어

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 수열의 극한이 왜 미적분학의 출발점인지 설명하고, 수렴과 발산, 진동, 기본 극한 법칙, 끼워넣기 아이디어까지 정리합니다. 마지막에는 이 개념이 어떻게 함수의 극한으로 확장되는지도 연결합니다.

핵심 아이디어

미적분학은 결국 "값이 점점 어디로 가까워지는가"를 묻는 학문입니다. 그 질문을 가장 단순한 형태로 다루는 대상이 수열입니다.

수열은 자연수 $n$에 따라 값이 하나씩 정해지는 나열입니다. 보통 $a_n$처럼 쓰고, $n$이 커질수록 $a_n$이 어떤 값 $L$에 가까워지면

$$\lim_{n \to \infty} a_n = L$$

라고 씁니다.

여기서 중요한 점은 "어느 순간 딱 $L$이 된다"가 아니라, "원하는 만큼 $L$에 가깝게 만들 수 있다"는 뜻이라는 점입니다. 이 차이를 이해해야 나중에 함수의 극한, 연속, 미분계수까지 자연스럽게 이어집니다.

수렴, 발산, 진동을 먼저 구분하기

가장 먼저 해야 할 일은 수열이 어떤 종류의 거동을 보이는지 구분하는 것입니다.

수렴하는 수열

예를 들어

$$a_n = \frac{1}{n}$$

이면 $n$이 커질수록 항은 점점 0에 가까워집니다. 따라서

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$$

입니다.

또

$$a_n = \frac{2n+1}{n} = 2 + \frac{1}{n}$$

이므로

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n} = 2$$

입니다.

발산하는 수열

다음 수열은 유한한 한 값에 가까워지지 않습니다.

$$a_n = n$$

항이 계속 커지기 때문에 보통 "무한대로 발산한다"고 말합니다.

진동하는 수열

모든 발산이 무한히 커지는 형태는 아닙니다.

$$a_n = (-1)^n$$

은 $1, -1, 1, -1, \dots$처럼 오가므로 하나의 값에 모이지 않습니다. 이런 경우는 진동하여 발산한다고 봅니다.

이 세 종류를 구분하는 감각이 없으면, 나중에 함수 극한에서 좌극한과 우극한이 다르거나, 극한이 아예 존재하지 않는 상황을 읽기 어려워집니다.

극한 법칙은 계산을 위한 언어다

수열의 극한을 하나하나 정의로만 계산하면 너무 느립니다. 그래서 몇 가지 기본 법칙을 먼저 확보합니다.

수열 $a_n$, $b_n$이 각각 $A$, $B$로 수렴하면 보통 다음이 성립합니다.

$$\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B$$ $$\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = AB$$

또 $B \neq 0$이면

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$$

입니다.

이 법칙은 기계적으로 외우기보다, "가까운 값끼리 더하고 곱하면 결과도 그 값에 가까워진다"는 안정성으로 이해하는 편이 좋습니다.

예를 들어

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3n-2}{n+1}$$

은 분자와 분모를 각각 $n$으로 나누면

$$\frac{3 - 2/n}{1 + 1/n}$$

이 되고, $1/n \to 0$을 이용해 극한값이 3임을 알 수 있습니다.

끼워넣기 아이디어가 필요한 이유

어떤 수열은 바로 계산하기 어렵지만, 더 쉬운 두 수열 사이에 끼워 넣을 수 있습니다. 이때 유용한 생각이 끼워넣기입니다.

예를 들어

$$-\frac{1}{n} \le \frac{\sin n}{n} \le \frac{1}{n}$$

이고 양쪽 수열이 모두 0으로 수렴하므로

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0$$

입니다.

이 아이디어는 함수 극한에서도 그대로 살아남습니다. 나중에 $x\sin(1/x)$ 같은 식을 다룰 때도 같은 구조를 쓰게 됩니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 기본 수렴 판단

$$\lim_{n \to \infty} \frac{5n+3}{2n-1}$$

분자와 분모를 $n$으로 나누면

$$\frac{5 + 3/n}{2 - 1/n}$$

이므로 극한은

$$\frac{5}{2}$$

입니다.

예제 2. 진동하는 수열 판별

$$a_n = (-1)^n + \frac{1}{n}$$

여기서 $1/n$은 0으로 가지만 $(-1)^n$이 계속 진동하므로 전체 수열도 한 값에 모이지 않습니다. 작은 항 하나가 0으로 가더라도 진동 성분이 남아 있으면 극한은 존재하지 않을 수 있습니다.

예제 3. 끼워넣기

$$\left| \frac{\cos n}{n} \right| \le \frac{1}{n}$$

이고 $1/n \to 0$이므로

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{n} = 0$$

입니다.

자주 하는 실수

• 항이 커진다고 해서 모두 같은 방식으로 발산한다고 생각하는 경우
• $(-1)^n$처럼 진동하는 수열도 단순히 "무한대로 간다"고 말하는 경우
• 분수형 수열에서 최고차항을 비교하지 않고 성급하게 대입하는 경우
• 끼워넣기에서는 양쪽 수열의 극한이 같아야 한다는 점을 놓치는 경우

마무리

수열의 극한은 미적분학 전체의 가장 작은 실험실입니다. 여기서 "가까워진다"는 뜻을 정확히 잡아 두어야 함수의 극한에서도 흔들리지 않습니다.

다음 글에서는 함수의 극한으로 넘어가, 입력값이 한 점에 가까워질 때 함수값이 무엇을 보는지 정리합니다. 그 과정에서 단순 대입이 통하는 경우와 통하지 않는 경우, 좌극한과 우극한, 무한대 극한까지 함께 보게 됩니다.