[미적분학 - 미분편 11] 합성함수의 미분: 연쇄율을 구조로 이해하기

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 연쇄율을 다룹니다. 앞 글에서 곱의 미분과 몫의 미분으로 여러 항이 섞인 구조를 다루었다면, 이제는 함수 안에 함수가 들어간 합성 구조를 읽어야 합니다. 바깥쪽 변화율과 안쪽 변화율이 왜 함께 곱해지는지까지 설명합니다.

앞선 글들에서는 항이 나란히 놓인 합, 곱, 몫을 미분했습니다. 이제는 식이 옆으로 길게 퍼진 것이 아니라 안쪽으로 포개진 구조를 다룰 차례입니다. 예를 들어 $(x^2+1)^5$ 나 $\sin(3x)$ 처럼, 입력이 한 단계를 거쳐 다른 함수로 들어가는 경우에는 이전 규칙만으로는 설명이 완전하지 않습니다.

핵심 아이디어

함수 $y=f(g(x))$ 는 한 번에 변하는 것이 아니라, 먼저 $x$ 가 바뀌고, 그 변화가 $g(x)$ 를 바꾸고, 마지막으로 $f$ 의 출력까지 전달됩니다.

즉, 변화가 한 번에 일어나는 것이 아니라 단계적으로 연결됩니다. 이제 식을 보기 전에, 먼저 "안쪽 변화가 바깥 변화에 어떤 속도로 전달되는가"를 눈여겨보면 공식이 훨씬 자연스럽게 읽힙니다. 그래서 합성함수의 미분은 각 단계의 변화율을 이어 붙인 꼴이 됩니다.

\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

이것이 연쇄율입니다.

이 공식을 쓸 때는 보통 안쪽 함수 $g$ 가 $x$ 에서 미분 가능하고, 바깥 함수 $f$ 가 $g(x)$ 에서 미분 가능하다고 가정합니다. 즉, 각 단계의 변화율이 실제로 존재해야 그 곱도 의미를 가집니다.

겉함수와 속함수로 보는 이유

연쇄율은 흔히 "겉함수 먼저 미분하고, 안쪽 함수는 그대로 둔 뒤, 마지막에 안쪽 함수를 미분해서 곱한다"고 설명합니다. 이 방법은 계산에는 유용하지만, 더 중요한 것은 구조를 읽는 눈입니다.

예를 들어

(x^2+1)^5

은 그냥 복잡한 식이 아니라

안쪽 함수 $u=x^2+1$
바깥 함수 $u^5$

로 읽어야 합니다.

또

\sin(3x), \qquad e^{x^2}, \qquad \ln(x^2+1)

도 모두 같은 종류의 문제입니다. 겉모양은 달라도 핵심은 "함수 안에 다른 함수가 들어 있다"는 점입니다.

왜 곱이 붙는가

연쇄율에서 변화율이 곱으로 나타나는 이유는, 한 단계의 작은 변화가 다음 단계의 변화 크기를 다시 조절하기 때문입니다.

예를 들어 안쪽 함수가 아주 빠르게 변하면, 바깥 함수의 변화도 그만큼 빠르게 전달됩니다. 반대로 안쪽 함수가 거의 변하지 않으면 바깥쪽에 아무리 민감한 함수가 있어도 전체 변화율은 작아집니다.

즉, 연쇄율은 공식 암기가 아니라 변화가 전달되는 속도의 연결입니다.

조금 더 식으로 보면 이 생각이 분명해집니다. 다시 한 번 관계를 적으면

$x$ 가 먼저 변하고
그 결과 $u=g(x)$ 가 변하며
마지막으로 $y=f(u)$ 가 변합니다.

이제 $x$ 가 조금 변할 때

\Delta y \approx f'(u)\,\Delta u

이고, 또

\Delta u \approx g'(x)\,\Delta x

입니다. 두 식을 이어 붙이면

\Delta y \approx f'(u)g'(x)\,\Delta x

가 되고, 따라서

\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f'(u)g'(x)

를 얻습니다. 이제 $\Delta x\to 0$ 극한을 취하면 근사식이 정확한 미분식으로 넘어가서

\frac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)

라는 곱 구조가 자연스럽게 나옵니다. 한 단계의 변화가 다음 단계의 변화를 만들고, 그 변화가 다시 마지막 출력의 변화를 만들기 때문입니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 거듭제곱 합성

f(x)=(x^2+1)^5

에서 바깥 함수는 $u^5$ , 안쪽 함수는 $u=x^2+1$ 입니다. 따라서

f'(x)=5(x^2+1)^4 \cdot 2x =10x(x^2+1)^4

입니다. 이 식은 안쪽의 변화 $2x$ 가 바깥의 변화 $5(x^2+1)^4$ 에 전달된 결과로 읽을 수 있습니다.

예제 2. 삼각함수 합성

f(x)=\sin(3x)

이면

f'(x)=\cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)

입니다. 즉, 입력 $3x$ 의 변화가 코사인까지 그대로 전달된다고 해석할 수 있습니다.

예제 3. 로그함수 합성

f(x)=\ln(x^2+1)

이면

f'(x)=\frac{1}{x^2+1}\cdot 2x =\frac{2x}{x^2+1}

입니다. 로그함수 바깥층과 다항식 안쪽층이 차례로 미분된 결과라는 점을 확인해 두면 좋습니다. 여기서는 $x^2+1>0$ 가 항상 성립하므로 로그의 정의역 문제를 따로 걱정하지 않아도 됩니다.

예제 4. 한 층 더 깊은 합성

f(x)=\sin\big((3x^2+1)^4\big)

은 한 번에 보면 복잡하지만, 층을 나누면 읽을 수 있습니다.

가장 바깥은 $\sin u$
그 안은 $u=v^4$
가장 안쪽은 $v=3x^2+1$

층마다 도함수를 적어 보면

\frac{df}{du}=\cos u, \qquad \frac{du}{dv}=4v^3, \qquad \frac{dv}{dx}=6x

입니다.

즉, 여러 층의 합성에서는

\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}

처럼 각 층의 변화율을 차례로 모두 곱한다고 읽을 수 있습니다.

따라서

f'(x)=\cos\big((3x^2+1)^4\big)\cdot 4(3x^2+1)^3\cdot 6x

입니다. 중요한 것은 계산 속도가 아니라, 구조를 층으로 나누어 읽는 습관입니다.

연습 문제

다음 함수의 도함수를 직접 구해 보세요.

(2x-1)^7, \qquad e^{x^2+3x}, \qquad \cos(x^3)

세 문제 모두 겉함수와 안쪽 함수를 먼저 적어 보면 훨씬 덜 헷갈립니다.

힌트만 적으면 차례로

$(2x-1)^7$ 은 바깥 $u^7$ , 안쪽 $u=2x-1$
$e^{x^2+3x}$ 는 바깥 $e^u$ , 안쪽 $u=x^2+3x$
$\cos(x^3)$ 는 바깥 $\cos u$ , 안쪽 $u=x^3$

처럼 읽으면 됩니다.

검산용 정답은 차례로

14(2x-1)^6, \qquad e^{x^2+3x}(2x+3), \qquad -3x^2\sin(x^3)